2021年高考艺术生数学基础复习 考点33 幂函数（教师版含解析）

这是一份2021年高考艺术生数学基础复习 考点33 幂函数（教师版含解析），共20页。教案主要包含了幂函数的定义域值域，幂函数的性质等内容，欢迎下载使用。
考点33  幂函数一．幂函数的概念一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．幂函数的特征(1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数(2)xα的系数为1(3)只有一项二．五种常见幂函数的图象与性质函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1图象定义域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0)减，(0，＋∞)增增增(－∞，0)和(0，＋∞)减公共点(1，1)考向一  幂函数的定义【例1】(2021·四川资阳市)已知幂函数的图象过点，则(    )A． B． C． D．【答案】B【解析】幂函数的图象过点，则，解得：，故选：B.【举一反三】1．(2020·四川达州市)如果幂函数的图象经过点，那么的值是(   )A． B． C． D．【答案】D【解析】将点代入可得，即，可得：，解得：，故选：D2．(2021·福建三明市)若幂函数的图象过点，则的值为(    )A． B． C． D．【答案】D【解析】设幂函数，因为幂函数的图象过点，所以，解得，所以，所以，故选：D3．(2021·浙江丽水市)已知幂函数的图象经过点，则_______.【答案】【解析】由函数为幂函数，可知，故，由函数图象经过点，所以，即，故，故答案为：考向二 幂函数的定义域值域【例2】(2020·全国课时练习)(1)函数的定义域是_____，值域是_____；(2)函数的定义域是____，值域是_____；(3)函数的定义域是______，值域是_____；(4)函数的定义域是_____，值域是______.【答案】R                                【解析】(1)的定义域是，值域是；(2)的定义域是，值域是；(3)的定义域是，值域是；(4)的定义域是，值域是；故答案为：；；；；；；；．【举一反三】1．(2020·全国课时练习)在函数①；②；③；④；⑤；⑥中定义域与值域相等的有_________个.【答案】3【解析】①的定义域为，值域为.②的定义域为，值域为.③的定义域为，值域为.④的定义域为，值域为.⑤的定义域为，值域为.⑥的定义域为，值域为.故定义域与值域相等的有①, ②和⑤故答案为：32．(2020·全国课时练习)已知幂函数，该函数的值域为_________.【答案】【解析】根据幂函数的定义，得，函数为，由图象得函数的值域为，故答案为：．3．(2020·全国高一课时练习)5个幂函数：①；②；③；④；⑤.其中定义域为的是(    )A．只有①② B．只有②③ C．只有②④ D．只有④⑤【答案】C【解析】①的定义域为，②的定义域为R，③的定义域为，④的定义域为R，⑤的定义域为，故选：C.考向三 幂函数的性质【例3-1】(2021·河北邯郸市)已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为(    )A． B． C．1 D．或1【答案】A【解析】由于为幂函数，所以或；又函数在上单调递减，故当时符合条件，故选：A【例3-2】．(2020·河南高三期中)已知幂函数为奇函数，则实数的值为(    )A．4或3 B．2或3 C．3 D．2【答案】D【解析】是幂函数，，解得或3，当时，为奇函数；当时，为偶函数，∴.故选：D.【例3-3】．(2021·江苏南通市·海门市第一中学)已知，则a，b，c的大小关系为(    )A． B．C． D．【答案】D【解析】，，，因为在单调递增，所以，即，因为在上单调递增，，所以，即，所以，即故选：D.【举一反三】1．(2021·繁昌县第一中学)已知幂函数是偶函数，则________.【答案】【解析】因为函数为幂函数，所以，解得或.当时，，函数为奇函数，不合题意；当时，，函数为偶函数，所以.故答案为：.2．(2021·沙坪坝区·重庆南开中学)已知幂函数为定义在R上的偶函数，则实数___________.【答案】0【解析】为幂函数， ，解得：或；当时，，是偶函数，满足题意；当时，，是奇函数，不满足题意；综上所述：；故答案为：0.3．(多选)(2020·全国课时练习)已知幂函数(m，，m，n互质)，下列关于的结论正确的是(    )A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数B．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数C．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数D．时，幂函数在上是减函数E.m，n是奇数时，幂函数的定义域为【答案】ACE【解析】，当m，n是奇数时，幂函数是奇函数，故A中的结论正确；当m是偶数，n是奇数，幂函数/在时无意义，故B中的结论错误当m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数，故C中的结论正确；时，幂函数在上是增函数，故D中的结论错误；当m，n是奇数时，幂函数在上恒有意义，故E中的结论正确.故选：ACE.4．(2021·江西景德镇市·景德镇一中)已知，，，则的大小关系是(    )A． B． C． D．【答案】B【解析】∵， ∴，，,∴故选：B5．(2021·重庆九龙坡区·高一期末)已知，，，，则a，b，c，d的大小关系是(    )A． B． C． D．【答案】B【解析】因为为上的减函数，故，故，又为上的增函数，故，故，而为上的增函数，故，故，故，故选：B.考向四  幂函数的图像【例4】(2021·山东滨州市)已知幂函数 在第一象限的图象如图所示，则(    )A． B． C． D．【答案】B【解析】由图象可知，当时，，则故选：B【举一反三】1．(2021·浙江)幂函数，指数函数，对数函数是生活中三类常见基本的初等函数，可以刻画客观世界不同的变化规律．已知函数，，的图像如图所示，则(    )A． B．C． D．【答案】A【解析】由图象可得曲线①为对数函数，在定义域为为增函数，则，曲线②为指数函数，为减函数，则 曲线③为幂函数，在上为减函数，则 所以 故选：A2．(2020·福建宁德市)已知函数：①；②；③；④；则下列函数图象(第一象限部分)从左到右依次与函数序号的对应顺序是(    )A．②①③④ B．②③①④ C．④①③② D．④③①②【答案】D【解析】①：函数是实数集上的增函数，且图象过点，因此从左到右第三个图象符合；②：函数是实数集上的减函数，且图象过点，因此从左到右第四个图象符合；③：函数在第一象限内是减函数，因此从左到右第二个图象符合；④：函数在第一象限内是增函数，因此从左到右第一个图象符合，故选：D3．(2021·西安高新唐南中学)在同一直角坐标系中，函数的图象可能是(    )A． B．C． D．【答案】D【解析】函数，与，选项A：没有幂函数图像；选项B：中，中，不符合；选项C：中，中，不符合；选项D：中，中，符合.故选：D.4．(2020·威海市文登区教育教学研究培训中心高三期中)函数与的图象如图，则下列不等式一定成立的是(    )A． B． C． D．【答案】C【解析】由图可知，单调递增，则；单调递减，则，A：0不一定成立，如；B：不一定成立，如；C：，成立；D：不成立，，，.故选：C.1．(2021·湖北鄂州市)“函数是幂函数”是“函数值域为”的(      )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】“函数是幂函数”等价于：，即，故或，即取值集合为；“函数值域为”等价于：中，且，即，故，即取值集合为.故是的真子集，“或”是“”的必要不充分条件，即“函数是幂函数”是“函数值域为”的必要不充分条件.故选：B.2．(2021·渝中区·重庆巴蜀中学高一期末)已知幂函数在其定义域内不单调，则实数m=(    )A． B．1 C． D．【答案】A【解析】由幂函数定义，，解得：或，又在定义域内不单调，所以，故选：A．3．(2021·陕西榆林市·高三一模)下列四个函数：①；②；③；④，其中定义域与值域相同的函数的个数为(    )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】①函数的定义域为，值域也为；即定义域和值域相同；②函数的定义域为，值域也为；即定义域和值域相同；③指数函数的定义域为，值域为，即定义域和值域不同；④幂函数的定义域为，值域也为，即定义域和值域相同；故选：C.4．(2020·全国课时练习)设，则使函数的定义域为且函数为奇函数的所有的值为(    )A． B．C． D．【答案】C【解析】时，函数解析式为满足题意；时，函数解析式为，偶函数，不符合题意；时，函数解析式为满足题意；时，函数解析式为，定义域为，不符合题意；时，函数解析式为，定义域为，不符合题意.故选：C.5．(2020·全国课时练习)已知幂函数的图像过点，则 的值域是(   )A． B．C． D．【答案】D【解析】幂函数的图像过点，，解得，， 的值域是.故选：D.6．(2021·内蒙古包头市)已知函数(，且)的图象恒过定点，若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是(    )A． B．C． D．【答案】B【解析】由得，，即定点为，设，则，，所以，图象为B．故选：B．7．(2021·浙江温州市·温州中学高三开学考试)在同一个直角坐标系下，函数，，且)图象可能是(    )A．B．C． D．【答案】B【解析】根据指数函数、对数函数与幂函数的性质，可得：当时，函数为定义域上的单调的递减函数，函数为定义域上的单调递增函数且上凸，所以ACD项不符合，B项符合；当时，函数为定义域上的单调的递增函数，函数为定义域上的单调递增函数且下凸，所以ABCD项都不符合.故选：B.8．(2020·湖北高三学业考试)已知函数，，的图像如图所示，则(    )
 A．，，B．，，C．，，D．，，【答案】D【解析】由的图象关于轴对称可知为偶函数，故，由的图象可知，为非奇非偶函数，故，由的图象关于原点对称可知为奇函数，故.故选：D9.(2021·全国高一)如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是(    )
 A．①，②，③，④ B．①，②，③，④C．①，②，③，④ D．①，②，③，④【答案】B【解析】对于图①，函数图象关于原点对称，为奇函数，且在上递增，故只有符合；对于图②，函数图象关于轴对称，为偶函数，且在上递增，故只有符合；对于图③，函数的定义域为，且为增函数，故符合；对于图④，函数的定义域为，且为奇函数，并且在上递减，故符合.故选：B．10．(2021·湖北武汉市·高三月考)设，，，则(　　)A． B． C． D．【答案】C【解析】，所以，故有.故选：C11．(2021·江苏南通市·高三期末)已知，，，则，，的大小关系为(     )A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，，.故选：B.12．(2021·江西宜春市·高安中学)设实数满足， 则的大小关系是(    )A． B．C． D．【答案】B【解析】解：因为，函数在上为减函数，所以，因为在上为增函数，所以，因为在上为减函数，所以，所以，故选：B13．(2021·四川凉山彝族自治州)已知幂函数，满足在为减函数，则的值为(    )A．或 B． C． D．【答案】C【解析】由于幂函数在为减函数，所以，，解得.故选：C.14．(2021·云南玉溪市)已知幂函数，在上是减函数，则的值为(    )A． B． C． D．或【答案】A【解析】因为幂函数，在上是减函数，所以，，解得.故选：A.15．(2021·江西赣州市·高三期末(理))若，，，其中为自然对数的底数，则(    )A． B．C． D．【答案】A【解析】因为函数在上单调递增，所以；，由时，，即在单调递减，故，即，从而得故.故选：A16．(2021·吉林长春市·长春外国语学校高一开学考试)若幂函数的图象经过点，则__________.【答案】【解析】由题知：，，所以..故答案为：.17．(2021·新疆乌苏市第一中学)若函数是幂函数，且其图象过点，则函数的单调增区间为________.【答案】【解析】函数是幂函数，则，解得，又，则，解得，即令，解得，则的单调增区间为故答案为：18．(2021·重庆高一期末)已知函数是幂函数，则实数=___________.【答案】【解析】因为是幂函数，所以，解得，故答案为：19．(2021·上海上外浦东附中)已知幂函数的图像关于轴对称，与轴及轴均无交点，则由的值构成的集合是__________．【答案】【解析】由幂函数与轴及轴均无交点，得，解得，又，即，的图像关于轴对称，即函数为偶函数，故为偶数，所以，故答案为：.20．(2021·山东济宁市)已知函数(且)的图象恒过定点，则点的坐标为____________.【答案】【解析】时，，所以函数图象恒过定点．故答案为：．21．(2021·沙坪坝区·重庆一中)已知幂函数在区间上单调递减，则___________.【答案】【解析】由题意，解得或，又函数在区间上单调递减，则，∴．故答案为：．22．(2021·湖南衡阳市八中高一期末)若幂函数在单调递减，则___________【答案】【解析】为幂函数故，故或或在单调递减，故故答案为：23．(2021·贵溪市实验中学高三一模)函数是幂函数且为奇函数，则的值为________．【答案】【解析】因为函数是幂函数，所以，即，解得或，当时，，是奇函数，满足条件；当时，，是偶函数，不满足条件；故.故答案为：24．(2020·湖南娄底市)已知幂函数的图象关于原点对称，则满足的实数的值构成的集合为_________.【答案】【解析】根据幂函数的定义，可得，解得或，当时，函数，此时函数为为偶函数，不符合题意；当时，函数，此时函数为奇函数，符合题意，又由不等式可转化为等价于，解得.即实数的值构成的集合为.故答案为：.259．(2020·上海高一课时练习)研究下列函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，并作出其大致图像．(1)；      (2)；      (3)；      (4)．【答案】(1)定义域：；值域：；偶函数；在上单调递增，在上单调递减；图像见解析；（2）定义域：；值域：；奇函数：在和上单调递减；图像见解析；（3）定义域；R；值域：R；奇函数；在上单调递增；图像见解析；(4)定义域：值域：；非奇非偶函数；在上单调递增；图像见解析【解析】(1)，设，的定义域为，因为，所以值域为：显然，为偶函数，在中，，为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减.(2)，设，定义域：，由，所以值域：，由，所以奇函数，在中，，为奇函数，所以在上单调递减，在上单调递减.(3)，设，所以定义域；R；值域：R；由，所以奇函数，在中，，在上单调递增.(4)，设，由得定义域：值域：因为定义域：，所以非奇非偶函数；在中，，定义域为，所以在上单调递增；