高中数学人教版新课标A选修4-5一 二维形式的柯西不等式课堂检测

学业分层测评（九）

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．若a2＋b2＝1，x2＋y2＝2，则ax＋by的最大值为(　　)

A．1 B．2

C. D.4

【解析】　∵(ax＋by)2≤(a2＋b2)(x2＋y2)＝2，

∴ax＋by≤.

【答案】　C

2．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则(　　)

A．ab≤   B．ab≥

C．a2＋b2≥2 D.a2＋b2≤3

【解析】　∵(12＋12)(a2＋b2)≥(a＋b)2＝4，

∴a2＋b2≥2.

【答案】　C

3．已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则P＝(ax＋by)2与Q＝ax2＋by2的关系是(　　)

【导学号：32750050】

A．P≤Q   B．P<Q

C．P≥Q D.P>Q

【解析】　设m＝(x，y)，n＝(，)，

则|ax＋by|＝|m·n|≤|m||n|

＝·

＝·＝，

∴(ax＋by)2≤ax2＋by2，即P≤Q.

【答案】　A

4．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a－b的取值范围是(　　)

A．[－2，2]   B．[－2，2]

C．[－，] D.(－，)

【解析】　(a2＋b2)[12＋(－1)2]≥(a－b)2.

∵a2＋b2＝10，∴(a－b)2≤20.

∴－2≤a－b≤2.

【答案】　A

5．若a＋b＝1且a，b同号，则2＋2的最小值为(　　)

A．1   B．2

C.   D.

【解析】　＋

＝a2＋2＋＋b2＋2＋＝(a2＋b2)＋4.

∵a＋b＝1，ab≤＝，

∴a2＋b2＝(a2＋b2)·(1＋1)

≥·(a＋b)2＝，1＋≥1＋42＝17，

∴＋≥＋4＝.

【答案】　C

二、填空题

6．设实数x，y满足3x2＋2y2≤6，则P＝2x＋y的最大值为________．

【解析】　由柯西不等式得(2x＋y)2≤[(x)2＋(y)2]·＝(3x2＋2y2)·≤6×＝11，

于是2x＋y≤.

【答案】　

7．设xy＞0，则·的最小值为________．

【解析】　原式＝≥＝9(当且仅当xy＝时取等号)．

【答案】　9

8．设x，y∈R＋，且x＋2y＝8，则＋的最小值为________．

【解析】　(x＋2y)

＝[()2＋()2][＋]≥＝25，当且仅当·＝·，即x＝，y＝时，“＝”成立．又x＋2y＝8，

∴＋≥.

【答案】　

三、解答题

9．已知θ为锐角，a，b均为正实数．求证：(a＋b)2≤＋.

【证明】　设m＝，n＝(cos θ，sin θ)，

则|a＋b|＝

＝|m·n|≤|m||n|＝ ·

＝ ，

∴(a＋b)2≤＋.

10．已知实数a，b，c满足a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，求证：－≤c≤1.

【证明】　因为a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，

所以a＋2b＝1－c，a2＋b2＝1－c2.

由柯西不等式得(12＋22)(a2＋b2)≥(a＋2b)2，

当且仅当b＝2a时，等号成立，即5(1－c2)≥(1－c)2，

整理得3c2－c－2≤0，解得－≤c≤1.

[能力提升]

1．函数y＝＋2的最大值是(　　)

A.　　　　B.  C．3　　　　D．5

【解析】　根据柯西不等式，知y＝1×＋2×≤×＝.

【答案】　B

2．已知4x2＋5y2＝1，则2x＋y的最大值是(　　)

A.　　　　B．1  C．3　　　　D．9

【解析】　∵2x＋y＝2x·1＋y·1

≤·＝·＝.

∴2x＋y的最大值为.

【答案】　A

3．函数f(x)＝＋的最大值为______．

【导学号：32750051】

【解析】　设函数有意义时x满足≤x2≤2，由柯西不等式得[f(x)]2＝

≤(1＋2)＝，

∴f(x)≤，

当且仅当2－x2＝，即x2＝时取等号．

【答案】　

4．在半径为R的圆内，求内接长方形的最大周长．

【解】　如图所示，设内接长方形ABCD的长为x，宽为，于是 ABCD的周长l＝2(x＋)＝2(1·x＋1×)．

由柯西不等式

l≤2[x2＋()2](12＋12)＝2·2R

＝4R，

当且仅当＝，即x＝R时，等号成立．

此时，宽＝＝R，即ABCD为正方形，

故内接长方形为正方形时周长最大，其周长为4R.