2021年高考艺术生数学基础复习 考点23 空间几何中的平行（学生版）

考点23   空间几何中的平行

一．直线与平面平行的判定定理和性质定理

二．平面与平面平行的判定定理和性质定理

三．线线平行

1.   相似比(常用三角形的中位线)
2.   构造平行四边形(证明一组对边平行且相等)
3.   平行的传递性
4.   线面垂直的性质：垂直同一个平面的两条直线平行
5.   线面平行的性质
6.   面面平行的性质
7.   平面向量
8.   空间向量

四．线面平行

证明线面平行有两种常用方法：

一是线面平行的判定定理；

二是先利用面面平行的判定定理证明面面平行，再根据面面平行的性质证明线面平行．

考向一 三角形的中位线证线面平行

【例1】(2021·全国高三专题练习节选)如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，设G，H分别为PB，AC的中点，求证：平面.

【举一反三】

1．(2021·广东湛江节选)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：A1B1平面DEC1.

2．(2020·全国高三专题练习)在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别是AC，B1C的中点．求证：平面.

3．(2021·南宁市邕宁高级中学节选)如图，正四棱锥中，E为PA的中点，求证：平面EBD.

考向二 构造平行四边形证线面平行

【例2】(2020·全国高三专题练习节选)如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．证明：MN∥平面C1DE；

【举一反三】

1．(2020·广东梅州节选)如图，四棱锥P−ABCD中，E是PD的中点．证明：直线平面PAB.

2．(2021·全国高三专题练习节选)如图所示，已知正方形.、分别是、的中点，将沿折起.证明平面.

3．(2021·河南洛阳市节选)在棱长为2的正方体中，是底面的中心，求证:平面

考向三 三角形相似比证线面平行

【例3】(2021·内蒙古赤峰市·高三月考节选)如图，四棱锥中，底面为直角梯形，且，点在棱上.证明：当时，直线平面

【举一反三】

1．(2021·浙江杭州市·高三期末节选)在三棱锥中，为等腰直角三角形，点，分别是线段，的中点，点在线段上，且.若，，.

(Ⅰ)求证：平面；

2．(2020·江西吉安市节选)如图，在三棱锥中，已知是正三角形，为的重心，，分别为，的中点，在上，且，求证：平面

考向四  面面平行的性质证线面平行

【例4】(2021·江西宜春市节选)如图所示，在多面体中，，，，四边形为矩形，证明：平面

【举一反三】

1．(2020·全国高三月考节选)斜三棱柱中，设中点为，且，分别为，的中点，证明：平面

2 .(2021·宁夏吴忠市节选)如图，在三棱锥中，点D、E、F分别为棱PA、PC、BC的中点，G为AD的中点，求证：平面BDE

考向五 证明线线平行--线面垂直的性质

【例5】(2021·江西赣州市节选)在如图所示的几何体中，，，均为等边三角形，且平面平面，平面平面，证明：；

【举一反三】

1．如图，与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面，，证明：直线平面；

2如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，且平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD，．求证：平面ABCD

考向六  面面平行

【例6】(2020·江西省奉新县第一中学节选)如图，在多面体中，面为正方形，面和面为全等的矩形，求证：平面平面

【举一反三 】

1．(2021·武汉市第一中学节选)如图所示，多面体中，四边形为菱形，，求证：平面平面

2．(2021·山西吕梁市节选)正方体，为中点，为的中点，求证：∥平面

3．(2021·安徽高三期末节选)如图，在四棱柱中，底面是菱形，点E，F分别为，的中点，点G在上，证明：平面ACE

1．(2021·安徽淮南市节选)如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，O是AC与BD的交点，E为PB的中点，求证：平面PAD

2．(2021·河南高三月考节选)如图，在四棱锥中，底面是正方形，为的中点，平面

2．(2020·江西吉安市·高三节选)在四棱锥中，底面四边形是边长为1的正方形，，分别是，的中点，求证：平面

3．(2021·江西景德镇市节选)如图，，，点为的中点，求证：平面；

4．(2021·广西河池市节选)如图，在长方体中，E为AB的中点，F为的中点，证明：平面

5．(2021·安徽蚌埠市·高三二模节选)如图，已知四边形和均为直角梯形，，，且，.，求证：平面

6．(2021·河南节选)如图，在长方体中，底面是正方形，为的中点，证明：平面

7．(2021·河南驻马店市·高三期末节选)如图，该多面体由底面为正方形的直四棱柱被截面所截而成，其中正方形的边长为，是线段上(不含端点)的动点，，证明：平面；

8．(2021·山西运城市·高三期末节选)如图，在几何体中，四边形为等腰梯形，且，，四边形为矩形，且，M，N分别为，的中点，求证：平面

9．(2021·安徽黄山市节选)已知四棱锥中，，设平面平面，求证：

10．(2021·江苏苏州市节选)如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，对角线与交于点，点在棱上，若平面，求的值;

11．(2021·安徽六安市·高三一模节选)如图，在四棱锥中，，，E是PD的中点，证明：平面PBC

12．(2021·浙江台州市·高三期末节选)如图，在三梭柱中，为的中点，求证：平面

13．(2021·江西高三其他模拟节选)如图，已知四边形为菱形，对角线与相交于O，，平面平面直线，求证：

14．(2020·全国高三专题练习)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证：

(1)直线EG平面BDD1B1；

(2)平面EFG平面BDD1B1.

15.(2020·全国高三专题练习)如图，在四棱锥中，为的中点，在上，且，，证明：平面

16.(2020·贵溪市第一中学节选)已知四边形为梯形，，对角线、交于点，平面，，，为线段上的点，，证明：平面；