人教版新课标A必修53.2 一元二次不等式及其解法第1课时课时训练

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[A组 学业达标]
1．已知集合A＝{x|x＋2＞0}，B＝{x|x2＋2x－3≤0}，则A∩B＝( )
A．[－3，－2) B．[－3，－1]
C．(－2,1] D．[－2,1]
解析：集合A＝{x|x＋2＞0}＝{x|x＞－2}，B＝{x|x2＋2x－3≤0}＝{x|－3≤x≤1}，则A∩B＝{x|－2＜x≤1}＝(－2,1]．
答案：C
2．不等式(x＋5)(3－2x)≥6的解集是( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x－\f(9,2)≤x≤1))
B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x－1≤x≤\f(9,2)))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(xx≤－\f(9,2)或x≥1))
D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(xx≤－1或x≥\f(9,2)))
解析：不等式(x＋5)(3－2x)≥6可化为2x2＋7x－9≤0，即(x－1)(2x＋9)≤0；解这个不等式，得－eq \f(9,2)≤x≤1，所以该不等式的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x－\f(9,2)≤x≤1)).
答案：A
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如表：
则一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是( )
A．{x|x＜－2，或x＞3} B．{x|x≤－2，或x≥3}
C．{x|－2＜x＜3} D．{x|－2≤x≤3}
解析：根据二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值表知，a＜0，且x＝－2时，y＝0；x＝3时，y＝0；
所以一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|－2＜x＜3}．
答案：C
4．若关于x的方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的一个实根小于－1，另一个实根大于1，则实数m的取值范围是( )
A．(－eq \r(2)，eq \r(2)) B．(－2,0)
C．(－2,1) D．(0,1)
解析：令f(x)＝x2＋(m－1)x＋m2－2，则由题意，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f－1＝m2－m＜0,f1＝m2＋m－2＜0))，解得0＜m＜1，故选D.
答案：D
5．关于x的不等式ax－b＜0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)＞0的解集是( )
A．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
B．(1,3)
C．(－1,3)
D．(－∞，1)∪(3，＋∞)
解析：因为关于x的不等式ax－b＜0的解集是(1，＋∞)，
所以不等式ax＜b的解集是(1，＋∞)，
所以a＝b＜0；
所以不等式(ax＋b)(x－3)＞0可化为(x＋1)(x－3)＜0，
解得－1＜x＜3，
所以该不等式的解集是(－1,3)．
答案：C
6．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两个实根，则实数m的取值范围是________．
解析：由Δ＝(m－3)2－4m≥0可得m≥9或m≤1.
答案：m≤1或m≥9
7．若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是(－eq \f(1,2)，eq \f(1,3))，则a＋b的值是________．
解析：－eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(2,a)，∴a＝－12
－eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＝－eq \f(b,a) ∴b＝－2
∴a＋b＝－14
答案：－14
8．某地每年销售木材约20万 m3，每立方米的价格为2 400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少eq \f(5,2)t万m3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是________．
解析：设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，则y＝2 400eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(20－\f(5,2)t))×t%＝60(8t－t2)．
令y≥900，即60(8t－t2)≥900，解得3≤t≤5.
答案：[3,5]
9．已知全集U＝R，A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|2≤x＜5}，C＝{x|x＞a}．
(1)求A∩(∁UB)；
(2)若A∪C＝C，求a的取值范围．
解析：(1)A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，
且B＝{x|2≤x＜5}，U＝R，
所以∁UB＝{x|x＜2或x≥5}，
所以A∩(∁UB)＝{x|－1≤x＜2}．
(2)由A∪C＝C，得A⊆C，
又C＝{x|x＞a}，A＝{x|－1≤x≤3}，
所以a的取值范围是a＜－1.
10．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)＞－4x的解集为(1,3)，若f(x)的最大值大于－3，求a的取值范围．
解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＜0)，由题意得方程f(x)＝－4x的两个根是1,3，即ax2＋(b＋4)x＋c＝0的两个根是1,3.
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(b＋4,a)＝4，,\f(c,a)＝3，))
所以b＝－4a－4，c＝3a.
又f(x)的最大值大于－3，即eq \f(4ac－b2,4a)＞－3，消去b，c得到关于a的不等式a2＋5a＋4＞0，
解得a的取值范围是－1＜a＜0或a＜－4.
[B组 能力提升]
11．已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3.若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为( )
A．[2－eq \r(2)，2＋eq \r(2)] B．(2－eq \r(2)，2＋eq \r(2))
C．[1,3] D．(1,3)
解析：注意到f(x)＝ex－1＞－1，所以g(b)＞－1，即转化为解一元二次不等式－b2＋4b－3＞－1，解得2－eq \r(2)＜b＜2＋eq \r(2).
答案：B
12．关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝( )
A.eq \f(5,2) B．eq \f(7,2)
C.eq \f(15,4) D.eq \f(15,2)
解析：法一：x2－2ax－8a2＜0可化为(x＋2a)(x－4a)＜0.
∵a＞0且解集为(x1，x2)，则x1＝－2a，x2＝4a，∴x2－x1＝6a＝15，解得a＝eq \f(5,2).
法二：由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，结合a＞0得a＝eq \f(5,2).
答案：A
13．若不等式ax2－3x＋2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，则a＋b＝________.
解析：由题意得1，b为方程ax2－3x＋2＝0的两根，则a－3＋2＝0，得a＝1.又1×b＝2，则b＝2，从而a＋b＝3.
答案：3
14．若关于x的不等式(2x－1)2＜ax2的解集中恰好有3个整数，则实数a的取值范围是________．
解析：关于x的不等式(2x－1)2＜ax2等价于(－a＋4)x2－4x＋1＜0，其中Δ＝4a＞0且有4－a＞0，故有0＜a＜4.原不等式的解集为eq \f(1,2＋\r(a))＜x＜eq \f(1,2－\r(a)).因为eq \f(1,4)＜eq \f(1,2＋\r(a))＜eq \f(1,2)，所以原不等式的解集中一定含有1,2,3，可得3＜eq \f(1,2－\r(a))≤4，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(a)＞\f(5,3)，,\r(a)≤\f(7,4)，))解得eq \f(25,9)＜a≤eq \f(49,16)，故实数a的取值范围是(eq \f(25,9)，eq \f(49,16)]．
15．已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围；
(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的取值范围．
解析：(1)由条件知，抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，如图所示，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f0＝2m＋1＜0，,f－1＝2＞0，,f1＝4m＋2＜0，,f2＝6m＋5＞0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＜－\f(1,2)，,m∈R，,m＜－\f(1,2)，,m＞－\f(5,6)，))
故－eq \f(5,6)＜m＜－eq \f(1,2).
即m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,6)，－\f(1,2))).
(2)抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴交点均落在区间(0,1)内，如图所示，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f0＞0，,f1＞0，,Δ≥0，,0＜－m＜1，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＞－\f(1,2)，,m＞－\f(1,2)，,m≥1＋\r(2)或m≤1－\r(2)，,－1＜m＜0，))故－eq \f(1,2)＜m≤1－eq \r(2).
即m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1－\r(2))).
16．关于x的不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－x－2＞0，,2x2＋2k＋5x＋5k＜0))的整数解的集合为{－2}，求实数k的取值范围．
解析：由x2－x－2＞0，可得x＜－1或x＞2.
∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－x－2＞0，,2x2＋2k＋5x＋5k＜0))的整数解的集合为{－2}，
方程2x2＋(2k＋5)x＋5k＝0的两根为－k和－eq \f(5,2)，
若－k＜－eq \f(5,2)，则不等式组的整数解的集合就不可能为{－2}；
若－eq \f(5,2)＜－k，则应有－2＜－k≤3，
∴－3≤k＜2.
综上，所求的k的取值范围为－3≤k＜2.
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
－6
0
4
6
6
4
0
－6