高中数学人教版新课标A必修5第一章 解三角形综合与测试习题

这是一份高中数学人教版新课标A必修5第一章 解三角形综合与测试习题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若a<1，b>1，那么下列命题中正确的是( )
A.eq \f(1,a)>eq \f(1,b) B.eq \f(b,a)>1
C．a2【解析】 利用特值法，令a＝－2，b＝2.
则eq \f(1,a)【答案】 D
2．一个等差数列的第5项a5＝10，且a1＋a2＋a3＝3，则有( )
A．a1＝－2，d＝3 B．a1＝2，d＝－3
C．a1＝－3，d＝2 D．a1＝3，d＝－2
【解析】 ∵a1＋a2＋a3＝3且2a2＝a1＋a3，
∴a2＝1.又∵a5＝a2＋3d＝1＋3d＝10，d＝3.∴a1＝a2－d＝1－3＝－2.
【答案】 A
3．已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，那么对应的三边之比a∶b∶c等于( )
A．3∶2∶1 B.eq \r(3)∶2∶1
C.eq \r(3)∶eq \r(2)∶1 D．2∶eq \r(3)∶1
【解析】 ∵A∶B∶C＝3∶2∶1，A＋B＋C＝180°，
∴A＝90°，B＝60°，C＝30°.
∴a∶b∶c＝sin 90°∶sin 60°∶sin 30°
＝1∶eq \f(\r(3),2)∶eq \f(1,2)＝2∶eq \r(3)∶1.
【答案】 D
4．在坐标平面上，不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y≥x－1，,y≤－3|x|＋1))所表示的平面区域的面积为( )
A.eq \r(2) B.eq \f(3,2) C.eq \f(3\r(2),2) D．2
【解析】 由题意得，图中阴影部分面积即为所求．B，C两点横坐标分别为－1，eq \f(1,2).
∴S△ABC＝eq \f(1,2)×2×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－－1))＝eq \f(3,2).
【答案】 B
5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若A＝eq \f(π,3)，b＝1，△ABC的面积为eq \f(\r(3),2)，则a的值为( )
A．1 B．2 C.eq \f(\r(3),2) D.eq \r(3)
【解析】 根据S＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(\r(3),2)，可得c＝2，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccs A＝3，故a＝eq \r(3).
【答案】 D
6．(2016·龙岩高二检测)等差数列的第二，三，六项顺次成等比数列，且该等差数列不是常数数列，则这个等比数列的公比为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【解析】 设等差数列的首项为a1，公差为d，
则a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d，a6＝a1＋5d，
又∵a2·a6＝aeq \\al(2,3)，∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，
∴d＝－2a1，∴q＝eq \f(a3,a2)＝3.
【答案】 A
7．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))恒成立，则a的最小值为( )
A．0 B．－2 C．－eq \f(5,2) D．－3
【解析】 x2＋ax＋1≥0在x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上恒成立⇔ax≥－x2－1⇔a≥eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))))max，∵x＋eq \f(1,x)≥eq \f(5,2)，
∴－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))≤－eq \f(5,2)，∴a≥－eq \f(5,2).
【答案】 C
8．(2015·浙江高考)已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则( )
A．a1d>0，dS4>0 B．a1d<0，dS4<0
C．a1d>0，dS4<0 D．a1d<0，dS4>0
【解析】 ∵a3，a4，a8成等比数列，∴aeq \\al(2,4)＝a3a8，∴(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋7d)，展开整理，得－3a1d＝5d2，即a1d＝－eq \f(5,3)d2.∵d≠0，∴a1d<0.∵Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d，∴S4＝4a1＋6d，dS4＝4a1d＋6d2＝－eq \f(2,3)d2<0.
【答案】 B
9．在数列{an}中，a1＝2，an＋1－2an＝0(n∈N*)，bn是an和an＋1的等差中项，设Sn为数列{bn}的前n项和，则S6＝( )
A．189 B．186 C．180 D．192
【解析】 由an＋1＝2an，知{an}为等比数列，
∴an＝2n.
∴2bn＝2n＋2n＋1，
即bn＝3·2n－1，
∴S6＝3·1＋3·2＋…＋3·25＝189.
【答案】 A
10．已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc>0，T＝eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)，则( )
A．T>0 B．T<0 C．T＝0 D．T≥0
【解析】 法一 取特殊值，a＝2，b＝c＝－1，
则T＝－eq \f(3,2)<0，排除A，C，D，可知选B.
法二 由a＋b＋c＝0，abc>0，知三数中一正两负，
不妨设a>0，b<0，c<0，
则T＝eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)＝eq \f(ab＋bc＋ca,abc)＝eq \f(ab＋cb＋a,abc)＝eq \f(ab－c2,abc).
∵ab<0，－c2<0，abc>0，故T<0，应选B.
【答案】 B
11．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝2A，a＝1，b＝eq \r(3)，则c＝( )
A．2eq \r(3) B．2 C.eq \r(2) D．1
【解析】 由正弦定理得：eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，
∵B＝2A，a＝1，b＝eq \r(3)，
∴eq \f(1,sin A)＝eq \f(\r(3),2sin Acs A).
∵A为三角形的内角，∴sin A≠0.
∴cs A＝eq \f(\r(3),2).
又0＜A＜π，∴A＝eq \f(π,6)，∴B＝2A＝eq \f(π,3).
∴C＝π－A－B＝eq \f(π,2)，∴△ABC为直角三角形．
由勾股定理得c＝eq \r(12＋\r(3)2)＝2.
【答案】 B
12．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )
A．13项 B．12项 C．11项 D．10项
【解析】 设该数列的前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1qn－3，a1qn－2，a1qn－1.所以前三项之积aeq \\al(3,1)q3＝2，后三项之积aeq \\al(3,1)q3n－6＝4，两式相乘，得aeq \\al(6,1)q3(n－1)＝8，即aeq \\al(2,1)qn－1＝2.又a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝64，所以aeq \\al(n,1)·qeq \s\up5(\f(nn－1,2))＝64，即(aeq \\al(2,1)qn－1)n＝642，即2n＝642，所以n＝12.
【答案】 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．在△ABC中，BC＝2，B＝eq \f(π,3)，当△ABC的面积等于eq \f(\r(3),2)时，sin C＝________. 【导学号：05920086】
【解析】 由三角形的面积公式，得S＝eq \f(1,2)AB·BCsin eq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2)，易求得AB＝1，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cs eq \f(π,3)，得AC＝eq \r(3)，再由三角形的面积公式，得S＝eq \f(1,2)AC·BCsin C＝eq \f(\r(3),2)，即可得出sin C＝eq \f(1,2).
【答案】 eq \f(1,2)
14．(2015·湖北高考)若变量x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≤4，,x－y≤2，,3x－y≥0，))则3x＋y的最大值是________．
【解析】 画出可行域，如图阴影部分所示，设z＝3x＋y，则y＝－3x＋z，平移直线y＝－3x知当直线y＝－3x＋z过点A时，z取得最大值．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝4，,x－y＝2，))可得A(3,1)．故zmax＝3×3＋1＝10.
【答案】 10
15．国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k元(叫做税率k%)，则每年的产销量将减少10k万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，则k的取值范围为________．
【解析】 设产销量为每年x万瓶，则销售收入每年70x万元，从中征收的税金为70x·k%万元，其中x＝100－10k.由题意，得70(100－10k)k%≥112，整理得k2－10k＋16≤0，解得2≤k≤8.
【答案】 [2,8]
16．观察下列等式：
12＝1，
12－22＝－3，
12－22＋32＝6，
12－22＋32－42＝－10，
…
照此规律，第n个等式可为12－22＋32－…＋(－1)n－1n2＝________.
【解析】 分n为奇数、偶数两种情况．
第n个等式为12－22＋32－…＋(－1)n－1n2.
当n为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n－1)2－n2]＝－(3＋7＋11＋15＋…＋2n－1)＝－eq \f(\f(n,2)×3＋2n－1,2)＝－eq \f(nn＋1,2).
当n为奇数时，第n个等式为(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n－2)2－(n－1)2]＋n2＝－eq \f(nn－1,2)＋n2＝eq \f(nn＋1,2).
综上，第n个等式为
12－22＋32－…＋(－1)n－1n2
＝(－1)n＋1eq \f(nn＋1,2).
【答案】 (－1)n＋1eq \f(nn＋1,2)
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若m＝(a2＋c2－b2，－eq \r(3)a)，n＝(tan B，c)，且m⊥n，求∠B的值．
【解】 由m⊥n得
(a2＋c2－b2)·tan B－eq \r(3)a·c＝0，
即(a2＋c2－b2)tan B＝eq \r(3)ac，得a2＋c2－b2＝eq \f(\r(3)ac,tan B)，
所以cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(\r(3),2tan B)，
即tan Bcs B＝eq \f(\r(3),2)，即sin B＝eq \f(\r(3),2)，
所以∠B＝eq \f(π,3)或∠B＝eq \f(2π,3).
18．(本小题满分12分)在等差数列{an}中，S9＝－36，S13＝－104，在等比数列{bn}中，b5＝a5，b7＝a7, 求b6. 【导学号：05920087】
【解】 ∵S9＝－36＝9a5，∴a5＝－4，
∵S13＝－104＝13a7，∴a7＝－8.
∴beq \\al(2,6)＝b5·b7＝a5 ·a7＝32.
∴b6＝±4eq \r(2).
19．(本小题满分12分)解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R). 【导学号：05920088】
【解】 原不等式可化为
ax2＋(a－2)x－2≥0⇒(ax－2)(x＋1)≥0.
(1)当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0⇒x≤－1；
(2)当a>0时，原不等式化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,a)))(x＋1)≥0⇒x≥eq \f(2,a)或x≤－1；
(3)当a<0时，原不等式化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,a)))(x＋1)≤0.
①当eq \f(2,a)>－1，即a<－2时，原不等式等价于－1≤x≤eq \f(2,a)；
②当eq \f(2,a)＝－1，即a＝－2时，原不等式等价于x＝－1；
③当eq \f(2,a)<－1，即－2综上所述：当a<－2时，原不等式的解集为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(2,a)))；
当a＝－2时，原不等式的解集为{－1}；
当－2当a＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；
当a>0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)，＋∞)).
20．(本小题满分12分)设△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知a＝1，b＝2，cs C＝eq \f(1,4).
(1)求△ABC的周长；
(2)求cs A的值．
【解】 (1)∵c2＝a2＋b2－2abcs C＝1＋4－4×eq \f(1,4)＝4.
∴c＝2.∴△ABC的周长为a＋b＋c＝1＋2＋2＝5.
(2)∵cs C＝eq \f(1,4)，∴sin C＝eq \r(1－cs2C)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))2)＝eq \f(\r(15),4).
∴sin A＝eq \f(asin C,c)＝eq \f(\f(\r(15),4),2)＝eq \f(\r(15),8).
∵a∴cs A＝eq \r(1－sin2A)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),8)))2)＝eq \f(7,8).
21．(本小题满分12分)(2016·宝鸡模拟)已知数列{an}满足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)．
(1)求证：{an＋1＋2an}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
【解】 (1)证明：∵an＋1＝an＋6an－1(n≥2)，
∴an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)(n≥2)．
又a1＝5，a2＝5，∴a2＋2a1＝15，
∴an＋2an－1≠0(n≥2)，
∴eq \f(an＋1＋2an,an＋2an－1)＝3(n≥2)，
∴数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列．
(2)由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n，
则an＋1＝－2an＋5×3n，
∴an＋1－3n＋1＝－2(an－3n)．
又∵a1－3＝2，∴an－3n≠0，
∴{an－3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列．
∴an－3n＝2×(－2)n－1，
即an＝2×(－2)n－1＋3n(n∈N*)．
22．(本小题满分12分)某厂用甲、乙两种原料生产A，B两种产品，制造1 t A,1 t B产品需要的各种原料数、可得到利润以及工厂现有各种原料数如下表：
(1)在现有原料条件下，生产A，B两种产品各多少时，才能使利润最大？
(2)每吨B产品的利润在什么范围变化时，原最优解不变？当超出这个范围时，最优解有何变化？
【解】 (1)生产A，B两种产品分别为x t，y t，则利润z＝5x＋3y，x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y≤14，,x＋3y≤18，,x≥0，,y≥0，))作出可行域如图：
当直线5x＋3y＝z过点Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(24,5)，\f(22,5)))时，z取最大值37eq \f(1,5)，即生产A产品eq \f(24,5) t，B产品eq \f(22,5) t时，可得最大利润．
(2)设每吨B产品利润为m万元，则目标函数是z＝5x＋my，直线斜率k＝－eq \f(5,m)，
又kAB＝－2，kCB＝－eq \f(1,3)，要使最优解仍为B点，
则－2≤－eq \f(5,m)≤－eq \f(1,3)，解得eq \f(5,2)≤m≤15，
则B产品的利润在eq \f(5,2)万元/t与15万元/t之间时，原最优解仍为生产A产品eq \f(24,5) t，B产品eq \f(22,5) t，若B产品的利润超过15万元/t，则最优解为C(0,6)，即只生产B产品6 t，若B产品利润低于eq \f(5,2)万元/t，则最优解为A(7,0)，即只生产A产品7 t.原料
每种产品所需原料(t)
现有原
料数(t)
A
B
甲
2
1
14
乙
1
3
18
利润(万元/t)
5
3
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