2021年高考艺术生数学基础复习 考点38 单调性的分类讨论（教师版含解析）

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考点38  单调性的分类讨论讨论函数f(x)单调性的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)，并求方程f′(x)＝0的根；(3)利用f′(x)＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f′(x)的正负，由符号确定f(x)在该区间上的单调性．注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．考向一 定义域为R【例1-1】(2021·内蒙古)设函数.求函数的单调区间。【答案】(1)的减区间为，增区间为，【解析】的定义域为，∵，当时，，为减函数；当时，，为增函数，故的减区间为，增区间为，极小值为。【例1-2】已知函数，讨论函数的单调性；【答案】见解析【解析】因为，所以.令，解得或.若，当即或时，故函数的单调递增区间为；当即时，故函数的单调递减区间为.若，则，当且仅当时取等号，故函数在上是增函数.若，当即或时，故函数的单调递增区间为；当即时，故函数的单调递减区间为.综上，时，函数单调递增区间为，单调递减区间为； 时，函数单调递增区间为；时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.【举一反三】1.(2021年广东湛江)已知函数判断函数的单调性。【答案】见解析【解析】由题意可求，1.当时，在上为减函数，无极值；2.当时，令，解得, 令，解得于是在为增函数，在为减函数；2．(2021年河北)若定义在上的函数，，求函数的单调区间；【答案】见解析.【解析】函数，求导得到，当时，，函数在上单调递增；当时，由，得到，所以时，，单调递减，时，，单调递增，综上所述，当时， 单调递增区间为；当时， 单调递增区间为，单调递减区间为；3．(2021年广东梅州)已知函数，讨论的单调性；【答案】见解析【解析】，当时，，∴在上单调递减.当时，令，得；令，得.∴的单调递减区间为，单调递增区间为.当时，令，得；令，得.∴的单调递减区间为，单调递增区间为.4．(2021年湖南)已知函数，讨论的单调性；【答案】见解析【解析】因为，所以，即.由，得，.①当时，，当且仅当时，等号成立.故在为增函数.②当时，，由得或，由得；所以在，为增函数，在为减函数.③当时，，由得或，由得；所以在，为增函数，在为减函数.综上，当时，在为增函数；当时，在，为增函数，在为减函数；当时，在，为增函数，在为减函数.5．设函数，讨论的单调性；【答案】见解析【解析】(1)由题意得，当时，当；当时，；在单调递减，在单调递增，当时，令得，当时，；当时，；当时，；所以在单调递增，在单调递减；②当时，，所以在单调递增，③当时，；当时，；当时，；∴在单调递增，在单调递减；     考向二 定义域非R【例2-1】已知函数，，讨论的单调性；【答案】见解析【解析】由已知可知函数的定义域为，由,当时，所以在为增函数,当时，,所以的单调递增区间为,单调递减区间为.【例2-2】已知，求单调区间【答案】见解析【解析】该函数定义域为(第一步：对数真数大于0求定义域)令，解得(第二步，令导数等于0，解出两根)(1)当时，单调增，单调减(第三步，在不在进行分类，当其不存在得到；第四步数轴穿根或图像判断正负)(2)当时即单调增，(第五步，x1在区间时，进行比较大小，当得到第四步图像判断正负)①当时，即单调增，单调减(当得到；第四步图像判断正负)②当时，即单调增，单调减(得到；第四步图像判断正负)综上可知：，单调增，单调减；，单调增单调增，单调减，单调增， 单调减【举一反三】【例3】已知函数.讨论函数的单调性；【答案】见解析【解析】由题意知，的定义域为，由，得.①当时，令，可得，，得，故函数的增区间为，减区间为；②当时，，令，可得，，得或，故的增区间为，减区间为、；③当时，，故函数的减区间为；④当时，，令，可得，，得，或，故的增区间为，减区间为，.综上所述：当时，在上为减函数，在上为增函数；当时，在，上为减函数，在上为增函数；当时，在为减函数；当时，在，上为减函数，在上为增函数.2.(2021重庆月考)已知函数讨论的单调性.【答案】见解析【解析】因为，定义域为，所以，当时，，则在上单调递增. 当时，所以当时，；当时，. 综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为    1.(2021·全国课时练习)设函数，讨论函数的单调性.【答案】答案见解析.【解析】当时，，∴在上单调递减；当时，令，则，∴当时，；当时，，∴在上单调递减，在上单调递增；综上，当时，单调递减区间是，无单调递增区间；当时，单调递减区间是，单调递增是2．(2021·全国课时练习)已知函数，讨论的单调性.【答案】当在 上单调递增；当在上单调递增，在上单调递减.【解析】的定义域为，.当，则x∈时，，故在单调递增.当a＜0，则x∈时，；x∈时，故在单调递增，在单调递减.综上所述, 当在上单调递增；当在上单调递增，在上单调递减.3．(2021·全国课时练习)已知函数，讨论的单调性.【答案】当，在单调递增；当，在单调递减，在单调递增.【解析】定义域为，因为，若，则，所以在单调递增，若，则当时，，当时，，所以在单调递减，在单调递增.综上，当，在单调递增；当，在单调递减，在单调递增.4．(2021·全国课时练习)已知函数，实数，讨论函数在区间上的单调性.【答案】时，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.【解析】由题知的定义域为，.∵，，∴由可得.(i)当时，，当时，单递减；(ii)当时，当时，，单调递减；当时，，单调递增.综上所述，时，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.5．(2021·全国课时练习)设函数f(x)=ax2–a–lnx，g(x)=，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数，讨论的单调性.【答案】当时， 在 上单调递减；当时， 在 上单调递减，在上单调递增.【解析】当时，<0，在内单调递减.当时，由=0有.当时，<0，单调递减；当时，＞0，单调递增.综上，当时， 在 上单调递减；当时， 在 上单调递减，在上单调递增.6．(2021·全国课时练习)求f (x)＝3x2－2ln x函数的单调区间.【答案】递增区间为，递减区间为.【解析】f(x)＝3x2－2ln x的定义域为(0，＋∞)，则f ′(x)＝6x－＝，由f ′(x)＞0，解得x＞.由f ′(x)＜0，解得0＜x＜.∴函数f (x)＝3x2－2ln x的单调递增区间为，单调递减区间为.7．(2021·全国课时练习)设函数讨论的单调性.【答案】答案见解析.【解析】定义域为，，令，①当时，，，故在上单调递增，②当时，，的两根都小于零，在上，，故在上单调递增，③当时，，的两根为，当时，；当时，；当时，；故分别在上单调递增，在上单调递减.综上可得：①当时，在上单调递增；②当时，在上单调递增；③当时，分别在上单调递增，在上单调递减.8．(2021·全国课时练习)已知函数.讨论的单调性.【答案】答案见解析.【解析】因为，所以定义域为，所以.当时，恒成立，在上单调递减；当时，由，得；由，得.故在上单调递减，在上单调递增.综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.9．(2021·全国课时练习)已知函数，讨论的单调性.【答案】答案见解析.【解析】函数，定义域为，，当时，.故在定义域上单调递增，此时无减区间.当时，令，得；当时，，故单调递增；当时，，故单调递减.综上所述，当时，在定义域上单调递增，此时无减区间；当时，在上单调递增，在上单调递减.10．(2021·全国课时练习)已知函数.讨论函数的单调性.【答案】答案见解析.【解析】因为，所以的定义域为，，当时，，则在上是增函数；当时，，所以；或；，所以在上是减函数，在和上是增函数.11．(2021·全国课时练习)已知函数，讨论的单调性．【答案】答案见解析【解析】的定义域为，，若，则恒成立，故在上为减函数；若，则当时，，当时，，故在上为增函数，在上为减函数， 综上，当时，在上为减函数；当时，在上为增函数，在上为减函数．