中考冲刺-数学-第24课矩形、菱形与正方形

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要点梳理1．有一个角是直角的平行四边形是矩形．矩形的四个角都是直角，对角线相等且互相平分．　　矩形的判定方法：　　(1)有三个角是直角的四边形；　　(2)是平行四边形且有一个角是直角；　　(3) 对角线相等 的平行四边形；　　(4) 对角线相等且互相平分 的四边形．2．有一组邻边相等 的平行四边形叫做菱形．菱形的四条边都相等，对角线互相垂直平分 ，且每一条对角线平分一组对角 ．　　菱形的判定方法：　　(1)四条边都相等；　　(2)有一组邻边相等 的平行四边形；　　(3)对角线互相垂直 的平行四边形；　　(4)对角线互相垂直平分 的四边形．3．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．正方形的四个角都是直角，四条边都相等，两条对角线相等，并且互相垂直平分 ．每一条对角线平分一组对角 ．　　
第24课 矩形、菱形与正方形
正方形的判定方法：　　(1)邻边相等的矩形；　　(2)有一角是直角的菱形．4.平行四边形与矩形的联系：　　在平行四边形的基础上，增加“一个角是直角”或“对角线相等”的条件可为矩形；若在四边形的基础上，则需有三个角是直角(第四个角必是直角)则可判定为矩形．5.平行四边形与菱形的联系：　　在平行四边形的基础上，增加“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”的条件可为菱形；若在四边形的基础上，需有四边相等则可判定为菱形．6.菱形、矩形与正方形的联系：　　正方形的判定可简记为：菱形＋矩形＝正方形，其证明思路有两个：先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等(即矩形)；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直(即菱形)．
考点巩固测试 1.如图，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，且DE＝AB，过C作CF⊥DE，垂足为F.　　　(1)猜想：AD与CF的大小关系；　　(2)请证明上面的结论． 　　　解　(1)AD＝CF.　　　(2)在矩形ABCD中，　　　AB∥＝CD，∠A＝90°，　　　∴∠CDF＝∠AED.　　　又∵DE＝AB，∴DE＝CD.　　　∵CF⊥DE，　　　∴∠A＝∠DFC＝90°，　　　∴△ADE≌△FCD，∴AD＝CF.感悟提高矩形四个角都是直角，抓住这一特征，证两个直角三角形全等；矩形的对角线将其分成若干个特殊三角形．
变式测试1　(2013·扬州) 如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD，垂足为E.求证：BE＝DE.　　证明　作CF⊥BE，垂足为F，　　　∵BE⊥AD，∴∠AEB＝90°，　　　∴四边形EFCD为矩形，　　　∴DE＝CF，　　　∴∠FED＝∠D＝∠CFE＝90°，　　　∵∠CBF＋∠ABE＝90°，∠BAE＋∠ABE＝90°，　　　∴∠BAE＝∠CBF，　　　在△BAE和△CBF中，　　　有∠CBF＝∠BAE，∠BFC＝∠BEA＝90°，　　　AB＝BC，　　　∴△BAE≌△CBF，　　　∴BE＝CF，即BE＝DE.
2.　如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC交BC的延长线于F.请你猜想DE与DF的大小关系？并证明你的猜想．　　　解　DE＝DF.　　证明：连接BD，　　在菱形ABCD中，　　BD平分∠ABC，　　∵DE⊥AB，DF⊥BC，　　∴DE＝DF.感悟提高　　此题可以证明△ADE≌△CDF，得DE＝DF；或者连接BD，由“角平分线上的点到角两边的距离相等”证明DE＝DF.变式测试2　(2013·娄底) 如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．　(1)求证：△MAB≌△NCD；　　(2)四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由．
　　　第24课 矩形、菱形与正方形
　　　解　(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，　　　∵AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠C＝90°，　　　∵在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，　　　∴AM＝½AD，CN＝½BC，∴AM＝CN，　　　 在△MAB≌△NCD中，　　　 ∴△MAB≌△NCD.　　　　　　(2)四边形MPNQ是菱形．　　　理由如下：连接AN，易证：△ABN≌△BAM，　　　∴AN＝BM，　　　∵△MAB≌△NCD，∴BM＝DN，　　　∵P、Q分别是BM、DN的中点，∴PM＝NQ，　　　∵DM＝BN，DQ＝BP，∠MDQ＝∠NBP，　　　∴△MQD≌△NPB，∴MQ＝NP，∴四边形MPNQ是平行四边形，　　　∵M是AD中点，Q是DN中点，　　　∴MQ＝AN，∴MQ＝BM，∴MP＝BM，　　　∴MP＝MQ，∴四边形MQNP是菱形．
变式测试2　(2013·娄底) 如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．　(1)求证：△MAB≌△NCD；　　(2)四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由．
3.(2013·青海) 如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F.　　(1)求证：△AOE≌△BOF；　　(2)如果两个正方形的边长都为a，那么正方形A1B1C1O绕O点转动，两个正方形重叠部分的面积等于多少？解　(1)证明：在正方形ABCD中，AO＝BO，∠AOB＝90°，∠OAB＝∠OBC＝45°.∵∠AOE＋∠EOB＝90°，∠BOF＋∠EOB＝90°，∴∠AOE＝∠BOF. 在△AOE和△BOF中，∴△AOE≌△BOF.(2)∵△AOE≌△BOF，∴S四边形OEBF＝S△EOB＋S△BOF＝S△EOB＋S△AOE＝S△AOB＝¼ S正方形ABCD＝¼ a2.答：两个正方形重叠部分面积等于¼ a2.
感悟提高　　正方形具有四边形、平行四边形、矩形及菱形的一切性质，它们之间既有联系又有区别，其各自的性质和判定是中考的热点．变式测试3　(2012·贵阳) 如图，在正方形ABCD中，等边△AE的顶点E、F分别在BC和CD上．　　(1)求证：CE＝CF；　　(2)若等边△AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长．解　(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，∴BE＝DF，∵BC＝CD，∴CE＝CF.(2)在Rt△AGE中，CE＝CF＝2×sin45°＝设正方形ABCD的边长为x，在Rt△ABE中，
4.　(2013·丽水) 已知，正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N，AH⊥MN于点H.(1)如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：____________； (2)如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由．如果成立请证明；(3)如图③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，NH＝3，求AH的长．(可利用(2)得到的结论) 　　　
(2)数量关系成立．　　　如图②，延长CB至E，使BE＝DN.　　　∵ABCD是正方形，　　　∴AB＝AD，∠D＝∠ABE＝90°，　　　∴Rt△AEB≌Rt△AND(SAS)，　　　∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，　　　∵∠BAD＝90°，∠MAN＝45°，　　　∴∠BAM＋∠NAD＝45°，　　　∴∠BAM＋∠EAB＝45°，　　　∴∠EAM＝∠NAM＝45°.　　　∵AM＝AM，∴△AEM≌△ANM(SAS)．　　　∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高，　　　∴AB＝AH.
(3)如图③，分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△ADN，∴BM＝2，DN＝3，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°.分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCD.由(2)可知，AH＝AB＝BC＝CD＝AD.设AH＝x，则MC＝x－2，NC＝x－3.在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2＝MC2＋NC2，∴52＝(x－2)2＋(x－3)2，解得x1＝6，x2＝－1(不符合题意，舍去)．∴AH＝6.感悟提高　　在判定矩形、菱形或正方形时，要弄清是在“四边形”，还是在“平行四边形”的基础上来求证的，要熟悉各判定定理之间的联系与区别，解答此类问题要认真审题，通过对已知条件的分析、综合，确定一种解决问题的方法，这里方程的思想很重要．
变式测试4　(2013·宿迁) 如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ＝t(0≤t≤2)，线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QE⊥AB于点E，过M作MF⊥BC于点F.　(1)当t≠1时，求证：△PEQ≌△NFM；　(2)顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值．　　　解　(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，　　　∴∠A＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB.　　　∵QE⊥AB，MF⊥BC，　　　∴∠AEQ＝∠MFB＝90°，　　　∴四边形ABFM、AEQD都是矩形，　　　∴MF＝AB，QE＝AD，MF⊥QE.　　　∵PQ⊥MN，　　　∴∠EQP＝∠FMN.　　　∵∠QEP＝∠MFN＝90°，　　　∴△PEQ≌△NFM.　　　
(2)∵点P是边AB的中点，AB＝2，DQ＝AE＝t，　　　∴PA＝1，PE＝|1－t|，QE＝2.　　　在Rt△QEP中，由勾股定理，得