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数学人教版新课标A2.3 等差数列的前n项和第1课时课堂检测
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[A组 学业达标]
1.已知数列{an}的前n项和为Sn,若an+1=an-1,a1=4,则S5等于( )
A.25 B.20
C.15 D.10
解析:依题意an+1-an=-1,故数列{an}是等差数列,故S5=5×4+eq \f(5×4,2)×(-1)=10.
答案:D
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a4+a9=24,则S9=( )
A.36 B.72
C.144 D.70
解析:由等差数列的性质得,a2+a4+a9=3a1+12d=24,则a5=a1+4d=8.S9=eq \f(9a1+a9,2)=9a5=72.
答案:B
3.已知a1,a2,a3,a4成等差数列,若S4=32,a2∶a3=1∶3,则公差d为( )
A.8 B.16
C.4 D.0
解析:∵S4=32,∴2(a2+a3)=32,
∴a2+a3=16.
又eq \f(a2,a3)=eq \f(1,3),即a3=3a2,∴a2=4,a3=12,
∴d=a3-a2=8.故选A.
答案:A
4.设a1,a2,…和b1,b2,…都是等差数列,其中a1=25,b1=75,a100+b100=100,则数列{an+bn}前100项之和为( )
A.0 B.100
C.10 000 D.50 500
解析:易知数列{an+bn}为常数列,且各项均为100,故S100=eq \f(100+100,2)×100=10 000.故选C.
答案:C
5.在等差数列{an}中,a3+a9=18-a6,Sn表示数列{an}的前n项和,则S11=( )
A.66 B.99
C.198 D.297
解析:∵a3+a9=18-a6,∴3a6=18,∴a6=6.
∴S11=eq \f(11,2)(a1+a11)=11a6=11×6=66,故选A.
答案:A
6.已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+eq \f(1,2)(n≥2),则数列{an}的前9项和等于________.
解析:数列{an}是以1为首项,以eq \f(1,2)为公差的等差数列,所以S9=9×1+eq \f(9×8,2)×eq \f(1,2)=9+18=27.
答案:27
7.在等差数列{an}中,若S9=18,Sn=240,an-4=30,则n=________.
解析:因为S9=eq \f(9a1+a9,2)=9a5=18,所以a5=2,又Sn=eq \f(na5+an-4,2)=eq \f(n2+30,2)=240,所以n=15.
答案:15
8.在一个等差数列中,已知a10=10,则S19=________.
解析:S19=eq \f(19a1+a19,2)=eq \f(19a10+a10,2)=19a10=19×10=190.
答案:190
9.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=3,S6=24,求a9.
解析:设等差数列的公差为d,则
S3=3a1+eq \f(3×2,2)d=3a1+3d=3,即a1+d=1,
S6=6a1+eq \f(6×5,2)d=6a1+15d=24,即2a1+5d=8.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1+d=1,,2a1+5d=8,))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1=-1,,d=2.))
故a9=a1+8d=-1+8×2=15.
10.设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,且S12>0,S13<0.
(1)求公差d的取值范围;
(2)数列{an}的前几项的和最大?
解析:(1)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(12a1+\f(12×11,2)d>0,,13a1+\f(13×12,2)d<0,,a1+2d=12,))
整理得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(12a1+66d>0,,13a1+78d<0,,a1+2d=12,))解得-eq \f(24,7)<d<-3.
(2)由(1)知d<0,
∴a1>a2>a3>…>a12>a13>….
∵S13=eq \f(13a1+a13,2)=13a7<0,∴a7<0.
∵S12=eq \f(12a1+a12,2)=6(a1+a12)=6(a6+a7)>0,
∴a7<0,a6>0,故数列{an}的前6项和S6最大.
[B组 能力提升]
11.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若2a8=6+a11,则S9=( )
A.27 B.36
C.45 D.54
解析:∵在等差数列{an}中,2a8=a5+a11=6+a11,
∴a5=6,故S9=eq \f(9a1+a9,2)=9a5=54.故选D.
答案:D
12.已知数列{an}是等差数列,满足a1+2a2=S5,下列结论中错误的是( )
A.S9=0 B.S5最小
C.S3=S6 D.a5=0
解析:由题意知a1+2(a1+d)=5a1+eq \f(5×4,2)d,则a5=0,∴a4+a6=0,∴S3=S6,且S9=9a5=0,故选B.
答案:B
13.等差数列{an}满足an-1+an+an+1=3n(n≥2),函数f(x)=2x,bn=lg2f(an),则函数{bn}的前n项和为________.
解析:∵等差数列{an}满足an-1+an+an+1=3n(n≥2),
∴3an=3n,即an=n,
∵函数f(x)=2x,
∴f(an)=2n,则b1+b2+…+bn=lg2[f(a1)·f(a2)·…·f(an)]=lg2(2×22×…×2n)=lg221+2+…+n=eq \f(nn+1,2).
答案:eq \f(nn+1,2)
14.等差数列{an}中,已知|a6|=|a11|,且公差d>0,则其前n项和取最小值时n的值为________.
解析:由d>0可得等差数列{an}是递增数列,又|a6|=|a11|,所以-a6=a11,即-a1-5d=a1+10d,所以a1=-eq \f(15d,2),则a8=-eq \f(d,2)<0,a9=eq \f(d,2)>0,所以前8项和为前n项和的最小值.
答案:8
15.已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}的前k项和Sk=-35,求k的值.
解析:(1)设等差数列{an}的公差为d,
则an=a1+(n-1)d.
由a1=1,a3=-3可得1+2d=-3,解得d=-2.
从而an=1+(n-1)×(-2)=3-2n.
(2)由(1)可知an=3-2n.
所以Sn=eq \f(n[1+3-2n],2)=2n-n2.
进而由Sk=-35可得2k-k2=-35,
即k2-2k-35=0.解得k=7或k=-5.
又k∈N*,故k=7为所求结果.
16.已知{an}是各项为正数的等差数列,Sn为其前n项和,且4Sn=(an+1)2.
(1)求a1,a2的值及{an}的通项公式;
(2)求数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(Sn-\f(7,2)an))的最小值.
解析:(1)因为4Sn=(an+1)2,
所以当n=1时,4a1=(a1+1)2,解得a1=1,
当n=2时,4(1+a2)=(a2+1)2,
解得a2=-1或a2=3,
因为{an}是各项为正数的等差数列,
所以a2=3,
所以{an}的公差d=a2-a1=2,
所以{an}的通项公式an=a1+(n-1)d=2n-1.
(2)因为4Sn=(an+1)2,
所以Sn=eq \f(2n-1+12,4)=n2,
所以Sn-eq \f(7,2)an=n2-eq \f(7,2)(2n-1)=n2-7n+eq \f(7,2)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n-\f(7,2)))2-eq \f(35,4),
所以当n=3或n=4时,Sn-eq \f(7,2)an取得最小值为-eq \f(17,2).
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