高中数学人教版新课标A选修4-52.基本不等式精练

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学业分层测评（二）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．函数f(x)＝的最大值为(　　)A.　　　　B.　　　　C.　　　　D．1【解析】　显然x≥0.当x＝0时，f(x)＝0；当x>0时，x＋1≥2，∴f(x)≤，当且仅当x＝1时，等号成立，∴f(x)max＝.【答案】　B2．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是(　　)A．a＜b＜＜B．a＜＜＜bC．a＜＜b＜D.＜a＜＜b【解析】　取特殊值法．取a＝2，b＝8，则＝4，＝5，所以a＜＜＜b.故选B.【答案】　B3．已知x≥，则f(x)＝有(　　)A．最大值为   B．最小值为C．最大值为1 D.最小值为1【解析】　∵x≥，∴x－2≥，∴f(x)＝＝(x－2)＋≥2＝1，当且仅当＝，即x＝3时，等号成立，∴f(x)min＝1.【答案】　D4．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是(　　)A．0 B．1C．2 D.4【解析】　由题意知a＋b＝x＋y，cd＝xy，∴(a＋b)2＝(x＋y)2≥4xy＝4cd，∴≥4，当且仅当x＝y时，取等号．【答案】　D5．已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的关系是(　　)A．x>y   B．y>xC．x>y D.y>x【解析】　因为a，b是不相等的正数，所以x2＝＋<＋＝a＋b＝y2，即x2<y2，故x<y.【答案】　B二、填空题6．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________. 【导学号：32750010】【解析】　x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy≥(x＋y)2－＝(x＋y)2，∴(x＋y)2≤，∴|x＋y|≤，即x＋y的最大值为.【答案】　7．已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．【解析】　因为x＞0，y＞0，所以＋≥2＝，即≤1，解得xy≤3，所以其最大值为3.【答案】　38．已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．【解析】　∵a，b，m，n∈R＋，且a＋b＝1，mn＝2，∴(am＋bn)(bm＋an)＝abm2＋a2mn＋b2mn＋abn2＝ab(m2＋n2)＋2(a2＋b2)≥2ab·mn＋2(a2＋b2)＝4ab＋2(a2＋b2)＝2(a2＋b2＋2ab)＝2(a＋b)2＝2，当且仅当m＝n＝时，取“＝”，∴所求最小值为2.【答案】　2三、解答题9．已知a，b，x，y∈R＋，x，y为变量，a，b为常数，且a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a，b.【解】　∵x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2，当且仅当＝时取等号．又(x＋y)min＝(＋)2＝18，即a＋b＋2＝18. ①又a＋b＝10， ②由①②可得或10．已知x1，x2，x3为正实数，若x1＋x2＋x3＝1，求证：＋＋≥1.【证明】　∵＋x1＋＋x2＋＋x3≥2＋2＋2＝2(x1＋x2＋x3)＝2，∴＋＋≥1.[能力提升]1．设x，y∈R＋，且满足x＋4y＝40，则lg x＋lg y的最大值是(　　)A．40   B．10C．4 D.2【解析】　因为x，y∈R＋，∴≤，∴≤＝10，∴xy≤100.∴lg x＋lg y＝lg xy≤lg 100＝2.【答案】　D2．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站(　　)A．5千米处   B．4千米处C．3千米处 D.2千米处【解析】　由已知：y1＝，y2＝0.8x(x为仓库到车站的距离)．费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋≥2＝8.当且仅当0.8x＝，即x＝5时等号成立．【答案】　A3．y＝(x＞0)的最小值是________．【解析】　∵x＞0，∴y＝＝＋x＋1－1≥2－1.当且仅当x＋1＝时取等号．【答案】　2－14．若对任意x>0，≤a恒成立，求实数a的取值范围. 【导学号：32750011】【解】　由x>0，知原不等式等价于0<≤＝x＋＋3恒成立．又x>0时，x＋≥2＝2，∴x＋＋3≥5，当且仅当x＝1时，取等号．因此min＝5，从而0<≤5，解得a≥.故实数a的取值范围为.