高中数学人教版新课标A选修4-5一 比较法课后练习题

学业分层测评（十）

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值是(　　)

A．1 B.

C．3 D.9

【解析】　由柯西不等式得[()2＋()2＋()2](12＋12＋12)≥(＋＋)2，∴(＋＋)2≤3×1＝3，

当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．

∴＋＋的最大值为.故选B.

【答案】　B

2．设a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝9，则＋＋的最小值为(　　)

【导学号：32750054】

A．4  B．3

C．6 D.2

【解析】　∵(a＋b＋c)

＝[()2＋()2＋()2]·

≥

2＝18.

∴＋＋≥2.

【答案】　D

3．设a1，a2，…，an为实数，P＝，Q＝，则P与Q的大小关系为(　　)

A．P＞Q   B．P≥Q

C．P＜Q D.不确定

【解析】　由柯西不等式知

≥a1＋a2＋…＋an，

∴·≥a1＋a2＋…＋an，

即得≥，∴P≥Q.

【答案】　B

4．若实数x＋y＋z＝1，则F＝2x2＋y2＋3z2的最小值为(　　)

A．1　　　　B．6  C．11　　　　D.

【解析】　∵(2x2＋y2＋3z2)≥x·＋y·1＋z·＝(x＋y＋z)2＝1，

∴2x2＋y2＋3z2≥＝，即F≥，当且仅当2x＝y＝3z时，取等号．

【答案】　D

5．已知x，y，z均大于0，且x＋y＋z＝1，则＋＋的最小值为(　　)

A．24　　　　B．30　　　　C．36　　　　D．48

【解析】　(x＋y＋z)

≥2＝36，

∴＋＋≥36.

【答案】　C

二、填空题

6．已知a，b，c∈R，且2a＋2b＋c＝8，则(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值是__________．

【解析】　由柯西不等式得：(4＋4＋1)×[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥[2(a－1)＋2(b＋2)＋c－3]2，

∴9[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥(2a＋2b＋c－1)2.

∵2a＋2b＋c＝8，∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2≥，

∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值是.

【答案】　

7．已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．

【解析】　∵a＋2b＋3c＝6，∴1×a＋1×2b＋1×3c＝6.

∴(a2＋4b2＋9c2)(12＋12＋12)≥(a＋2b＋3c)2，即a2＋4b2＋9c2≥12.当且仅当＝＝，即a＝2，b＝1，c＝时取等号．

【答案】　12

8．设x，y，z∈R，若(x－1)2＋(y＋2)2＋z2＝4，则3x－y－2z的取值范围是__________．又3x－y－2z取最小值时，x的值为__________．

【解析】　[(x－1)2＋(y＋2)2＋z2][32＋(－1)2＋

(－2)2]≥(3x－3－y－2－2z)2,4×14≥(3x－y－2z－5)2，

∴－2≤3x－y－2z－5≤2，

即5－2≤3x－y－2z≤5＋2.

若3x－y－2z＝5－2，又＝＝＝t，

∴3(3t＋1)－(－t－2)－2(－2t)＝5－2，

∴t＝－，∴x＝－＋1.

【答案】　[5－2，5＋2]　－＋1

三、解答题

9．已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1.

(1)求证：＋＋≥；

(2)求4x＋4y＋4z2的最小值．

【解】　(1)证明：·(y＋2z＋z＋2x＋x＋2y)≥·＋·＋·＝1，

即3≥1，

∴＋＋≥.

(2)由基本不等式，得4x＋4y＋4z2≥3，

因为x＋y＋z＝1，

所以x＋y＋z2＝1－z＋z2＝2＋≥，

故4x＋4y＋4z2≥3＝3，

当且仅当x＝y＝，z＝时等号成立，

所以4x＋4y＋4z2的最小值为3.

10．已知f(x)＝ax2＋bx＋c的所有系数均为正数，且a＋b＋c＝1，求证：对于任何正数x1，x2，当x1·x2＝1时，必有f(x1)·f(x2)≥1.

【证明】　由于f(x)＝ax2＋bx＋c，

且a，b，c大于0，

∴f(x1)·f(x2)＝(ax＋bx1＋c)(ax＋bx2＋c)

≥(x1·x2＋·＋c)2

＝(ax1x2＋b＋c)2

＝[f()]2＝[f(1)]2.

又f(1)＝a＋b＋c，且a＋b＋c＝1，

∴f(x1)·f(x2)≥1.

[能力提升]

1．若2a＞b＞0，则a＋的最小值为(　　)

A．1   B．3

C．8 D.12

【解析】　∵2a＞b＞0，∴2a－b＞0，

∴a＋＝

≥·3＝3.

当且仅当2a－b＝b＝，即a＝b＝2时等号成立，

∴当a＝b＝2时，a＋有最小值3.

【答案】　B

2．设a，b，c，x，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，则＝(　　)

A.   B.

C.   D.

【解析】　由柯西不等式得，(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2＝400，当且仅当＝＝＝时取等号，因此有＝.

【答案】　C

3．已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝6，则＋＋的最大值为________.

【导学号：32750055】

【解析】　由柯西不等式得：(＋＋)2＝(1×＋1×＋1×)2≤(12＋12＋12)(2a＋2b＋1＋2c＋3)＝3(2×6＋4)＝48.

当且仅当＝＝，

即2a＝2b＋1＝2c＋3时等号成立．

又a＋b＋c＝6，∴a＝，b＝，c＝时，

＋＋取得最大值4.

【答案】　4

4．△ABC的三边长为a，b，c，其外接圆半径为R.

求证：(a2＋b2＋c2)≥36R2.

【证明】　由三角形中的正弦定理，得

sin A＝，所以＝，

同理＝，＝，

于是由柯西不等式可得

左边＝(a2＋b2＋c2)

≥2＝36R2，

∴原不等式得证．