高中数学人教版新课标A必修51.1 正弦定理和余弦定理课后练习题

这是一份高中数学人教版新课标A必修51.1 正弦定理和余弦定理课后练习题，共6页。

[A组 学业达标]
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝1，c＝4eq \r(2)，B＝45°，则sin C等于( )
A.eq \f(4,41) B.eq \f(4,5)
C.eq \f(4,25) D.eq \f(4\r(41),41)
解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accs B＝1＋32－8eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝25，所以b＝5.cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝－eq \f(3,5)，
sin C＝eq \r(1－cs2C)＝eq \f(4,5).
答案：B
2．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角之和为( )
A．90° B．120°
C．135° D．150°
解析：设长为7的边所对的角为θ，由已知条件可知角θ为中间角．因为cs θ＝eq \f(52＋82－72,2×5×8)＝eq \f(1,2)，所以θ＝60°，所以最大角与最小角的和为120°.
答案：B
3．在△ABC中，若a＜b＜c，且c2＜a2＋b2，则△ABC为( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不存在
解析：因为c2＜a2＋b2，所以C为锐角，
因为a＜b＜c，所以C为最大角，所以△ABC为锐角三角形．
答案：B
4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( )
A.eq \f(5,18) B．eq \f(3,4)
C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(7,8)
解析：设三角形的底边长为a，则周长为5a，∴等腰三角形腰的长为2a.设顶角为α，由余弦定理，得cs α＝eq \f(2a2＋2a2－a2,2×2a×2a)＝eq \f(7,8).
答案：D
5．在△ABC中，有下列结论：
①若a2＞b2＋c2，则△ABC为钝角三角形；
②若a2＝b2＋c2＋bc，则A为60°；
③若a2＋b2＞c2，则△ABC为锐角三角形；
④若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝1∶2∶3.
其中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：①cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＜0，所以A为钝角，正确；②cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝
－eq \f(1,2)，所以A＝120°，错误；③cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＞0，所以C为锐角，但A或B不一定为锐角，错误；④A＝30°，B＝60°，C＝90°，a∶b∶c＝1∶eq \r(3)∶2，错误．
答案：A
6．在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，则此三角形的最小内角的余弦值等于________．
解析：因为sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，
所以由正弦定理可得a∶b∶c＝3∶5∶7，
所以a＝eq \f(3b,5)，c＝eq \f(7b,5)，A为三角形的最小内角，
所以由余弦定理可得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(b2＋\f(49b2,25)－\f(9b2,25),2×b×\f(7b,5))＝eq \f(13,14).
答案：eq \f(13,14)
7．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab＝________.
解析：因为C＝60°，
所以c2＝a2＋b2－2abcs 60°，
即c2＝a2＋b2－ab.①
又因为(a＋b)2－c2＝4，
所以c2＝a2＋b2＋2ab－4.②
比较①②知－ab＝2ab－4，所以ab＝eq \f(4,3).
答案：eq \f(4,3)
8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cs B＝________.
解析：因为b2＝ac，且c＝2a，所以cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(a2＋4a2－2a2,2a·2a)＝eq \f(3,4).
答案：eq \f(3,4)
9．在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b.
解析：在△ABC中，由A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，知B＝60°.
a＋c＝8，ac＝15，则a，c是方程x2－8x＋15＝0的两根．
解得a＝5，c＝3或a＝3，c＝5.
由余弦定理，得
b2＝a2＋c2－2accs B＝9＋25－2×3×5×eq \f(1,2)＝19.
∴b＝eq \r(19).
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)·tan B＝eq \r(3)ac.求角B的值．
解析：因为(a2＋c2－b2)·tan B＝eq \r(3)ac，
所以eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(\r(3)cs B,2sin B)，
即cs B＝eq \f(\r(3)cs B,2sin B)，所以sin B＝eq \f(\r(3),2)，
又因为B∈(0，π)，所以B为eq \f(π,3)或eq \f(2π,3).
[B组 能力提升]
11．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则eq \(AB,\s\up12(→))·eq \(BC,\s\up12(→))的值为( )
A．79 B．69
C．5 D．－5
解析：由余弦定理得cs∠ABC＝eq \f(BC2＋AB2－AC2,2BC·AB)＝eq \f(72＋52－82,2×7×5)＝eq \f(1,7)，因为向量eq \(AB,\s\up12(→))与eq \(BC,\s\up12(→))的夹角为180°－∠ABC，
所以eq \(AB,\s\up12(→))·eq \(BC,\s\up12(→))＝|eq \(AB,\s\up12(→))||eq \(BC,\s\up12(→))|cs(180°－∠ABC)＝5×7×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,7)))＝－5.
答案：D
12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2a－b＝2ccs B，则角C的大小为( )
A.eq \f(π,6) B．eq \f(π,3)
C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
解析：由余弦定理cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，代入已知条件得：2a－b＝eq \f(a2＋c2－b2,a)，整理得a2＋b2－c2＝ab，所以cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(1,2).又C∈(0，π)，所以C＝eq \f(π,3).
答案：B
13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b－c＝eq \f(1,2)a,2sin B＝3sin C，则cs A的值为________．
解析：由2sin B＝3sin C及正弦定理可得2b＝3c，由b－c＝eq \f(1,2)a可得a＝c，b＝eq \f(3,2)c，由余弦定理可得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(3,4).
答案：eq \f(3,4)
14．在△ABC中，A＝eq \f(2π,3)，a＝eq \r(3)c，则eq \f(b,c)＝________.
解析：在△ABC中，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A，将A＝eq \f(2π,3)，a＝eq \r(3)c代入，
可得(eq \r(3)c)2＝b2＋c2－2bc·(－eq \f(1,2))，
整理得2c2＝b2＋bc.
∵c≠0，∴等式两边同时除以c2，
得2＝eq \f(b2,c2)＋eq \f(bc,c2)，即2＝(eq \f(b,c))2＋eq \f(b,c).
令t＝eq \f(b,c)(t＞0)，有2＝t2＋t，即t2＋t－2＝0，
解得t＝1或t＝－2(舍去)，故eq \f(b,c)＝1.
答案：1
15．在△ABC中，已知cs2eq \f(A,2)＝eq \f(b＋c,2c)(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，判断△ABC的形状．
解析：法一：在△ABC中，由cs2eq \f(A,2)＝eq \f(b＋c,2c)，
得eq \f(1＋cs A,2)＝eq \f(b＋c,2c)，∴cs A＝eq \f(b,c).
根据余弦定理，得eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(b,c).
∴b2＋c2－a2＝2b2，即a2＋b2＝c2.
∴△ABC是直角三角形．
法二：在△ABC中， 设其外接圆半径为R，由正弦定理，
得b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
由cs2eq \f(A,2)＝eq \f(b＋c,2c)知，cs A＝eq \f(b,c).
∴cs A＝eq \f(sin B,sin C)，即sin B＝sin Ccs A.
∵B＝π－(A＋C)，
∴sin(A＋C)＝sin Ccs A，
∴sin Acs C＝0.
∵A，C都是△ABC的内角，∴A≠0，A≠π.
∴cs C＝0，∴C＝eq \f(π,2).
∴△ABC是直角三角形．
16．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＝eq \f(5,2)，b＝eq \r(6)，4a－3eq \r(6)cs A＝0.
(1)求a的值；
(2)若B＝λA，求λ的值．
解析：(1)因为4a－3eq \r(6)cs A＝0，
故4a＝3eq \r(6)cs A，
所以4a＝3eq \r(6)×eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，
因为c＝eq \f(5,2)，b＝eq \r(6)，
所以12a2＋80a－147＝0，
解得a＝eq \f(3,2)或a＝－eq \f(49,6)(舍去)，
故a＝eq \f(3,2).
(2)由(1)可知cs A＝eq \f(4,3\r(6))×eq \f(3,2)＝eq \f(\r(6),3)，
所以sin A＝eq \f(\r(3),3)，
故cs 2A＝cs2A－sin2A＝eq \f(1,3).
因为a＝eq \f(3,2)，c＝eq \f(5,2)，b＝eq \r(6)，所以cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(1,3)，所以cs 2A＝cs B，
因为在△ABC中，c＞b＞a，故B＝2A，即λ的值为2.