高中数学人教版新课标A选修2-21.4生活中的优化问题举例同步测试题

这是一份高中数学人教版新课标A选修2-21.4生活中的优化问题举例同步测试题，共12页。试卷主要包含了了解导数在解决实际问题中的作用，解决优化问题的基本思路是等内容，欢迎下载使用。
【创新设计】2016-2017学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.4 生活中的优化问题举例课时作业 新人教版选修2-2 明目标、知重点1．了解导数在解决实际问题中的作用．2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值． 3．解决优化问题的基本思路是：　　     →　　　　　　　　　　　　　　　　←上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程.情境导学]生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题？这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大(小)值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题．探究点一　面积、体积的最值问题思考　如何利用导数解决生活中的优化问题？答　(1)函数建模，细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式y＝f(x)．(2)确定定义域，一定要从问题的实际意义去考察，舍去没有实际意义的变量的范围．(3)求最值，此处尽量使用导数法求出函数的最值．(4)下结论，回扣题目，给出圆满的答案．例1　学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm2，上、下两边各空2 dm，左、右两边各空1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？解　设版心的高为x dm，则版心的宽为 dm，此时四周空白面积为S(x)＝(x＋4)－128＝2x＋＋8，x>0.求导数，得S′(x)＝2－.令S′(x)＝2－＝0，解得x＝16(x＝－16舍去)．于是宽为＝＝8.当x∈(0,16)时，S′(x)<0；当x∈(16，＋∞)时，S′(x)>0.因此，x＝16是函数S(x)的极小值点，也是最小值点．所以，当版心高为16 dm，宽为8 dm时，能使海报四周空白面积最小．反思与感悟　(1)在求最值时，往往建立函数关系式，若问题中给出的量较多时，一定要通过建立各个量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的．(2)在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．跟踪训练1　如图所示，某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________米．答案　32,16解析　要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，设场地宽为x米，则长为米，因此新墙壁总长度L＝2x＋(x>0)，则L′＝2－.令L′＝0，得x＝±16.∵x>0，∴x＝16.当x＝16时，Lmin＝64，此时堆料场的长为＝32(米)．探究点二　利润最大问题例2　某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径．已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.则瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？解　由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是y＝f(r)＝0.2×πr3－0.8πr2＝0.8π，0<r≤6.令f′(r)＝0.8π(r2－2r)＝0.当r＝2时，f′(r)＝0.当r∈(0,2)时，f′(r)<0；当r∈(2,6)时，f′(r)>0.因此，当半径r>2时，f′(r)>0，它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；半径r<2时，f′(r)<0，它表示f(r)单调递减，即半径越大，利润越低．∴半径为2 cm时，利润最小，这时f(2)<0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．半径为6 cm时，利润最大．反思与感悟　解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有：(1)利润＝收入－成本；(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练2　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解　(1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，所以a＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)＋10(x－6)2]＝2＋10(x－3)(x－6)2,3<x<6.从而，f′(x)＝10(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答　当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．探究点三　费用(用材)最省问题例3　已知A、B两地相距200 km，一只船从A地逆水行驶到B地，水速为8 km/h，船在静水中的速度为v km/h(8<v≤v0)．若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v＝12 km/h时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？解　设每小时的燃料费为y1，比例系数为k(k>0)，则y1＝kv2，当v＝12时，y1＝720，∴720＝k·122，得k＝5.设全程燃料费为y，由题意，得y＝y1·＝，∴y′＝＝.令y′＝0，得v＝16，∴当v0≥16，即v＝16 km/h时全程燃料费最省，ymin＝32 000(元)；当v0<16，即v∈(8，v0]时，y′<0，即y在(8，v0]上为减函数，∴当v＝v0时，ymin＝(元)．综上，当v0≥16时，v＝16 km/h全程燃料费最省，为32 000元；当v0<16，即v＝v0时全程燃料费最省，为元．反思与感悟　本题在解题过程中容易忽视定义域，误以为v＝16时取得最小值．本题的关键是弄清极值点是否在定义域范围内．跟踪训练3　现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数；(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？解　(1)依题意得y＝(960＋0.6x2)＝＋300x，且由题意知，函数的定义域为(0,35]，即y＝＋300x(0<x≤35)．(2)由(1)知，y′＝－＋300，令y′＝0，解得x＝40或x＝－40(舍去)．因为函数的定义域为(0,35]，所以函数在定义域内没有极值点．又当0<x≤35时，y′<0，所以y＝＋300x在(0,35]上单调递减，故当x＝35时，函数y＝＋300x取得最小值．故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/时的速度行驶．1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为(　　)A．4  B．6  C．4.5  D．8答案　A解析　设底面边长为x，高为h，则V(x)＝x2·h＝256，∴h＝，∴S(x)＝x2＋4xh＝x2＋4x·＝x2＋，∴S′(x)＝2x－.令S′(x)＝0，解得x＝8，∴h＝＝4.2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x的取值为(　　)A．0.016 2   B．0.032 4C．0.024 3   D．0.048 6答案　B解析　依题意，得存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.048 6kx2，其中x∈(0,0.048 6)．所以银行的收益是y＝0.048 6kx2－kx3(0<x<0.048 6)，则y′＝0.097 2kx－3kx2(0<x<0.048 6)．令y′＝0，得x＝0.032 4或x＝0(舍去)．当0<x<0.032 4时，y′>0；当0.032 4<x<0.048 6时，y′<0.所以当x＝0.032 4时，y取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益．3．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝x3－x＋8(0<x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解　当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)＝×＝x2＋－(0<x≤120)，h′(x)＝－＝(0<x≤120)．令h′(x)＝0，得x＝80.因为x∈(0,80)时，h′(x)<0，h(x)是减函数；x∈(80,120]时，h′(x)>0，h(x)是增函数，所以当x＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11.25(升)．因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．答　汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．呈重点、现规律]正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解应用题的主要思路．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确给出函数表达式；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用.一、基础过关1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是(　　)A．8  B.  C．－1  D．－8答案　C解析　原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.2．设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时底面边长为(　　)A.  B.  C.  D．2答案　C解析　设底面边长为x，则表面积S＝x2＋V(x>0)．∴S′＝(x3－4V)．令S′＝0，得x＝.3．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为(　　)A.3π   B.3πC.3π   D.3π答案　A解析　设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r＋2h＝l，∴h＝，V＝πr2h＝πr2－2πr3.则V′＝lπr－6πr2，令V′＝0，得r＝0或r＝，而r>0，∴r＝是其唯一的极值点．∴当r＝时，V取得最大值，最大值为3π.4．用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为(　　)A．120 000 cm3   B．128 000 cm3C．150 000 cm3   D．158 000 cm3答案　B解析　设水箱底边长为x cm，则水箱高h＝60－(cm)．水箱容积V＝V(x)＝x2h＝60x2－ (cm3)(0<x<120)．V′(x)＝120x－x2.令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝80.可判断得x＝80 (cm)时，V取最大值为128 000 cm3.5．某公司生产一种产品， 固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是(　　)A．150  B．200  C．250  D．300答案　D解析　由题意得，总利润P(x)＝令P′(x)＝0，得x＝300，故选D.二、能力提升6.为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长为a米，高为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a＝________，b＝________时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计)．答案　6　3解析　设y为流出的水中杂质的质量分数，则y＝，其中k(k>0)为比例系数．依题意，即所求的a，b值使y值最小，根据题设，4b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)得b＝(0<a<30)．于是y＝＝＝.令y′＝＝0，得a＝6或a＝－10(舍去)．∵本题只有一个极值点，∴此极值点即为最值点．当a＝6时，b＝3，即当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．7．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自摆成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是(　　)A. cm2   B．4  cm2C．3 cm2   D．2 cm2答案　D解析　设一个正三角形的边长为x cm，则另一个正三角形的边长为(4－x)cm，则这两个正三角形的面积之和为S＝x2＋(4－x)2＝(x－2)2＋4]≥2(cm2)，故选D.8．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．答案　3解析　设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则V＝πR2L＝27π，∴L＝，要使用料最省，只须使圆柱表面积最小，由题意，S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋2π·，∴S′(R)＝2πR－＝0，∴R＝3，则当R＝3时，S表最小．9.如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？解　设广告的高和宽分别为x cm，y cm，则每栏的高和宽分别为x－20，，其中x>20，y>25.两栏面积之和为2(x－20)·＝18 000，由此得y＝＋25.广告的面积S＝xy＝x(＋25)＝＋25x.∴S′＝＋25＝＋25.令S′>0得x>140，令S′<0得20<x<140.∴函数在(140，＋∞)上单调递增，在(20,140)上单调递减，∴S(x)的最小值为S(140)．当x＝140时，y＝175.即当x＝140，y＝175时，S取得最小值24 500，故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小．10．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？解　(1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，即n＝－1.所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x＝256＋(2＋)x＝＋m＋2m－256.(2)由(1)知，f′(x)＝－＋mx－＝(x－512)．令f′(x)＝0，得x＝512，所以x＝64.当0<x<64时，f′(x)<0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当64<x<640时，f′(x)>0，f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以f(x)在x＝64处取得最小值．此时n＝－1＝－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y最小．11．一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为100 km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？解　设速度为x km/h，甲、乙两城距离为a km.则总费用f(x)＝(kx3＋200)·＝a(kx2＋)．由已知条件，得40＝k·203，∴k＝，∴f(x)＝a(x2＋)．令f′(x)＝＝0，得x＝10.当0<x<10时，f′(x)<0；当10<x<100时，f′(x)>0.∴当x＝10时，f(x)有最小值，即速度为10 km/h时，总费用最少．三、探究与拓展12．某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y千元．(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.解　(1)设容器的容积为V，由题意知V＝πr2l＋πr3，又V＝，故l＝＝－r＝(－r)．由于l≥2r，因此0<r≤2.所以建造费用y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πr×(－r)×3＋4πr2c，因此y＝4π(c－2)r2＋，0<r≤2.(2)由(1)得y′＝8π(c－2)r－＝(r3－)，0<r≤2.由于c>3，所以c－2>0.当r3－＝0时，r＝ .令 ＝m，则m>0，所以y′＝(r－m)(r2＋rm＋m2)．①当0<m<2，即c>时，令y′＝0，得r＝m.当r∈(0，m)时，y′<0；当r∈(m,2]时，y′>0，所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点．②当m≥2，即3<c≤时，当r∈(0,2]时，y′≤0，函数单调递减，所以r＝2是函数y的最小值点．综上所述，当3<c≤时，建造费用最小时r＝2；当c>时，建造费用最小时r＝ .