中考冲刺-数学-第25课梯形

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要点梳理1．一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形．两腰相等 的梯形叫做等腰梯形．2．等腰梯形的判定方法：　　(1) 两腰相等 的梯形；　　(2) 同一底上的两个角 相等的梯形；　　(3) 对角线相等的梯形．3．梯形的中位线定理：　　梯形的中位线平行于上、下两底，且等于两底和的一半．常见的辅助线　　(1)平移一腰——构造平行四边形和三角形；　　(2)过顶点作高——构造矩形和直角三角形；　　(3)延长两腰相交——构造三角形；　　(4)平移对角线——构造平行四边形和三角形；　　(5)过一腰中点和顶点作直线——构造全等三角形．　　
考点巩固测试 1.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝AD，BD⊥CD.　　(1)求sin∠DBC的值；　　(2)若BC长度为4 cm，求梯形ABCD的面积． 　　解　(1)∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD.　　∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD，　　∴∠CBD＝∠ABD＝½∠ABC.　　又∵AB＝CD，∴∠ABC＝∠C.　　∵BD⊥CD，∴∠BDC＝90°，∠DBC＋∠C＝90°，　　∴3∠DBC＝90°，∠DBC＝30°，　　∴sin∠DBC＝sin30°＝½.　　(2)∵BC＝4，∴CD＝2，BC边上的高＝　感悟提高　　掌握梯形的面积公式；或者根据条件，将梯形问题转化为三角形问题来加以解决．
变式测试1　(2013·河南) 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，延长CB到点E，使BE＝AD，连接DE交AB于点M.　(1)求证：△AMD≌△BME；　(2)若N是CD的中点，且MN＝5，BE＝2，求BC的长．　　解　(1)证明：∵AD∥BC，　　∴∠A＝MBE，∠ADM＝∠E. 　　在△AMD和△BME中，　　∴△AMD≌△BME(ASA)．　　(2)∵△AMD≌△BME，∴MD＝ME.　　又∵ND＝NC，∴MN＝½EC，　　∴EC＝2MN＝2×5＝10，　　∴BC＝EC－EB＝10－2＝8.
2.　如图，在等腰梯形ABCD中，∠C＝60°，AD∥BC，且AD＝DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE＝CF， AF、BE交于点P.　　(1)求证：AF＝BE；　　(2)请你猜测∠BPF的度数，并证明你的结论． 　　解　(1)证明：∵BA＝CD＝AD，∠BAE＝∠ADF，　　AD＋DE＝CD＋CF，即AE＝DF，　　∴△BAE≌△ADF(SAS)，　　∴AF＝BE.　　(2)猜想：∠BPF＝120°.　　证明：由(1)得△BAE≌△ADF，∴∠ABE＝∠DAF，　　∴∠BPF＝∠ABP＋∠BAP＝∠BAE.　　又∵AD∥BC，∠C＝∠ABC＝60°，　　∴∠BPF＝∠BAE＝180°－60°＝120°.感悟提高 利用等腰梯形的性质“同一底上的两个底角相等”直接求得∠BPF的度数．
　　　变式测试2　(2012·芜湖) 如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC, BD平分∠ABC，∠A＝60°.过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF.求证：△DEF为等边三角形. 　　证明　∵DC∥AB，AD＝BC，∠A＝60°，　　∴∠ABC＝∠A＝60°.　　又∵BD平分∠ABC，　　∴∠ABD＝∠CBD＝½∠ABC＝30°.　　∵DC∥AB，∴∠BDC＝∠ABD＝30°，　　∴∠CBD＝∠CDB, ∴CB＝CD.　　∵CF⊥BD，∴F为BD中点．　　又∵DE⊥AB，∴DF＝BF＝EF. 　　∵∠ABD＝30°，∴∠BDE＝60°，　　∴△DEF为等边三角形．
3.　(2013·枣庄) 如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝AD＝6，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连接EF.　　(1)证明：EF＝CF；　　(2)当tan∠ADE＝⅓时，求EF的长．解　(1)证明：过D作DG⊥BC于G.由已知可得，四边形ABGD为正方形. ∵DE⊥DC，∴∠ADE＋∠EDG＝90°＝∠GDC＋∠EDG，∴∠ADE＝∠GDC.又∵∠A＝∠DGC，AD＝GD，∴△ADE≌△GDC，∴DE＝DC，AE＝GC.在△EDF和△CDF中，∠EDF＝∠CDF，DE＝DC，DF为公共边，∴△EDF≌△CDF(SAS)，∴EF＝CF.　　(2)∵tan∠ADE＝AE/AD＝⅓，∴AE＝GC＝2.　　设EF＝x，则BF＝8－CF＝8－x，BE＝6－2＝4. 　　由勾股定理，得x2＝(8－x)2＋42，解得x＝5，即EF＝5.
感悟提高　　涉及直角梯形的问题，常作高构造矩形和直角三角形来解决问题．变式测试3　(2012·苏州) 如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB＝CD，延长线段CB到E，使BE＝AD，连接AE、AC.　(1)求证：△ABE≌△CDA；　(2)若∠DAC＝40°，求∠EAC的度数．　　解　(1)证明：在梯形ABCD中，　　∵AD∥BC，AB＝CD，　　∴∠ABE＝∠BAD，∠BAD＝∠CDA，　　∴∠ABE＝∠CDA.　在△ABE和△CDA中，　　∴△ABE≌△CDA(SAS)．　　(2)由(1)得：∠AEB＝∠CAD，AE＝AC，　　∴∠AEB＝∠ACE.　　∵∠DAC＝40°，∴∠AEB＝∠ACE＝40°，　　∴∠EAC＝180°－40°－40°＝100°.
4.(2011·福建) 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E.　　(1)求证：∠ABD＝∠CBD；　　(2)若∠C＝2∠E，求证：AB＝DC；　　(3)在(2)的条件下，sin C＝4/5，AD＝ 求四边形AEBD的面积．　　解　(1)∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD.　　∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD，　　∴∠ABD＝∠CBD.　　(2)∵AE∥DB，∴∠E＝∠CBD.　　由(1)得∠ABD＝∠CBD，∴∠ABC＝2∠CBD＝2∠E.　　又∵∠C＝2∠E，∴∠ABC＝∠C，　　∴在梯形ABCD中，AB＝DC.　　
感悟提高　　本题考查了梯形、直角三角形．解答该题时，充分利用了平行线的性质：两直线平行，内错角(同位角)相等．变式测试4　(2011·茂名) 如图，在等腰△ABC中，点D、E分别是两腰AC、BC上的点，连接AE、BD相交于点O，∠1＝∠2.　(1)求证：OD＝OE；　(2)求证：四边形ABED是等腰梯形；　(3)若AB＝3DE, △DCE的面积为2, 求四边形ABED的面积． 　　解　(1)证明：∵△ABC是等腰三角形，　　∴AC＝BC，∴∠BAD＝∠ABE.　　∵AB＝BA，∠2＝∠1，　　∴△ABD≌△BAE(ASA)，∴BD＝AE.　　又∵∠1＝∠2，∴OA＝OB，　　∴BD－OB＝AE－OA，即OD＝OE.　　
　　(2)证明：由(1)知：OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE，　　∴∠OED＝½(180°－∠DOE)，　　同理：∠1＝½(180°－∠AOB)．　　∵∠DOE＝∠AOB，∴∠1＝∠OED，∴DE∥AB.　　∵AD、BE是等腰三角形两腰所在的线段，　　∴AD与BE不平行，∴四边形ABED是梯形．　　又由(1)知，△ABD≌△BAE，∴AD＝BE，　　∴梯形ABED是等腰梯形．　　(3)由(2)可知：DE∥AB，　　∴△DCE∽△ACB，　　　　 ∴S△ACB＝18，　　∴S四边形ABED＝S△ACB－S△DCE＝18－2＝16 .