2021年高考艺术生数学基础复习 考点24 空间几何中的垂直（学生版）

考点24  空间几何中的垂直

一．直线与平面垂直

(1)直线和平面垂直的定义：

直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直

(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：

二．平面与平面垂直的判定定理与性质定理

三．证明线线垂直的思路

考向一 线面垂直

【例1】3．(2021·江西吉安市·高三期末节选)如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为正三角形，为的中点，求证：平面

【举一反三】

1．(2021·河南信阳市节选)如图所示，四棱锥中，，，，平面，求证:平面

2．(2021·江西赣州市节选)如图，已知三棱柱的所有棱长均为2，，证明：平面

3．(2020·山东德州市节选)如图，四棱锥中，四边形是边长为的正方形，为等边三角形，分别为和的中点，且，证明:平面

考向二 面面垂直

【例2】(2021·河南高三期末节选)如图，直四棱柱的底面为平行四边形，，，，，是的中点，求证：平面平面

【举一反三】

1．(2021·河南焦作市节选)如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，平面点为线段的中点，求证:平面平面

2．(2021·山东青岛市·高三期末节选)如图，在直角梯形中，，，，，.将矩形沿翻折，使得平面平面，若，证明：平面平面

3．(2021·安徽马鞍山市节选)如图，BE，CD为圆柱的母线，是底面圆的内接正三角形，M为BC的中点，证明：平面AEM⊥平面BCDE

考向三 线线垂直

【例3】(2021·江西宜春市·高安中学节选)如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，已知，E为的中点，求证

【举一反三】

1．(2021·江苏南通市·高三期末节选)如图，在四棱锥中，，，，为的中点，，求证：

2．(2020·山东德州市节选)如图，已知四棱锥中，底面为菱形，平面分别为的中点.

(1)求证:;

(2)求证:平面.

3．(2021·山东枣庄市节选)如图，四棱锥的侧面是正三角形，底面是直角梯形，，，为的中点，求证：

1．(2021·山东泰安市·高三期末节选)如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，为上一点，过作与平行的平面，分别交，于点，，证明：平面

2．(2021·浙江金华市·高三期末节选)在三棱锥中，平面平面ABC，，)证明：平面ABC

3．(2021·河南焦作市节选)如图，四棱锥的底面为正方形，底面，，，分别为，，的中点，求证：平面

4．(2021·浙江温州市节选)如图，已知三棱锥﹐，是边长为的正三角形，﹐，点为线段的中点，证明：平面

5．(2021·陕西咸阳市·高三一模节选)如图，在三棱锥中，平面平面，，，，，是的中点，求证：平面

6．(2021·浙江金华市节选)如图，在四棱锥中，底面为矩形，，平面平面，若E为的中点，求证：平面

7．(2021·西安市铁一中学节选)如图，在底面为菱形的四棱锥中，，点在上，且，求证：平面

8．(2021·河南高三期末节选)如图，直四棱柱的底面为平行四边形，是的中点，求证：平面平面

9．(2021·江苏南通市节选)如图，四面体中，O是的中点，点G、E分别在线段AO和BC上，，，，.

(1)求证：平面；

(2)求证：平面平面.

10．(2021·山西吕梁市·高三一模节选)如图，四棱锥中，，，侧面为等边三角形，，，，求证：

11．(2021·云南高三期末)如图所示，在正方体中，点为线段的中点.

(1)求证：；

(2)求证：平面.

12．(2021·江西景德镇市节选)如图，已知四棱锥，其中，，，，侧面底面，是上一点，且是等边三角形，求证：平面

13．(2021·江西景德镇市·景德镇一中)如图，在三棱柱中，平面平面， ，，，为的中点.

(1)求证：平面；

(2)求证：平面.

14．(2021·陕西咸阳市)在三棱锥中，、分别为、的中点，且，平面平面.

(1)证明：平面；

(2)证明：.

15．(2021·全国)已知四棱锥中，平面平面，为等边三角形，底面为直角梯形，且，点为的中点，求证：.

16．(2020·全国)如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．

(1)证明：平面平面；

(2)若点是线段的中点，求证：平面．

17．(2021·全国高三专题练习)如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是 上异于，的点.证明：平面平面.

18．(2020·全国高三专题练习)已知四棱锥中，平面平面，为等边三角形，底面为直角梯形，且，点为的中点，求证：.

19．(2020·江苏苏州市·高三三模)如图，在三棱柱中，，为中点，平面平面，.

(1)求证：平面；

(2)求证：.