高中人教版新课标A三 反证法与放缩法同步测试题

学业分层测评（七）

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是(　　)

A.＜ B．a2＞b2

C.＞ D.a|c|＞b|c|

【解析】　∵a＞b，c2＋1＞0，

∴＞，故选C.

【答案】　C

2．设＜＜＜1，则(　　)

A．aa＜ab＜ba   B．aa＜ba＜ab

C．ab＜aa＜ba D.ab＜ba＜aa

【解析】　∵＜＜＜1，

∴0＜a＜b＜1，∴＝aa－b＞1，∴ab＜aa，

＝.∵0＜＜1，a＞0，

∴＜1，∴aa＜ba，∴ab＜aa＜ba.故选C.

【答案】　C

3．已知条件p：ab>0，q：＋≥2，则p与q的关系是(　　)

【导学号：32750037】

A．p是q的充分而不必要条件

B．p是q的必要而不充分条件

C．p是q的充要条件

D．以上答案都不对

【解析】　当ab>0时，>0，>0，

∴＋≥2 ＝2.

当＋≥2时，

∴≥0，≥0，

(a－b)2≥0，∴ab>0，

综上，ab>0是＋≥2的充要条件．

【答案】　C

4．已知a，b∈R＋，那么下列不等式中不正确的是(　　)

A.＋≥2   B.＋≥a＋b

C.＋≤   D.＋≥

【解析】　A满足基本不等式；B可等价变形为(a－b)2(a＋b)≥0，正确；C选项中不等式的两端同除以ab，不等式方向不变，所以C选项不正确；D选项是A选项中不等式的两端同除以ab得到的，D正确．

【答案】　C

5．已知a，b，c为三角形的三边且S＝a2＋b2＋c2，P＝ab＋bc＋ca，则(　　)

A．S≥2P   B．P＜S＜2P

C．S＞P D.P≤S＜2P

【解析】　∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，

∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，

即S≥P.

又三角形中|a－b|＜c，∴a2＋b2－2ab＜c2，

同理b2－2bc＋c2＜a2，c2－2ac＋a2＜b2，

∴a2＋b2＋c2＜2(ab＋bc＋ca)，即S＜2P.

【答案】　D

二、填空题

6．有以下四个不等式：

①(x＋1)(x＋3)＞(x＋2)2；②ab－b2＜a2；③＞0；④a2＋b2≥2|ab|.

其中恒成立的为________(写出序号即可)．

【解析】　对于①，x2＋4x＋3＞x2＋4x＋4,3＞4不成立；对于②，当a＝b＝0时， 0＜0不成立；③④显然成立．

【答案】　③④

7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，c为斜边，则的取值范围是________．

【解析】　∵a2＋b2＝c2，∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)＝2c2，∴≤，当且仅当a＝b时，取等号．又∵a＋b>c，∴>1.

【答案】　(1，]

8．已知a＞0，b＞0，若P是a，b的等差中项，Q是a，b的正的等比中项，是，的等差中项，则P，Q，R按从大到小的排列顺序为________．

【解析】　∵P＝，Q＝，＝＋，

∴R＝≤Q＝≤P＝，

当且仅当a＝b时取等号．

【答案】　P≥Q≥R

三、解答题

9．设a＞0，b＞0，c＞0.证明：

(1)＋≥；

(2)＋＋≥＋＋.

【证明】　(1)∵a＞0，b＞0，

∴(a＋b)

≥2·2＝4，

∴＋≥.

(2)由(1)知＋≥，

同时＋≥，＋≥，三式相加得：

2≥＋＋，

∴＋＋≥＋＋.

10．已知a≥1，求证：－＜－.

【证明】　要证原不等式成立，

只要证明＋＜2.

因为a≥1，＋＞0,2＞0，

所以只要证明2a＋2＜4a，

即证 ＜a.

所以只要证明a2－1＜a2，

即证－1＜0即可．

而－1＜0显然成立，

所以－＜－.

[能力提升]

1．若xy＋yz＋zx＝1，则x2＋y2＋z2与1的关系是(　　)

【导学号：32750038】

A．x2＋y2＋z2≥1   B．x2＋y2＋z2≤1

C．x2＋y2＋z2＝1 D.不确定

【解析】　x2＋y2＋z2＝(x2＋y2＋y2＋z2＋z2＋x2)≥(2xy＋2yz＋2zx)＝1，当且仅当x＝y＝z＝时，取等号．

【答案】　A

2．设a，b，c都是正实数，且a＋b＋c＝1，若M＝··，则M的取值范围是________．

【解析】　∵a＋b＋c＝1，

∴M＝··

＝··

＝··

≥2·2·2＝8，

即M的取值范围是[8，＋∞)．

【答案】　[8，＋∞)

3．已知|a|＜1，|b|＜1，求证：＜1.

【证明】　要证＜1，只需证|a＋b|＜|1＋ab|，

只需证a2＋2ab＋b2＜1＋2ab＋a2b2，

即证(1－a2)－b2(1－a2)＞0，

也就是(1－a2)(1－b2)＞0，

∵|a|＜1，|b|＜1，∴最后一个不等式显然成立．

因此原不等式成立．

4．若不等式＋＋＞0在条件a＞b＞c时恒成立，求实数λ的取值范围．

【解】　不等式可化为＋＞.

∵a＞b＞c，

∴a－b＞0，

b－c＞0，a－c＞0，

∴λ＜＋恒成立．

∵＋＝＋

＝2＋＋≥2＋2＝4，

∴λ≤4.

故实数λ的取值范围是(－∞，4]．