2021年高考艺术生数学基础复习 考点48 逻辑联结词及数学归纳法（教师版含解析）

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考点48 逻辑联结词及数学归纳法
知识理解
一．简单的逻辑联结词
(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．
(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断
p
q
p且q
p或q
非p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
二．量词
2.全称量词和存在量词
(1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“∀”表示．
(2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用符号“∃”表示．
3．全称命题、存在性命题及含一个量词的命题的否定
命题名称
语言表示
符号表示
命题的否定
全称命题
对M中任意一个x，有p(x)成立
∀x∈M，p(x)
∃x∈M，
存在性命题
存在M中的一个x，使p(x)成立
∃x∈M，p(x)
∀x∈M，
三． 数学归纳法
1．由一系列有限的特殊现象得出一般性的结论的推理方法，通常叫做归纳法．
2．用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤如下：
(1)归纳奠基：证明取第一个自然数n0时命题成立；
(2)归纳递推：假设n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时，命题成立；
(3)由(1)(2)得出结论．
考向分析
考向一 命题的否定
【例1】(2021·四川成都市·高三二模(理))命题“，”的否定为( )
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】因为全称命题的否定是特称命题，
所以，命题“，”的否定是：，．故选：C．
【举一反三】
1．(2021·全国高三月考(理))命题“，”的否定是( )
A．， B．，
C．， D．
【答案】B
【解析】命题“，”为特称命题，该命题的否定为“，”.
故选：B.
2．(2021·湖南岳阳市)命题“，”的否定是( )
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】命题“，”为全称命题，该命题的否定为“，”.
故选：C.
3．(2021·泰州市第二中学)巳知命题：，，则命题的否定为( )
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】命题：，，则命题的否定为，.
故选：B
考向二 逻辑连接词求参数
【例2】(2021·全国高三专题练习)若命题“”是假命题，则实数a的范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】若命题“”是假命题，
则命题“”是真命题，
当时，，所以.
故选：A.
【举一反三】
1．(2021·天水市第一中学高三月考(理))已知命题，.若为假命题，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】为假命题，
，为真命题，
故恒成立，
在的最小值为，
∴.
故选：A.
2．(2020·北京人大附中高三月考)若命题“，使得成立”为假命题，则实数a的取值范围是( )
A．[1，+∞) B．[0，+∞) C．(，1) D．(，0]
【答案】A
【解析】
命题“，使得成立”为假命题, 则它的否定命题:
“，”为真命题
所以
解得，所以实数a的取值范围是
故选：A.
3．(2020·江西高三期中(文))存在，使得，则的最大值为( )
A．1 B． C． D．-1
【答案】C
【解析】由不等式，可化为，
设，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又由，所以函数的最大值为，
要使得存在，使得，则，
则的最大值为.
故选：C.
考向三 数学归纳法
【例3-1】(2020·全国高三专题练习(理))用数学归纳法证明不等式“1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，n≥2)”时，由n＝k(k≥2)时不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是( )
A．2k－1 B．2k－1
C．2k D．2k＋1
【答案】C
【解析】时，左边=，而n＝k＋1时，左边＝，
增加了，共(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k项，
故选：C.
【例3-2】．(2020·全国高三专题练习)设等比数列满足.
(1)计算，猜想的通项公式并加以证明；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)，，，证明见解析；(2).
【解析】(1)由题意，等比数列满足，
可得 ，，，
猜想的通项公式为，
证明如下：(数学归纳法)当时，显然成立； ①
假设时，即成立；其中，
由 ②
故假设成立，综上(1)(2)，数列的通项公式.
(2)令，
则前项和 ①
由①两边同乘以2得： ②
由①②的，
化简得.
【举一反三】
1．(2020·全国高三专题练习(理))用数学归纳法证明等式时，从到等式左边需增添的项是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当时，左边，共个连续自然数相加，
当时，左边，
所以从到，等式左边需增添的项是.
故选：C.
2．(2021·全国高三专题练习)设集合Tn＝{1，2，3，…，n}(其中n≥3，n∈N*)，将Tn的所有3元子集(含有3个元素的子集)中的最小元素的和记为Sn．
(1)求S3，S4，S5的值；
(2)试求Sn的表达式．
【答案】(1)S3＝1，S4＝5，S5＝15；(2) .
【解析】(1)当n＝3时，T3＝{1，2，3}，3元子集有：{1，2，3}，∴S3＝1；
当n＝4时，T4＝{1，2，3，4}，3元子集有：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，∴S4＝1×3+2＝5；
当n＝5时，T5＝{1，2，3，4，5}，3元子集有：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，4，5}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{3，4，5}，
．
(2)由S3＝1，S4＝5，S5＝15，S6＝35…归纳猜想出(n≥3)．下面用数学归纳法证明猜想：
①当n＝3时，S3＝1＝，结论成立；
②假设n＝k(k≥3，k∈N*)时，结论成立，即Sk＝，则当n＝k+1时，Tk+1＝{1，2，3，4，…，k，k+1}，





∴当n＝k+1时，结论成立．
综上：由①②可得．
强化练习

1．(2021·涡阳县育萃高级中学)已知命题，，则( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】命题为全称命题，根据全称命题的否定为特称命题，可得：
： 故选：B
2．(2021·漠河市高级中学高三月考(文))下列说法正确的是( )
A．若为真命题，则为真命题
B．命题“若，则”的否命题是“若，则”
C．“”是“”的充要条件
D．若：，，则：，.
【答案】D
【解析】对于A选项，若为真命题，可能真假，则为假，故A选项错误.
对于B选项，命题“若，则”的否命题是“若，则”，故B选项错误.
对于C选项，当时，，所以“”不是“”的充要条件，C选项错误.
根据全称量词命题的否定的知识可知，D选项正确.
故选：D
3．(2021·全国高三专题练习)下列关于命题的说法中正确的是( )
①对于命题P：，使得，则，均有
②“”是“”的充分不必要条件
③命题“若，则”的逆否命题是“若，则”
④若为假命题，则､均为假命题
A．①②③ B．②③④
C．①②③④ D．①③
【答案】A
【解析】①对于命题，使得，则均有，故①正确；②由“”可推得“”，反之由“”可能推出，则“”是“”的充分不必要条件，故②正确；
③命题“若，则”的逆否命题是“若，则”，故③正确；
④若为假命题，则，至少有一个为假命题，故④错误．
则正确的命题的有①②③．
故选：A
4．(2021·河南高三其他模拟(文))命题“”的否定为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】命题“”是全称命题，又全称命题的否定是特称命题，故“，”的否定是“”.
故选：C.
5．(2021·山东菏泽市·高三一模)命题“”的否定是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题：，的否定是：，.故选：C
6．(2021·四川成都市·石室中学高三月考(理))设命题，，则为( )
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】命题为全称命题，该命题的否定为，.
故选：D.
7．(2020·湖北武汉市·华中师大一附中高三期中)“”是“，是假命题”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由题意，命题“，是假命题”
可得命题“，是真命题”
当时，即时，不等式恒成立；
当时，即时，则满足，解得，
综上可得，实数，
即命题“，是假命题”时，实数的取值范围是，
又由“”是“”的必要不充分条件，
所以“”是“，是假命题”的必要不充分条件，
故选：B.
8．(2021·全国高三专题练习)若命题“时，”是假命题，则的取值范围( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若命题“，时，”是假命题，
则命题“，时，”是真命题,
则，
设，
当时，,则.
故选：D．
9．(2020·江苏海门市·高三月考)命题“”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】“”为真命题，可得，因为 ，
故选:D.
10．(2021·全国高三专题练习)已知命题“，”是假命题，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为命题“，”是假命题，
所以对恒成立，
所以恒成立．
因为，
所以，则，
故．
故选：A
11．(2020·全国高三专题练习)用数学归纳法证明“”，从“k到”左端需增乘的代数式为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时，等式的左边，
当时，等式的左边，
所以当从“到”左端增乘的代数式为.
故选：B.
12．(多选)(2021·恩施市第一中学)下列命题正确的有( )
A．命题“，”的否定是“，”．
B．函数向右平移个单位得到函数解析式为．
C．函数的零点为，．
D．1弧度角表示：在任意圆中，等于半径长的弦所对的圆心角．
【答案】AB
【解析】对A，根据全称命题的否定性质，A为正确的；
对B，向右平移个单位得到函数；
对C，函数零点是数而不是点，故C错误；
对D，1弧度角表示为在任意圆中，等于半径长的弧所对的圆心角，故D错误；
故选：AB.
13．(多选)(2021·全国高三专题练习)下列命题中正确的是( )
A．， B．，
C．， D．，
【答案】BD
【解析】对于选项A：当时，，所以恒成立，故选项A不正确；
对于选项B：当时，，且，所以，故选项B正确；
对于选项C：当时，，，则，故选项C不正确；
对于选项D：当时，，由对数函数和指数函数的性质可知，当时，
，故选项D正确；
故选：BD
14．(多选)(2021·全国高三专题练习)若，使得成立是假命题，则实数可能取值是( )
A． B． C．3 D．
【答案】AB
【解析】由条件可知，是真命题，
即，即，
设
等号成立的条件是，所以的最小值是，
即，满足条件的有AB.
故选：AB
15．(2021·江西高三其他模拟(文))已知命题“存在，使”是假命题，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】因为命题“存在，使”是假命题，
所以命题“，使得”是真命题，
当时，得，故命题“，使得”是假命题，不合题意；
当时，得，解得.
故答案为：
16．(2021·全国高三专题练习)若“存在x∈[﹣1，1]，成立”为真命题，则a的取值范围是___．
【答案】
【解析】存在x∈[﹣1，1]，成立，即在上有解，
设，，
易得y＝f(x)在[﹣1，1]为减函数，
所以，即，即，
即，所以，
故答案为：．
17．(2020·江西高三其他模拟(文))若命题，为假命题，则m的取值范围是______．
【答案】
【解析】命题，为假命题，
：，为真命题，
则，解得，
即m的取值范围是.
故答案为：.
18．(2020·北京密云区·高三期中)若“，使得.”为假命题，则实数a的最大值为___________.
【答案】3
【解析】由“∃x0>1，使得.”为假命题，可知，“”为真命题，
恒成立，
由，当且仅当时取等号，
即a的最大值为3.
故答案为：3.
19．(2021·湖南永州市·高三二模)若对，都有，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】解：因为，都有，所以，都有，令，，因为，在上单调递减，所以，所以，
即实数的取值范围是；
故答案为：
20．(2020·全国高三月考(文))已知命题，，命题；若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】设命题，成立对应的的范围为集合，

若，，则，所以
而，当且仅当，即时等号成立，
所以，故，所以，
因为是的充分不必要条件，所以Ü，所以，
即实数的取值范围为.
故选答案为：
21．(2020·凌海市第二高级中学高三月考)命题“”为真命题，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】命题“”为真命题，且，
，则，故实数的取值范围是.
故答案为：.
22．(2020·上海徐汇区·高三一模)用数学归纳法证明能被整除时，从到添加的项数共有__________________项(填多少项即可)．
【答案】5
【解析】当时，原式为：，
当时，原式为，
比较后可知多了，共5项.
故答案为：5
23．(2020·浙江高三其他模拟)用数学归纳法证明：，第一步应验证的等式是__________；从“”到“”左边需增加的等式是_________.
【答案】
【解析】当时，应当验证的第一个式子是，从“”到“”左边需增加的式子是
24．(2021·全国高三专题练习)设数列满足，.
(1)计算，.猜想的通项公式并利用数学归纳法加以证明；
(2)记，求数列的前n项和.
【答案】(1)，，；证明见解析；(2).
【解析】(1)由题意可得，，
由数列的前三项可猜想数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
即，
证明如下：
当时，成立；
假设时，成立.
那么时，也成立.
则对任意的，都有成立；
(2)因为.
∴，①
，②
①-②得：
.
∴.
25．(2020·全国高三专题练习)已知数列满足：，点在直线上.
(1)求，，的值，并猜想数列的通项公式；
(2)用数学归纳法证明(1)中你的猜想.
【答案】(1)，；(2)证明见解析.
【解析】(1)因为点在直线上
所以，
因为，
故，
，
，
由上述结果，猜想：.
(2)，当时，成立，
，假设当时，成立，
那么，当时，成立，
由，可得.
26．(2020·黑龙江哈尔滨市·高三月考(理))已知数列满足，，.
(1)求，，；
(2)猜想的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
【答案】(1)，，；(2)；证明见解析.
【解析】1)因为，，所以，又因为
，，
(2)
证明：时，，结论成立
假设时，结论成立，即
当时：

结论成立.
综上，数列通项为
27(2020·云南师大附中高三月考(理))设数列满足，，当.
(1)计算，，猜想的通项公式，并加以证明.
(2)求证：.
【答案】(1)，，，证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】(1)解：由，，
所以，.
猜想：，
证明：当时，由，，故成立；
假设()时成立，即，
所以，即当时成立，
综上所述，.
(2)证明：由(1)知，，
所以



，证毕.