2021年高考艺术生数学基础复习 考点27 空间几何体的外接球（教师版含解析）

这是一份2021年高考艺术生数学基础复习 考点27 空间几何体的外接球（教师版含解析），共30页。教案主要包含了汉堡包模型，斗笠模型，切瓜模型等内容，欢迎下载使用。

考点27 空间几何体的外接球
知识理解

1.墙角模型
(1) 使用范围：3组或3条棱两两垂直；或可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合
(2)推导过程：长方体的体对角线就是外接球的直径
(2) 秒杀公式：
(4)图示过程


(3) 秒杀公式：



2.汉堡模型
(1)使用范围：有一条侧棱垂直与底面的柱体或椎体
(2)推导过程
第一步：取底面的外心O1,，过外心做高的的平行且长度相等，在该线上中点为球心的位置
第二步：根据勾股定理可得
(3)秒杀公式：
(4)图示过程



3.斗笠模型
(1)使用范围：正棱锥或顶点的投影在底面的外心上
(2)推导过程
第一步：取底面的外心O1,，连接顶点与外心，该线为空间几何体的高h
第二步：在h上取一点作为球心O
第三步：根据勾股定理
(3)秒杀公式：
(4)图示过程



4.切瓜模型
(1)使用范围：有两个平面互相垂直的棱锥
(2)推导过程：
第一步：分别在两个互相垂直的平面上取外心F、N，过两个外心做两个垂面的垂线，两条垂线的交点即为球心O，取BC的中点为M，连接FM、MN、OF、ON
第二步：
(3)秒杀公式：
(4)图示过程

考向分析
考向一 墙角模型
【例1】(2021·平罗中学高三期末)已知长方体的两个底面是边长为的正方形，长方体的一条体对角线与底面成角，则此长方体的外接球表面积为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】记该长方体为，为该长方体的一条体对角线，其与底面所成角为，
因为在长方体中，侧棱底面，
则为与底面所成角，即，
因为长方体的两个底面是边长为的正方形，所以，
则，所以，
又长方体的外接球直径等于其体对角线的长，
即该长方体外接球的直径为，
所以此长方体的外接球表面积为.故选：A.

【举一反三】
1．(2020·天津静海区·高三月考)若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为正方体的外接球的直径，
所以棱长为2的正方体外接球的直径，
所以该球的表面积.故选：A.
2．(2020·河南高三月考)已知长方体中，，，与平面所成角的正弦值为，则该长方体的外接球的表面积为( )

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】作，垂足为，连接，.
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，所以是与平面所成的平面角.
又，
.
所以，
解得.
故该长方体的体对角线为.
设长方体的外接球的半径为，则，解得.
所以该长方体的外接球的表面积为.故选B.

3．(2020·四川泸州市·高三一模)已知四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，且平面，则该四棱锥外接球的表面积为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，
且平面，
可把四棱锥放置在如图所示的一个长方体内，
其中长方体的长、宽、高分别为，
则四棱锥的外接球和长方体的外接球表示同一个球，
设四棱锥的外接球的半径为，可得，解得，
所以该四棱锥外接球的表面积为.
故选：C.

考向二 汉堡包模型
【例2】(2021·陕西西安市·高三一模)三棱柱中，棱两两垂直，，底面是面积为2的等腰直角三角形，若该三棱柱的顶点都在同一个球O的表面上，则球O的表面积为( )
A．8 B． C． D．
【答案】C
【解析】底面是面积为2的等腰直角三角形，所以直角边长为2，所以三棱柱可以补充成边长为2的正方体，其外接球半径为：，
所以球O的表面积为，故选：C
【举一反三】
1．(2021·陕西咸阳市·高三一模)在直三棱柱中，，，若该直三棱柱的外接球表面积为，则此直三棱柱的高为( )．
A．4 B．3 C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以将直三棱柱补成长方体，则直三棱柱的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的体对角线，
设球的半径为，则，解得，
设直三棱柱的高为，则，即，
解得，所以直三棱柱的高为，故选：D

2．(2021·山西吕梁市·高三一模)四面体中，面，，，，则四面体外接球的表面积为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设外接圆的圆心为，四面体外接球的球心为，半径为
连接
由正弦定理可得，即，

即四面体外接球的表面积为
故选：A

3．(2021·山东德州市·高三期末)如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，O为对角线与的交点，若，，则三棱锥的外接球表面积为_________．

【答案】．
【解析】取中点，中点，连接，则，
因为底面，所以平面，是菱形，则，所以是的外心，
又底面，平面，所以，所以到四点距离相等，即为三棱锥的外接球球心．
又，，所以，所以，
所以三棱锥的外接球表面积为．
故答案为：．

考向三 斗笠模型
【例3】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高上，
记为O，PO=AO=R，，=4-R，
在Rt△中，，
由勾股定理得，
∴球的表面积，故选A.

【举一反三】
1．(2020·江西吉安市·高三其他模拟)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为，底面边长为，则该球的表面积为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
如图示：正四棱锥中，高，底面正方形边长,
设正四棱锥的外接球半径为，底面正四边形外接圆半径为则，
由得：，解得：，
∴.
故选：B.
2．(2021·安徽芜湖市·高三期末)已知正四棱锥的体积为，侧棱与底面所成的角为，则该正四棱锥外接球的表面积为___________.
【答案】
【解析】如下图所示，设正四棱锥的底面的中心为，连接、、，

设正四棱锥的底面边长为，则，
由于为正四棱锥的底面的中心，则平面，
由于正四棱锥的侧棱与底面所成的角为，则，
所以，是以为直角的等腰直角三角形，
同理可知，是以为直角的等腰直角三角形，
为的中点，，，
，解得，
，由直角三角形的性质可得，
即，所以，为正四棱锥外接球的球心，
球的半径为，该球的表面积为.
故答案为：.
3．(2020·秦皇岛市抚宁区第一中学)已知正三棱锥的侧棱长为，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是________.
【答案】
【解析】过点作平面于点，记球心为.


∵在正三棱锥中，底面边长为6，侧棱长为，
∴，
∴.
∵球心到四个顶点的距离相等，均等于该正三棱锥外接球的半径长，
∴，.
在中，，
即，解得，
∴外接球的表面积为.
故答案为：.
考向四 切瓜模型
【例4】(2021·江西高三其他模拟)已知三棱锥A-BCD中，侧面ABC⊥底面BCD，三角形ABC是边长为3的正三角形，三角形BCD是直角三角形，且∠BCD=90°，CD=2，则此三棱锥外接球的体积等于( )
A． B． C．16π D．32π
【答案】A
【解析】三棱锥中，侧面底面，把该三棱锥放入长方体中，如图所示；

设三棱锥外接球的球心为，取BC的中点M，BD的中点N，三角形ABC的重心G，连接OG，则，，，
所以三棱锥外接球的半径为，
所以三棱锥外接球的体积为．故选：A．
【举一反三】
1．(2020·内蒙古赤峰市·高三月考)已知三棱锥中，，，，，面面，则此三棱锥的外接球的表面积为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，，，，
，，
所以的外接圆的圆心为斜边的中点,
，为等腰三角形.
取的中点，连接，，
，,
,
又 面面，面面，面，
面，
过点作的平行线，则球心一定在该直线上.
设的外接圆的圆心为，,则点在上，连接,
由球的性质则，平面，则为矩形.
在中，,则
所以的外接圆的半径
所以，则
则
所以球的半径为
所以三棱锥的外接球的表面积为
故选：B

2．(2020·四川泸州市·高三一模)已知三棱锥中，和是边长为2的等边三角形，且平面平面，该三棱锥外接球的表面积为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】取的中点，连接，则，
因为平面平面，所以可证得平面，平面，
取的外心，作，则四点共面，
取的外心，过点作的平行线交于点，
因为垂直平面，则平面，
所以点到四点的距离相等，所以点为三棱锥外接球的球心，
连接，可求得，所以，所以外接球的表面积为.
故选：D.

3．(2021·全国高三专题练习)已知三棱锥中，平面平面，且和都是边长为2的等边三角形，则该三棱锥的外接球表面积为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，

由已知可得，与均为等边三角形，
取中点，连接，，则，
∵平面平面，则平面，
分别取与的外心，过分别作两面的垂线，相交于，
则为三棱锥的外接球的球心，
由与均为边长为的等边三角形，
可得，
，
，
∴三棱锥A−BCD的外接球的表面积为.故选：D.
强化练习

1．(2020·江西高三其他模拟(理))在三棱锥中，，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在中，，即，又，
∴为等边三角形
根据题意，有如下示意图：

如图，设的外接圆的圆心为，连接，，，连接PH.
由题意可得，且，.
∴由上知：且，又，
∴，由，平面ABC.
设O为三棱锥外接球的球心，连接，，OC过O作，垂足为D，则外接球的半径R满足，， ，代入解得，即有，
∴三棱锥外接球的表面积为.
故选：A.
2．(2020·四川泸州市·高三一模)已知四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，且，则该四棱锥外接球的表面积为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，
且平面，
可把四棱锥放置在如图所示的一个长方体内，

其中长方体的长、宽、高分别为，
则四棱锥的外接球和长方体的外接球表示同一个球，
设四棱锥的外接球的半径为，
可得，解得，
所以该四棱锥外接球的表面积为.故选：C.
3．(2020·四川宜宾市·高三一模)已知点P，A，B，C在同一个球的球表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PB=，BC=，PC=，则该球的表面积为( )
A．6π B．8π C．12π D．16π
【答案】A
【解析】如图，三棱锥补体在长方体中，三棱锥的外接球就是补体后长方体的外接球，长方体的外接球的直径
，
即，
则该球的表面积.

故选：A
4．(2020·广东广州市·高三月考)在长方体中，，，点在正方形内，平面，则三棱锥的外接球表面积为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】长方体中，平面，平面，∴，
又平面，平面，∴，
∵，∴平面，而平面，∴，
是正方形，∴是与交点，即为的中点，也是的中点．
是直角三角形，设是中点，是中点，则由可得平面(长方体中棱与相交面垂直)，是的外心，三棱锥的外接球球心在直线上(线段或的延长线上)．
设，则，解得，
∴外接球半径为，
表面积为．
故选：C．

5．(2020·全国高三月考)三棱柱中，平面，，，，，则该三棱柱的外接球的体积为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，取中点，连交于点，

，为的外接圆圆心，
，，，外接圆半径为,
，平面，平面，
又，点为三棱柱的外接球球心，
外接球半径，
外接球体积.
故选：B.
6．(2020·江西赣州市·高三)四面体中，底面，，，则四面体的外接球表面积为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
如图，在四面体中，底面，，，
可得，补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1，1，，
则长方体的对角线长为，
则三棱锥的外接球的半径为1．
其表面积为．
故选：B．
7．(2021·天津滨海新区·高三月考)直三棱柱的所有顶点都在同一球面上，且，，，则该球的表面积为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，直三棱柱的所有顶点都在同一球面上，且，，，

可将直三棱柱补成长方体，其中，
，长方体的对角线
，即为球的直径，则球的半径为.
球的表面积为.
故选: A.
8．(2020·江苏南通市·高三期中)正三棱锥中，，，则该棱锥外接球的表面积为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】正三棱锥中，，,
所以,
故,
同理可得, ,
以为棱构造正方体，
则该棱锥外接球即为该正方体的外接球，
如图，

所以，
故球的表面积为,
故选：C
9．(2021·安徽宣城市·高三期末(文))在三棱锥中，平面，则三棱锥的外接球的表面积是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
如图所示，，取BC中点M，连接AM并延长到N使AM=MN，则四边形ABNC是两个等边三角形组成的菱形，AN=BN=CN，点N是的外接圆圆心，过N作平面ABC的垂线NG，则球心一定在垂线NG上，因为平面，则PA//NG，PA与NG共面，在面内作PA的中垂线，交NG于O ，则O是外接球球心，半径R=OA，中，，，故，故外接球的表面积.
故选:D.
10．(2020·江苏南京市第二十九中学高三期中)已知直三棱柱的顶点都在球上，且，，，则此直三棱柱的外接球的表面积是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示：

设点为外接圆的圆心，
因为，
所以，又，
所以是等边三角形，
所以，
又直三棱柱的顶点都在球上，
所以外接球的半径为，
所以直三棱柱的外接球的表面积是，
故选：C
11．(2021·平凉市庄浪县第一中学高三其他模拟(理))已知，平面ABC，若，则四面体PABC的外接球(顶点都在球面上)的体积为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】取PC的中点O，连接OA，OB，由题意得，
又因为，所以平面，所以，在，
同理，所以，因此P，A，B，C四点在以O为球心的球面上，
在中，在中，，球O的半径，所以球的体积为，
故选：D.

12．(2020·甘肃省民乐县第一中学高三其他模拟(理))在四棱锥中，，，，，，，则三棱锥外接球的表面积为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，取的两个三等分点、，连接、、，
设，连接、.
则，，又，，
所以，四边形为平行四边形，，为的中点，
所以，，
由勾股定理可得，则，
在中，，，
，，又，则为等边三角形，
，则是的外接圆的圆心.
因为，为的中点，，
，，，，，
，又，，平面，
且.
设为三棱锥外接球的球心，连接、、，过作，垂足为，

则外接球的半径满足，
设，则，解得，
从而，故三棱锥外接球的表面积为.
故选：D.
13．(2021·固原市第五中学高三期末(理))已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为24，则这个球的体积为____________.
【答案】
【解析】设正方体边长，正方体外接球的半径为R，
由正方体的表面积为24，所以，
则，又，所以，
所以外接球的体积为：.
故答案为：.
14．(2021·安徽池州市·高三期末(理))已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，，，则四棱锥的外接球的表面积为___________.
【答案】
【解析】如图所示：

∵平面，平面，
∴，则有，
解得，又，
构造正三棱柱，其上下底面边长为2，高为2，
则其外接球的球心是上下中心连线的中点，
设外接球半径，
则，
所以外接球的表面积为.
故答案为：
15．(2021·吉林四平市·高三期末)已知直三棱柱其外接球的体积为____.
【答案】
【解析】已知AB=AC,∴三角形为等腰三角形，取M为BC的中点，连接AM,则AM⊥BC,
由已知得BC=,,又,∴，

再由正弦定理,(r为三角形外接圆半径)，r=2,
设两底面的外接圆的圆心分别为，
外接球球心为的中点，外接球的半径,
所以球的体积为,
故答案为：.
16．(2021·河南郑州市·高三一模)已知是球的内接三棱锥，则球的表面积为_______________________．
【答案】
【解析】取，的中点，因为所以，，所以平面，
既是，又是的垂直平分线，所以三棱锥的外接球的球心在上，
且平面平面，
点是的中心，，，且，
，，所以，
，所以，解得：，
则三棱锥外接球半径，
则球的表面积.

故答案为：
17．(2021·石嘴山市第三中学高三月考)在三棱锥中，底面ABC，，则此三棱锥的外接球的表面积为______.
【答案】
【解析】因为底面ABC，所以，，又，
所以三棱锥的外接球就是以为棱的长方体的外接球，其直径为长方体的对角线，
因为，，
所以外接球的直径，
所以外接球的表面积为.
故答案为：
18．(2020·梅河口市第五中学高三月考)已知三棱锥中，，，若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为__________.
【答案】
【解析】由题可知，该三棱锥是由长方体的面对角线构成，如图，


设长方体的棱长分别为，则，
则，
设球半径为，
则，即，
则球的体积为.
故答案为：.
19．(2020·山西高三月考(文))已知正三棱柱的体积为54，，记三棱柱的外接球为球，则外接球的表面积是__________．
【答案】
【解析】因为正三棱柱的底面积，
底面外接圆半径，
所以正三棱柱的高，
所以外接球的半径，则，
故答案为：．
20．(2020·济南市·山东省实验中学高三月考)在三棱锥中，侧棱底面且则该三棱锥的外接球的体积为__________．
【答案】
【解析】
在中，由余弦定理可知：

因为，所以是顶角为钝角的等腰三角形，
设的外接圆的直径为，
由正弦定理可知：，
因为侧棱底面，，
所以三棱锥的外接球的直径为，
由勾股定理可知：，
所以三棱锥的外接球的半径为：，
所以三棱锥的外接球的体积为：
故答案为：