数学人教版新课标A2.3 等差数列的前n项和第1课时课堂检测

这是一份数学人教版新课标A2.3 等差数列的前n项和第1课时课堂检测，共6页。

[A组 学业达标]
1．已知数列{an}的前n项和为Sn，若an＋1＝an－1，a1＝4，则S5等于( )
A．25 B．20
C．15 D．10
解析：依题意an＋1－an＝－1，故数列{an}是等差数列，故S5＝5×4＋eq \f(5×4,2)×(－1)＝10.
答案：D
2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a4＋a9＝24，则S9＝( )
A．36 B．72
C．144 D．70
解析：由等差数列的性质得，a2＋a4＋a9＝3a1＋12d＝24，则a5＝a1＋4d＝8.S9＝eq \f(9a1＋a9,2)＝9a5＝72.
答案：B
3．已知a1，a2，a3，a4成等差数列，若S4＝32，a2∶a3＝1∶3，则公差d为( )
A．8 B．16
C．4 D．0
解析：∵S4＝32，∴2(a2＋a3)＝32，
∴a2＋a3＝16.
又eq \f(a2,a3)＝eq \f(1,3)，即a3＝3a2，∴a2＝4，a3＝12，
∴d＝a3－a2＝8.故选A.
答案：A
4．设a1，a2，…和b1，b2，…都是等差数列，其中a1＝25，b1＝75，a100＋b100＝100，则数列{an＋bn}前100项之和为( )
A．0 B．100
C．10 000 D．50 500
解析：易知数列{an＋bn}为常数列，且各项均为100，故S100＝eq \f(100＋100,2)×100＝10 000.故选C.
答案：C
5．在等差数列{an}中，a3＋a9＝18－a6，Sn表示数列{an}的前n项和，则S11＝( )
A．66 B．99
C．198 D．297
解析：∵a3＋a9＝18－a6，∴3a6＝18，∴a6＝6.
∴S11＝eq \f(11,2)(a1＋a11)＝11a6＝11×6＝66，故选A.
答案：A
6．已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋eq \f(1,2)(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．
解析：数列{an}是以1为首项，以eq \f(1,2)为公差的等差数列，所以S9＝9×1＋eq \f(9×8,2)×eq \f(1,2)＝9＋18＝27.
答案：27
7．在等差数列{an}中，若S9＝18，Sn＝240，an－4＝30，则n＝________.
解析：因为S9＝eq \f(9a1＋a9,2)＝9a5＝18，所以a5＝2，又Sn＝eq \f(na5＋an－4,2)＝eq \f(n2＋30,2)＝240，所以n＝15.
答案：15
8．在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝________.
解析：S19＝eq \f(19a1＋a19,2)＝eq \f(19a10＋a10,2)＝19a10＝19×10＝190.
答案：190
9．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，求a9.
解析：设等差数列的公差为d，则
S3＝3a1＋eq \f(3×2,2)d＝3a1＋3d＝3，即a1＋d＝1，
S6＝6a1＋eq \f(6×5,2)d＝6a1＋15d＝24，即2a1＋5d＝8.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋d＝1，,2a1＋5d＝8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－1，,d＝2.))
故a9＝a1＋8d＝－1＋8×2＝15.
10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12＞0，S13＜0.
(1)求公差d的取值范围；
(2)数列{an}的前几项的和最大？
解析：(1)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(12a1＋\f(12×11,2)d＞0，,13a1＋\f(13×12,2)d＜0，,a1＋2d＝12，))
整理得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(12a1＋66d＞0，,13a1＋78d＜0，,a1＋2d＝12，))解得－eq \f(24,7)＜d＜－3.
(2)由(1)知d＜0，
∴a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13＞….
∵S13＝eq \f(13a1＋a13,2)＝13a7＜0，∴a7＜0.
∵S12＝eq \f(12a1＋a12,2)＝6(a1＋a12)＝6(a6＋a7)＞0，
∴a7＜0，a6＞0，故数列{an}的前6项和S6最大．
[B组 能力提升]
11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a8＝6＋a11，则S9＝( )
A．27 B．36
C．45 D．54
解析：∵在等差数列{an}中，2a8＝a5＋a11＝6＋a11，
∴a5＝6，故S9＝eq \f(9a1＋a9,2)＝9a5＝54.故选D.
答案：D
12．已知数列{an}是等差数列，满足a1＋2a2＝S5，下列结论中错误的是( )
A．S9＝0 B．S5最小
C．S3＝S6 D．a5＝0
解析：由题意知a1＋2(a1＋d)＝5a1＋eq \f(5×4,2)d，则a5＝0，∴a4＋a6＝0，∴S3＝S6，且S9＝9a5＝0，故选B.
答案：B
13．等差数列{an}满足an－1＋an＋an＋1＝3n(n≥2)，函数f(x)＝2x，bn＝lg2f(an)，则函数{bn}的前n项和为________．
解析：∵等差数列{an}满足an－1＋an＋an＋1＝3n(n≥2)，
∴3an＝3n，即an＝n，
∵函数f(x)＝2x，
∴f(an)＝2n，则b1＋b2＋…＋bn＝lg2[f(a1)·f(a2)·…·f(an)]＝lg2(2×22×…×2n)＝lg221＋2＋…＋n＝eq \f(nn＋1,2).
答案：eq \f(nn＋1,2)
14．等差数列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d＞0，则其前n项和取最小值时n的值为________．
解析：由d＞0可得等差数列{an}是递增数列，又|a6|＝|a11|，所以－a6＝a11，即－a1－5d＝a1＋10d，所以a1＝－eq \f(15d,2)，则a8＝－eq \f(d,2)＜0，a9＝eq \f(d,2)＞0，所以前8项和为前n项和的最小值．
答案：8
15．已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．
解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，
则an＝a1＋(n－1)d.
由a1＝1，a3＝－3可得1＋2d＝－3，解得d＝－2.
从而an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.
(2)由(1)可知an＝3－2n.
所以Sn＝eq \f(n[1＋3－2n],2)＝2n－n2.
进而由Sk＝－35可得2k－k2＝－35，
即k2－2k－35＝0.解得k＝7或k＝－5.
又k∈N*，故k＝7为所求结果．
16．已知{an}是各项为正数的等差数列，Sn为其前n项和，且4Sn＝(an＋1)2.
(1)求a1，a2的值及{an}的通项公式；
(2)求数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(Sn－\f(7,2)an))的最小值．
解析：(1)因为4Sn＝(an＋1)2，
所以当n＝1时，4a1＝(a1＋1)2，解得a1＝1，
当n＝2时，4(1＋a2)＝(a2＋1)2，
解得a2＝－1或a2＝3，
因为{an}是各项为正数的等差数列，
所以a2＝3，
所以{an}的公差d＝a2－a1＝2，
所以{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
(2)因为4Sn＝(an＋1)2，
所以Sn＝eq \f(2n－1＋12,4)＝n2，
所以Sn－eq \f(7,2)an＝n2－eq \f(7,2)(2n－1)＝n2－7n＋eq \f(7,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(7,2)))2－eq \f(35,4)，
所以当n＝3或n＝4时，Sn－eq \f(7,2)an取得最小值为－eq \f(17,2).