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2020-2021学年一 二维形式的柯西不等式说课课件ppt
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这是一份2020-2021学年一 二维形式的柯西不等式说课课件ppt，共34页。PPT课件主要包含了二维形式的柯西不等式，ac+bd2，误区警示等内容，欢迎下载使用。
1.在二维形式的柯西不等式的代数形式中,取等号的条件可以写成 吗?提示：不可以.当b·d=0时，柯西不等式成立，但 不成立.
2．设x，y∈R，且2x＋3y＝13，则x2＋y2的最小值为______.【解析】根据二维形式的柯西不等式可得：(2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)，又因为2x＋3y＝13，所以x2＋y2≥13.答案：13
3.设a=(-2,2),｜b｜=6，则a·b的最小值是________，此时b=______.【解析】因为｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜,所以当且仅当存在实数k,使a=kb时等号成立，所以所以a·b的最小值为此时答案：
1.对二维柯西不等式的向量形式的理解(1)柯西不等式的向量形式中， 取等号的条件是是零向量或者 共线，我们可以从向量的数量积角度来理解记忆.
(2)“二维”是对向量的个数来说的，在平面上一个向量有两个量：横坐标与纵坐标，因此“二维”就要有四个量，还可以认为是四个数组合成的一种不等关系.(3)二维柯西不等式的代数形式与向量形式是一致的，只是表现形式不同.
2.二维形式的柯西不等式的变式
类型 一 二维形式柯西不等式代数形式的应用 【典型例题】1.已知3x2＋2y2≤6，则2x＋y的最大值为_____.2.已知 求证：a2+b2=1.【解题探究】1.题1中，结合已知条件与待求的式子，应该怎样建立关系使用柯西不等式？2.题2中的已知条件应该如何利用？
探究提示：1.把待求式子进行平方得到(2x＋y)2并结合已知条件进行变换，利用二维形式的柯西不等式找到不等关系，从而求得待求式子的最大值.2．题2中的已知条件的形式与柯西不等式的形式相似，可以考虑利用柯西不等式进行转化，通过要证明是等式，考虑柯西不等式等号成立的条件即可.
【解析】1. 所以所以2x＋y的最大值为答案：
2.由柯西不等式，得当且仅当 时，上式取等号，所以于是a2+b2=1.
【拓展提升】利用二维形式柯西不等式的代数形式的证题技巧 (1)要抓住柯西不等式的结构特征.(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,其中a,b,c,d∈R,或 ,其中a,b,c,d∈R+.然后进行整体换元、应用.(2)证题时往往需要将数学表达式适当变形，这种变形要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征.
【变式训练】已知a,b∈R+,求证：【证明】因为a,b∈R+,所以a+b＞0,所以当且仅当即a=b时，等号成立.即
类型 二 二维形式柯西不等式向量形式的应用 【典型例题】1.已知a＞b＞c,若 恒成立，则k的最大值是______.2.已知 求函数 的最大值，并说明等号成立的条件.
【解题探究】1.解决题1时怎样构造向量,用向量形式的柯西不等式求解？2.题2中 对利用柯西不等式有什么暗示？探究提示：1.结合柯西不等式的向量形式可构造如下向量2.f(x)可看作是m=(3,4)与 的数量积.
【解析】1.设由｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜得：即所以kmax=4.答案：4
2．设m=(3,4)， 则根据柯西不等式的向量形式可得：当且仅当m∥n时上式取等号，此时， 而且解得所以当 时， 取最大值为
【拓展提升】利用二维形式柯西不等式的向量形式的证明技巧与方法应用二维形式柯西不等式的代数形式证题时常需要构造两列数.同样，向量形式的柯西不等式需要构造两个向量，通常我们使构造的向量满足待证不等式一侧的形式，再证另一侧.同时要注意向量模的计算公式 对数学式子的影响.
【变式训练】求函数 的最大值．【解析】由题可知函数的定义域满足即x∈［1,5］，令而
当且仅当即 时，取等号．所以y的最大值为
【易错误区】构造柯西不等式的形式错误而致误【典例】(2013·沈阳高二检测)若实数x,y满足则x2+2y2的最小值为_______.
【解析】由柯西不等式得 ①，当且仅当 时等号成立，即 时，②x2+2y2有最小值为答案：
【防范措施】1.关注形式特点利用二维形式的柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 ,取等号的条件是ad=bc,因此在解题时,对照柯西不等式,必须弄清要求的问题中哪样的数或代数式分别相当于柯西不等式中的“a,b,c,d”,否则容易出错，如本例中对①转化时易出现错误.
2.注重等号条件在利用二维形式的柯西不等式解题时，一定要写明等号成立的条件，否则题目的解题过程是不完善的，如本例中忽视②处的等号成立的条件说明，会在解答题中扣分的.
【类题试解】函数 的最大值为_____.【解析】由 得x∈［-2,1］由题意知，y>0,根据柯西不等式得因为所以01．若x，y∈R，且x＋y＝1，则x2＋y2的最小值为（ ）A．1 B. C．－1 D．【解析】选B.因为(x2＋y2)(12＋12)≥(x＋y)2，所以2(x2＋y2)≥1，所以 当且仅当 时，等号成立，所以x2＋y2的最小值为
2.已知向量a=(x,y),x,y∈R，且 则a与b的数量积的最大值为 ( )A. B. C.13 D.65【解析】选C.因为所以｜a·b｜≤13.
3.已知a>0,b>0,a+b=2，则 的最小值是 ( )A. B.4 C. D.5【解析】选C.由柯西不等式可知： 由a+b=2，可知 当且仅当 即b=2a时，解得 的最小值为
4．函数 的最大值为_______．【解析】由 非负且所以答案：
5.已知a,b∈R+,且a+b=1,则 的最小值是_______.【解析】因为a,b∈R+且a+b=1,所以 由柯西不等式得当且仅当 时等号成立，此时答案：
1.在二维形式的柯西不等式的代数形式中,取等号的条件可以写成 吗?提示：不可以.当b·d=0时，柯西不等式成立，但 不成立.
2．设x，y∈R，且2x＋3y＝13，则x2＋y2的最小值为______.【解析】根据二维形式的柯西不等式可得：(2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)，又因为2x＋3y＝13，所以x2＋y2≥13.答案：13
3.设a=(-2,2),｜b｜=6，则a·b的最小值是________，此时b=______.【解析】因为｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜,所以当且仅当存在实数k,使a=kb时等号成立，所以所以a·b的最小值为此时答案：
1.对二维柯西不等式的向量形式的理解(1)柯西不等式的向量形式中， 取等号的条件是是零向量或者 共线，我们可以从向量的数量积角度来理解记忆.
(2)“二维”是对向量的个数来说的，在平面上一个向量有两个量：横坐标与纵坐标，因此“二维”就要有四个量，还可以认为是四个数组合成的一种不等关系.(3)二维柯西不等式的代数形式与向量形式是一致的，只是表现形式不同.
2.二维形式的柯西不等式的变式
类型 一 二维形式柯西不等式代数形式的应用 【典型例题】1.已知3x2＋2y2≤6，则2x＋y的最大值为_____.2.已知 求证：a2+b2=1.【解题探究】1.题1中，结合已知条件与待求的式子，应该怎样建立关系使用柯西不等式？2.题2中的已知条件应该如何利用？
探究提示：1.把待求式子进行平方得到(2x＋y)2并结合已知条件进行变换，利用二维形式的柯西不等式找到不等关系，从而求得待求式子的最大值.2．题2中的已知条件的形式与柯西不等式的形式相似，可以考虑利用柯西不等式进行转化，通过要证明是等式，考虑柯西不等式等号成立的条件即可.
【解析】1. 所以所以2x＋y的最大值为答案：
2.由柯西不等式，得当且仅当 时，上式取等号，所以于是a2+b2=1.
【拓展提升】利用二维形式柯西不等式的代数形式的证题技巧 (1)要抓住柯西不等式的结构特征.(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,其中a,b,c,d∈R,或 ,其中a,b,c,d∈R+.然后进行整体换元、应用.(2)证题时往往需要将数学表达式适当变形，这种变形要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征.
【变式训练】已知a,b∈R+,求证：【证明】因为a,b∈R+,所以a+b＞0,所以当且仅当即a=b时，等号成立.即
类型 二 二维形式柯西不等式向量形式的应用 【典型例题】1.已知a＞b＞c,若 恒成立，则k的最大值是______.2.已知 求函数 的最大值，并说明等号成立的条件.
【解题探究】1.解决题1时怎样构造向量,用向量形式的柯西不等式求解？2.题2中 对利用柯西不等式有什么暗示？探究提示：1.结合柯西不等式的向量形式可构造如下向量2.f(x)可看作是m=(3,4)与 的数量积.
【解析】1.设由｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜得：即所以kmax=4.答案：4
2．设m=(3,4)， 则根据柯西不等式的向量形式可得：当且仅当m∥n时上式取等号，此时， 而且解得所以当 时， 取最大值为
【拓展提升】利用二维形式柯西不等式的向量形式的证明技巧与方法应用二维形式柯西不等式的代数形式证题时常需要构造两列数.同样，向量形式的柯西不等式需要构造两个向量，通常我们使构造的向量满足待证不等式一侧的形式，再证另一侧.同时要注意向量模的计算公式 对数学式子的影响.
【变式训练】求函数 的最大值．【解析】由题可知函数的定义域满足即x∈［1,5］，令而
当且仅当即 时，取等号．所以y的最大值为
【易错误区】构造柯西不等式的形式错误而致误【典例】(2013·沈阳高二检测)若实数x,y满足则x2+2y2的最小值为_______.
【解析】由柯西不等式得 ①，当且仅当 时等号成立，即 时，②x2+2y2有最小值为答案：
【防范措施】1.关注形式特点利用二维形式的柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 ,取等号的条件是ad=bc,因此在解题时,对照柯西不等式,必须弄清要求的问题中哪样的数或代数式分别相当于柯西不等式中的“a,b,c,d”,否则容易出错，如本例中对①转化时易出现错误.
2.注重等号条件在利用二维形式的柯西不等式解题时，一定要写明等号成立的条件，否则题目的解题过程是不完善的，如本例中忽视②处的等号成立的条件说明，会在解答题中扣分的.
【类题试解】函数 的最大值为_____.【解析】由 得x∈［-2,1］由题意知，y>0,根据柯西不等式得因为所以0
2.已知向量a=(x,y),x,y∈R，且 则a与b的数量积的最大值为 ( )A. B. C.13 D.65【解析】选C.因为所以｜a·b｜≤13.
3.已知a>0,b>0,a+b=2，则 的最小值是 ( )A. B.4 C. D.5【解析】选C.由柯西不等式可知： 由a+b=2，可知 当且仅当 即b=2a时，解得 的最小值为
4．函数 的最大值为_______．【解析】由 非负且所以答案：
5.已知a,b∈R+,且a+b=1,则 的最小值是_______.【解析】因为a,b∈R+且a+b=1,所以 由柯西不等式得当且仅当 时等号成立，此时答案：
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