2021年高考艺术生数学基础复习 考点24 空间几何中的垂直（教师版含解析）

考点24  空间几何中的垂直

一．直线与平面垂直

(1)直线和平面垂直的定义：

直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直

(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：

二．平面与平面垂直的判定定理与性质定理

三．证明线线垂直的思路

考向一 线面垂直

【例1】3．(2021·江西吉安市·高三期末节选)如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为正三角形，为的中点，求证：平面

【答案】证明见解析

【解析】∵为正三角形，为的中点，∴.

∵，，为的中点.∴四边形为平行四边形，∴.

又，∴，即.又，∴平面.

【举一反三】

1．(2021·河南信阳市节选)如图所示，四棱锥中，，，，平面，求证:平面

【答案】证明见解析

【解析】证明:，，

又，，故，

又平面平面，，

又，平面.

2．(2021·江西赣州市节选)如图，已知三棱柱的所有棱长均为2，，证明：平面

【答案】证明见解析

【解析】证明：如图取中点，连接．

因为四边形为菱形，所以

又因为三棱柱的所有棱长均为2，，

所以和是等边三角形，所以

因为平面，

所以平面

所以，而，

所以平面

3．(2020·山东德州市节选)如图，四棱锥中，四边形是边长为的正方形，为等边三角形，分别为和的中点，且，证明:平面

【答案】证明见解析

【解析】如图所示，连接，由是边长为的正方形，

因为是的中点，可得的中点，

在中，因为分别是的中点，可得，

又因为，所以，

又由，且，所以平面.

考向二 面面垂直

【例2】(2021·河南高三期末节选)如图，直四棱柱的底面为平行四边形，，，，，是的中点，求证：平面平面

【答案】证明见解析

【解析】由题意可得，

所以，因此.

在直四棱柱中，

平面，平面，所以

又因为，平面，所以平面，

因为平面，所以平面平面．

【举一反三】

1．(2021·河南焦作市节选)如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，平面点为线段的中点，求证:平面平面

【答案】证明见解析

【解析】因为四边形是菱形，所以

因为平面平面所以

又因为所以平面

因为平面所以平面平面.

2．(2021·山东青岛市·高三期末节选)如图，在直角梯形中，，，，，.将矩形沿翻折，使得平面平面，若，证明：平面平面

【答案】证明见解析

【解析】证明：连接，因所以

因为平面平面，平面平面，所以平面

因为平面，所以

因为，所以平面

因为平面，所以平面平面

3．(2021·安徽马鞍山市节选)如图，BE，CD为圆柱的母线，是底面圆的内接正三角形，M为BC的中点，证明：平面AEM⊥平面BCDE

【答案】证明见详解

【解析】根据题意可得，.

又为圆柱的母线，平面.

，，

平面.

又平面，

平面平面．

考向三 线线垂直

【例3】(2021·江西宜春市·高安中学节选)如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，已知，E为的中点，求证

【答案】证明见解析

【解析】交点为，连接，

是边长为2的菱形，是的中点，

，

又平面，平面，，平面，

平面，

【举一反三】

1．(2021·江苏南通市·高三期末节选)如图，在四棱锥中，，，，为的中点，，求证：

【答案】证明见解析

【解析】取AC中点M，连接FM，DM，

分别为AB，AC中点，，

，

四边形DEFM是平行四边形，，

，

平面ACD，，

平面CDM，平面CDM，；

2．(2020·山东德州市节选)如图，已知四棱锥中，底面为菱形，平面分别为的中点.

(1)求证:;

(2)求证:平面.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】

证明：(1)连，

，底面为菱形，

是等边三角形，

，

，

又，

，

又面面，

，

，

面面，

.

取的中点，连，

，

所以，

又，

，

四边形是平行四边形，

，

又面面，

面.

3．(2021·山东枣庄市节选)如图，四棱锥的侧面是正三角形，底面是直角梯形，，，为的中点，求证：

【答案】(1)证明见解析；(2).

【解析】证明：取中点，连，，

因为是正三角形，所以.又是中点，所以.

因为，即.所以，因为，､平而，

所以平面，平面，所以.

1．(2021·山东泰安市·高三期末节选)如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，为上一点，过作与平行的平面，分别交，于点，，证明：平面

【答案】证明见解析

【解析】证明：连接，交于点，连接．

∵平面，平面平面，平面，∴．

∵底面是菱形，∴，且为，中点，

又，∴，又，平面，

∴平面，∴平面．

2．(2021·浙江金华市·高三期末节选)在三棱锥中，平面平面ABC，，)证明：平面ABC

【答案】证明见解析；

【解析】证明：取AB中点D，连接PD，DC

∵，，则，，

而，∴平面PDC，

因为平面，故．

在中，，故，∴．

又∵平面平面，且交线为AC，平面，

∴平面，因为平面，故．

因为，∴平面．

3．(2021·河南焦作市节选)如图，四棱锥的底面为正方形，底面，，，分别为，，的中点，求证：平面

【答案】证明见解析

【解析】因为底面，底面，

所以，因为，分别为正方形的边，的中点，

，

所以，所以，由

所以，所以，

因为平面，平面，，

所以平面.

4．(2021·浙江温州市节选)如图，已知三棱锥﹐，是边长为的正三角形，﹐，点为线段的中点，证明：平面

【答案】证明见解析

【解析】在中，，，，

由余弦定理可得，，

，，，平面；

5．(2021·陕西咸阳市·高三一模节选)如图，在三棱锥中，平面平面，，，，，是的中点，求证：平面

【答案】证明见解析

【解析】平面平面，平面平面=AC，平面，，

∴平面，

∵平面，

∴，

∵，是的中点，

∴，

∵，平面，

∴平面．        

6．(2021·浙江金华市节选)如图，在四棱锥中，底面为矩形，，平面平面，若E为的中点，求证：平面

【答案】证明见解析

【解析】因为平面平面，且平面平面，底面为矩形，所以，又平面，所以平面，又平面，所以；

因为，所以为等腰三角形，E为的中点，所以，因为，面，所以面

7．(2021·西安市铁一中学节选)如图，在底面为菱形的四棱锥中，，点在上，且，求证：平面

【答案】证明见详解

【解析】因为底面是菱形，，

所以，

在中，，

由，可得.

同理，，又所以平面.

8．(2021·河南高三期末节选)如图，直四棱柱的底面为平行四边形，是的中点，求证：平面平面

【答案】证明见解析

【解析】由题意可得，

所以，因此，

在直四棱柱中，平面，所以，

又因为，所以平面，

因为平面，所以平面平面．

9．(2021·江苏南通市节选)如图，四面体中，O是的中点，点G、E分别在线段AO和BC上，，，，.

(1)求证：平面；

(2)求证：平面平面.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】证明：(1)连接并延长，交于，连接，

在中，为BD中点，在AO上，，

∴为的重心∴，

又∴∴，

∵平面，平面，

∴平面；

(2)在中，为中点，，，

∴∴，

在中，，为中点，连接，则，

又，∴，∴

由，，，平面，

得平面，

又平面，

∴平面平面.

10．(2021·山西吕梁市·高三一模节选)如图，四棱锥中，，，侧面为等边三角形，，，，求证：

【答案】证明见解析

【解析】由已知，，得，

，所以，所以，

又，所以平面，

又平面，所以.

11．(2021·云南高三期末)如图所示，在正方体中，点为线段的中点.

(1)求证：；

(2)求证：平面.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】(1)在正方体中，

∵，，且，

∴平面，平面.

∴

(2)如图所示，连接，交于，连接.

由题设得：，，

∴四边形为平行四边形.

∴.

又∵平面，平面，

∴平面.

12．(2021·江西景德镇市节选)如图，已知四棱锥，其中，，，，侧面底面，是上一点，且是等边三角形，求证：平面

【答案】证明见解析

【解析】，，，

侧面底面，侧面底面，平面，

平面，

平面，，

如下图所示，取的中点，连接、，

，且为的中点，则，

，则，所以，四边形为平行四边形，则，

平面，

、平面，，，

为等边三角形，则，

所以，，，

由，，即，

，因此，平面；

13．(2021·江西景德镇市·景德镇一中)如图，在三棱柱中，平面平面， ，，，为的中点.

(1)求证：平面；

(2)求证：平面.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】(1)如下图所示，连接、，设，连接，

在三棱柱中，四边形为平行四边形，

因为，在点为的中点，又因为点为的中点，，

平面，平面，所以，平面；

(2)，为的中点，，

因为平面平面，平面平面，平面，

平面，

平面，，

，，平面.

14．(2021·陕西咸阳市)在三棱锥中，、分别为、的中点，且，平面平面.

(1)证明：平面；

(2)证明：.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】(1)在中，、分别是、的中点，.

平面，平面，平面；

(2)在中，，为的中点，，

又平面平面，平面平面，平面，

平面.

平面，.

15．(2021·全国)已知四棱锥中，平面平面，为等边三角形，底面为直角梯形，且，点为的中点，求证：.

【答案】证明见解析.

【解析】因为为等边三角形，为的中点，所以，

因为平面平面，平面平面，，平面，

所以平面，

因为平面，所以，

因为，所以平面，

因为平面，所以.

16．(2020·全国)如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．

(1)证明：平面平面；

(2)若点是线段的中点，求证：平面．

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】证明：(1)因为矩形所在平面与半圆弦所在平面垂直，

面面，，面，

所以半圆弦所在平面，

且半圆弦所在平面，

所以；

又是上异于，的点，

所以；

又，

所以平面；

又平面，

所以平面平面；

(2)由是的中点，连接交于点，连接，如图所示：

由中位线定理得；

又平面，平面，

所以平面．

17．(2021·全国高三专题练习)如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是 上异于，的点.证明：平面平面.

【答案】证明见解析

【解析】由题设知，平面⊥平面，交线为.

因为⊥，平面，所以⊥平面，故⊥.

因为为上异于，的点，且为直径，所以⊥.

又=，所以⊥平面.

而平面，故平面⊥平面.

18．(2020·全国高三专题练习)已知四棱锥中，平面平面，为等边三角形，底面为直角梯形，且，点为的中点，求证：.

【答案】证明见解析.

【解析】证明：∵为等边三角形，为的中点，∴，

又∵平面平面，且平面平面，

，平面，∴平面，

又平面，∴，

∵，∴平面，又平面，∴.

19．(2020·江苏苏州市·高三三模)如图，在三棱柱中，，为中点，平面平面，.

(1)求证：平面；

(2)求证：.

【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析

【解析】证明：(1)连结交于点，连结.

因为是三棱柱，所以是平行四边形，所以为中点.

有因为为中点，所以.

又平面，平面，所以平面.

(2)因为，为中点，所以.

又因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面.

因为平面，所以.

又因为，，平面，平面，

所以平面.

因为平面，所以.