2020-2021学年第一章 解三角形综合与测试课后练习题

这是一份2020-2021学年第一章 解三角形综合与测试课后练习题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．在△ABC中，a＝3，b＝4，sin B＝eq \f(1,4)，则sin A等于( )
A.eq \f(3,16) B.eq \f(5,16)
C.eq \f(3,8) D.eq \f(5,8)
解析：由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，解得sin A＝eq \f(3,16).
答案：A
2．在△ABC中，∠ACB＝eq \f(π,6)，BC＝eq \r(3)，AC＝4，则AB等于( )
A.eq \r(7) B．3
C.eq \r(11) D.eq \r(13)
解析：由余弦定理，
得AB＝eq \r(3＋16－2×\r(3)×4×cs \f(π,6))＝eq \r(7).
答案：A
3．在△ABC中，A＝60°，b＝6，c＝10，则△ABC的面积为( )
A．15eq \r(6) B．15eq \r(3)
C．15 D．30
解析：由S＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×6×10×sin 60°＝15eq \r(3).
答案：B
4．在△ABC中，若a＝2，b＝2eq \r(3)，A＝30°，则B等于( )
A．60° B．60°或120°
C．30° D．30°或150°
解析：在△ABC中，由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，解得sin B＝eq \f(\r(3),2)，故B为60°或120°，故选B.
答案：B
5．△ABC为钝角三角形，a＝3，b＝4，c＝x，C为钝角，则x的取值范围是( )
A．x＜5 B．5＜x＜7
C．1＜x＜5 D．1＜x＜7
解析：由已知条件可知x＜3＋4且32＋42＜x2，
∴5＜x＜7.
答案：B
6．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )
A．b＝10，A＝45°，C＝70°
B．a＝30，b＝25，A＝150°
C．a＝7，b＝8，A＝98°
D．a＝14，b＝16，A＝45°
解析：A中已知两角与一边，有唯一解；B中，a＞b，且A＝150°，也有唯一解；C中b＞a，且A＝98°为钝角，故解不存在；D中由于b·sin 45°＜a＜b，故有两解．
答案：D
7．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cs B等于( )
A.eq \f(1,4) B．eq \f(3,4)
C.eq \f(\r(2),4) D.eq \f(\r(2),3)
解析：b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，
∴cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(3,4).
答案：B
8．已知锐角三角形的边长分别为1,3，a，则a的取值范围是( )
A．(8,10) B．(2eq \r(2)，eq \r(10))
C．(2eq \r(2)，10) D．(eq \r(10)，8)
解析：由此三角形为锐角三角形结合余弦定理的推论，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(12＋32＞a2，,a2＋32＞12，,12＋a2＞32，))解得8＜a2＜10，故2eq \r(2)＜a＜eq \r(10).
答案：B
9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝eq \r(3)，c＝3，B＝30°，若加一个条件，使△ABC唯一，则可加的条件是( )
A．A≠60°
B．A≠150°
C．△ABC是钝角三角形
D．△ABC是锐角三角形
解析：由正弦定理，得eq \f(\r(3),sin 30°)＝eq \f(3,sin C)，得sin C＝eq \f(\r(3),2)，则C＝60°或C＝120°，由此可得A＝90°或A＝30°，则当△ABC是钝角三角形时，A＝30°，确定唯一的△ABC.
答案：C
10．有一长为1 km的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )
A．1 km B．2sin 10° km
C．2cs 10° km D．cs 20° km
解析：如图所示，∠ABC＝20°，AB＝1 km，∠ADC＝10°，∴∠ABD＝160°.在△ABD中，由正弦定理eq \f(AD,sin 160°)＝eq \f(AB,sin 10°)，得AD＝AB·eq \f(sin 160°,sin 10°)＝eq \f(sin 20°,sin 10°)＝2cs 10°(km)．
答案：C
11．在△ABC中，A＝eq \f(π,3)，AC＝4，BC＝2eq \r(3)，则△ABC的面积为( )
A．2 B．2eq \r(3)
C．4 D．4eq \r(3)
解析：由正弦定理eq \f(AC,sin B)＝eq \f(BC,sin A)，得sin B＝eq \f(ACsin A,BC)＝eq \f(4×\f(\r(3),2),2\r(3))＝1，所以B＝eq \f(π,2)，C＝eq \f(π,6)，S＝eq \f(1,2)AC·BC·sin C＝eq \f(1,2)×4×2eq \r(3)×sin eq \f(π,6)＝2eq \r(3).
答案：B
12．在△ABC中，AC＝eq \r(7)，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于( )
A.eq \f(\r(3),2) B．eq \f(3\r(3),2)
C.eq \f(\r(3)＋\r(6),2) D.eq \f(\r(3)＋\r(39),4)
解析：由余弦定理得：
AC2＝BC2＋AB2－2AB·BCcs B，
即AB2－2AB－3＝0，故AB＝3，所以AD＝ABsin B＝eq \f(3\r(3),2).故选B.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．在等腰△ABC中，已知sin A∶sin B＝1∶2，底边BC＝10，则△ABC的周长是________．
解析：由正弦定理得BC∶AC＝sin A∶sin B＝1∶2.
又∵BC＝10，∴AC＝20，∴AB＝AC＝20.
∴△ABC的周长是10＋20＋20＝50.
答案：50
14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，c＝eq \r(3)，
A＝eq \f(π,6)，则b＝________.
解析：由eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，
得sin C＝eq \f(csin A,a)＝eq \f(\r(3)·sin \f(π,6),1)＝eq \f(\r(3),2)，
∴C＝eq \f(π,3)或eq \f(2π,3).
当C＝eq \f(π,3)时，B＝eq \f(π,2)，∴b＝2；
当C＝eq \f(2π,3)时，B＝eq \f(π,6)，∴b＝1.
综上所述，b＝2或1.
答案：2或1
15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则A＝________.
解析：由已知得(b＋c)2－a2＝3bc，
∵b2＋c2－a2＝bc，
∴cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(1,2).
又∵A∈(0，π)，∴A＝eq \f(π,3).
答案：eq \f(π,3)
16．在△ABC中，若S△ABC＝12eq \r(3)，ac＝48，c－a＝2，则b＝________.
解析：由S△ABC＝eq \f(1,2)acsin B得sin B＝eq \f(\r(3),2)，∴B＝60°或120°.由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accs B＝(a－c)2＋2ac－2accs B＝22＋2×48－2×48cs B，∴b2＝52或148，即b＝2eq \r(13)或2eq \r(37).
答案：2eq \r(13)或2eq \r(37)
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝4，b＝5，c＝eq \r(61).
(1)求C的大小；
(2)求△ABC的面积．
解析：(1)依题意，由余弦定理得
cs C＝eq \f(42＋52－\r(61)2,2×4×5)＝－eq \f(1,2).
∵0°＜C＜180°，∴C＝120°.
(2)S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×4×5×sin 120°＝eq \f(1,2)×4×5×eq \f(\r(3),2)＝5eq \r(3).
18．(12分)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2－c2＝ab，且2cs Asin B＝sin C，试判断△ABC的形状．
解析：由正弦定理得eq \f(sin C,sin B)＝eq \f(c,b)，由2cs Asin B＝sin C，
有cs A＝eq \f(sin C,2sin B)＝eq \f(c,2b).
又由余弦定理得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，
∴eq \f(c,2b)＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，即c2＝b2＋c2－a2，
∴a2＝b2，∴a＝b.
又a2＋b2－c2＝ab，
∴2b2－c2＝b2，∴b2＝c2，
∴b＝c，∴a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形．
19．(12分)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，a2－(b－c)2＝bc.
(1)求角A；
(2)若eq \f(b,sin B)＝c＝2，求b的值．
解析：(1)由a2－(b－c)2＝bc得：a2－b2－c2＝－bc，
∴cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(1,2)，
又0＜A＜π，
∴A＝eq \f(π,3).
(2)eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，∴sin C＝1.∴C＝eq \f(π,2)，
∴B＝eq \f(π,6).∵eq \f(b,sin B)＝c＝2，
∴b＝2sin B＝2sin eq \f(π,6)＝1.
20．(12分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A＝eq \f(π,4)，b2－a2＝eq \f(1,2)c2.
(1)求tan C的值；
(2)若△ABC的面积为3，求b的值．
解析：(1)由b2－a2＝eq \f(1,2)c2及正弦定理得sin2B－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)sin2C，
∴－cs 2B＝sin2C.
又A＝eq \f(π,4)，即B＋C＝eq \f(3π,4)，
∴－cs 2B＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－2C))＝sin 2C＝2sin Ccs C，
∴2sin Ccs C＝sin2C，解得tan C＝2.
(2)由tan C＝2，C∈(0，π)，得sin C＝eq \f(2\r(5),5)，cs C＝eq \f(\r(5),5)，
又∵sin B＝sin(A＋C)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋C))＝eq \f(3\r(10),10)，∴由正弦定理得c＝eq \f(2\r(2),3)b.
又∵A＝eq \f(π,4)，S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝3，
∴bc＝6eq \r(2)，∴b＝3.
21．(12分)在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且eq \r(3)a＝2csin A.
(1)求角C的大小；
(2)若c＝eq \r(7)，且△ABC的面积为eq \f(3\r(3),2)，求a＋b的值．
解析：(1)由eq \r(3)a＝2csin A及正弦定理得，
eq \f(a,c)＝eq \f(2sin A,\r(3))＝eq \f(sin A,sin C).
因为sin A≠0，所以sin C＝eq \f(\r(3),2).
因为△ABC是锐角三角形，所以C＝eq \f(π,3).
(2)因为c＝eq \r(7)，C＝eq \f(π,3)，
由面积公式可得eq \f(1,2)absin eq \f(π,3)＝eq \f(3\r(3),2)，
即ab＝6. ①
由余弦定理可得a2＋b2－2abcs eq \f(π,3)＝7，
即a2＋b2－ab＝7. ②
将①代入②变形得(a＋b)2＝25.
又因为a＞0，b＞0，所以a＋b＝5.
22．(12分)如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sin α的值．
解析：(1)依题意，∠BAC＝120°，AB＝12，
AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.
在△ABC中，由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cs∠BAC
＝122＋202－2×12×20×cs 120°
＝784，
解得BC＝28.
所以渔船甲的速度为eq \f(BC,2)＝14海里/小时．
(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，
BC＝28，∠BCA＝α.
由正弦定理，得eq \f(AB,sin α)＝eq \f(BC,sin 120°)，
即sin α＝eq \f(ABsin 120°,BC)＝eq \f(3\r(3),14).