高中数学人教版新课标A选修2-21.4生活中的优化问题举例习题

这是一份高中数学人教版新课标A选修2-21.4生活中的优化问题举例习题，共16页。试卷主要包含了4　生活中的优化问题举例等内容，欢迎下载使用。

基础过关练
题组一 利润最大问题
1.(2019甘肃兰州一中高二上期末)已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-13x3+81x-286,则该生产厂家获取的最大年利润为( )
A.300万元 B.252万元 C.200万元 D.128万元
2.(2019河南名校高二联考)某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元,每年最大规模的种植量是8万斤,每种植一万斤莲藕,成本增加0.5万元.已知销售额函数是f(x)=-18x3+916ax2+12x(x是莲藕种植量,单位:万斤,销售额单位:万元,a是常数),若种植2万斤,利润是2.5万元,则要使利润最大,每年的莲藕种植量应为( )
A.8万斤B.6万斤 C.3万斤 D.5万斤
3.(2020陕西西安第一中学、田家炳中学高二联考)对于企业来说,生产成本、销售收入和利润之间的关系是个重要的问题.对一家药品生产企业的研究表明:该企业的生产成本y(单位:万元)和生产收入z(单位:万元)都是产量x(单位:t)的函数,它们分别为y=x3-24x2+63x+10和z=18x,试求出该企业获得的生产利润w(单位:万元)的最大值.
4.(2021安徽安庆怀宁中学高三上第一次质量检测)某同学大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业,经过市场调查,生产一小型电子产品需投入固定成本2万元,每生产x万件,需另投入流动成本C(x)万元.当年产量小于7万件时,C(x)=13x2+2x;当年产量不小于7万件时,C(x)=6x+ln x+e3x-17.已知每件产品售价为6元,假设该同学生产的商品当年能全部售完.
(1)写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式;(注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)
(2)当年产量约为多少万件时,该同学的这一产品所获年利润最大?最大年利润是多少?(注:e3≈20)
题组二 几何图形中面积与体积的最值问题
5.(2021安徽名校联盟高三上第一次联考)从一张圆形铁板上剪下一个扇形,将其制成一个无底圆锥形容器,当容器体积最大时,该扇形的圆心角是( )
A.2π3 B.π C.23π3 D.26π3
6.(2020吉林通化梅河口五中高三六模)已知长方体ABCD-A1B1C1D1内接于半球O,且底面ABCD的四个顶点落在半球的底面上,底面A1B1C1D1的四个顶点落在半球的球面上.若半球的半径为3,AB=BC,则该长方体体积的最大值为( )
A.123B.66 C.48 D.72
7.(2021安徽六安第一中学高三上第二次月考)如图,某校园有一块半径为20 m的半圆形绿化区域(以O为圆心,AB为直径),现对其进行改建,在AB的延长线上取一点D,使得OD=40 m,在半圆上选定一点C,改建后绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成,设∠AOC=θ.
(1)当θ=π3时,求改建后的绿化区域边界AC与线段CD的长度之和;
(2)若改建后的绿化区域的面积为S,写出S关于θ的函数关系式S(θ),则当θ为多大时,改建后的绿化区域面积S取得最大值?
题组三 用料最省、费用最低、效率最高问题
8.已知铁道机车运行1小时所需成本由两部分组成,其中固定部分为m元,变动部分与运行速度v(单位:千米/时)的平方成正比,比例系数为k(k>0).如果机车匀速从甲站开往乙站,那么当机车以 千米/时的速度运行时,成本最低.
9.(2019江苏海安高级中学高三下月考)某企业拟生产一种如图所示的圆柱形易拉罐(上、下底面及侧面的厚度不计),易拉罐的体积为108π cm3,设圆柱的高度为h cm,底面半径为r cm,且h≥4r,假设该易拉罐的制造费用仅与其表面积有关.已知易拉罐侧面制造费用为m元/cm2,易拉罐上、下底面的制造费用均为n元/cm2(m,n为常数).
(1)写出易拉罐的制造费用y(元)关于半径r的函数表达式,并求其定义域;
(2)求易拉罐制造费用最低时r的值.
10.(2019福建宁德高二下期中)某地修建一个大型输油管道需要通过120千米长的沙漠地带,该段输油管道两端的输油站已建好,余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站).经预算,修建一个增压站的工程费用为400万元,铺设距离为x千米的相邻两增压站之间的输油管道费用为(x2+x)万元.设余下工程的总费用为y万元.
(1)试将y(万元)表示成关于x(千米)的函数;
(2)需要修建多少个增压站才能使总费用y最小?
能力提升练
一、选择题
1.(2020陕西西安高三下八校联考,)如图所示,正方形ABCD的边长为2,切去阴影部分围成一个正四棱锥,则当正四棱锥体积最大时,该正四棱锥外接球的表面积为( )
A.22π3B.52π25 C.169π25D.338π125
2.()某品牌小汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式为y=181000x3-110x+18(0A.60千米/时B.80千米/时 C.90千米/时D.100千米/时
3.(2020四川绵阳高二下学期期末,)现制作一个容积为V的圆柱形铁桶,桶底和桶身用铁皮制作,桶盖用铝合金板制作.已知单位面积铝合金板的价格是铁皮的3倍,当总造价最少时(不计接头部分),桶高应为( )
A.1232VπB.123V2π C.232Vπ D.23V2π
二、填空题
4.()当前,网校教学受到广大学生的喜爱,它已经成为学生课外学习的一种趋势.假设某网校的套题每日的销售量y(单位:千套)与销售价格x(单位:元/套)满足的函数关系式为y=mx-2+4(x-6)2,其中2(1)实数m= ;
(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数),当销售价格约为 元/套时,网校每日销售套题所获得的利润最大(精确到0.1).
5.(2019江西赣州高三摸底考试,)在一节手工课上,小明将一个底面半径为4、母线长为5的圆锥形橡皮泥捏成一个圆柱(橡皮泥的用量保持不变),则当这个圆柱的表面积最小时,该圆柱的底面半径为 .
三、解答题
6.(2019山东烟台高三上期中,)某工厂加工一批零件,加工过程中会产生次品,根据经验可知,其次品率p与日产量x(万件)之间满足函数关系式p=x6,1≤x<4,3x2-3x+1,x≥4,已知每生产1万件合格品可获利2万元,但生产1万件次品将亏损1万元.(次品率=次品数/生产量)
(1)试写出加工这批零件的日盈利额y(万元)与日产量x(万件)的函数关系式;
(2)当日产量为多少时,可获得最大利润?最大利润为多少?
答案全解全析
1.4 生活中的优化问题举例
基础过关练
1.C 令y=f(x)=-13x3+81x-286,求导数,得f'(x)=-x2+81,令f'(x)=0,解得x=9(负值舍去).
当00,函数f(x)单调递增;
当x>9时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.
因此,当x=9时,该生产厂家获取最大年利润,最大年利润为200万元.故选C.
2.B 设销售的利润为g(x)万元,由题意,得g(x)=-18x3+916ax2+12x-1-12x,x∈(0,8],
即g(x)=-18x3+916ax2-1,x∈(0,8].
当x=2时,g(2)=-1+94a-1=52,解得a=2,
故g(x)=-18x3+98x2-1,则g'(x)=-38x2+94x=-38x(x-6),
当x∈(0,6)时,g'(x)>0,当x∈(6,8]时,g'(x)<0,所以函数g(x)在(0,6)上单调递增,在(6,8]上单调递减.所以x=6时,利润最大.故选B.
3.解析 w=z-y=18x-(x3-24x2+63x+10)=-x3+24x2-45x-10,
即w=-x3+24x2-45x-10(x≥0),w'=-3x2+48x-45=-3(x-1)(x-15),
令w'=0,得x=1或x=15,
当x变化时,w',w的变化情况如下表:
由上表可知,x=15是函数w的唯一极大值点,也是最大值点.
所以当x=15时,w取得最大值,最大值为1 340.
4.解析 (1)因为每件产品售价为6元,则x万件商品的销售收入为6x万元.
由题意可得,当0当x≥7时,P(x)=6x-C(x)-2=6x-6x+lnx+e3x-17-2=15-ln x-e3x.
所以P(x)=-13x2+4x-2,0(2)由(1)可得,当0当且仅当x=6时,等号成立.
当x≥7时,P(x)=15-ln x-e3x,则P'(x)=-1x+e3x2=e3-xx2,
所以当7≤x0,即函数P(x)=15-ln x-e3x单调递增;当x>e3时, P'(x)<0,即函数P(x)=15-ln x-e3x单调递减.
所以当x=e3时,P(x)=15-ln x-e3x取得最大值,最大值为P(e3)=15-ln e3-e3e3=11.
综上,当x=e3≈20时,P(x)取得最大值,最大值为11,
即当年产量约为20万件时,该同学的这一产品所获年利润最大,最大年利润是11万元.
5.D 设圆锥底面半径为r,高为h,圆形铁板的半径为R,则r2+h2=R2,即r2=R2-h2,
圆锥的体积V=13πr2h=13π(R2-h2)·h=13π(R2h-h3),令V=f(h),
则f'(h)=13π(R2-3h2),令f'(h)=0,得h2=13R2,
此时圆锥体积最大,所以r=63R,所以该扇形的圆心角α=2πrR=26π3,故选D.
6.A 易知长方体的底面为正方形,设长方体ABCD-A1B1C1D1的高为h,底面边长为a,易知球心O为正方形ABCD的中心,
由勾股定理得h2+2a22=32,即a2=18-2h2,其中0所以长方体ABCD-A1B1C1D1的体积V=a2h=(18-2h2)h=-2h3+18h,其中0设f(h)=-2h3+18h,其中0当00,f(h)在(0,3)上单调递增;当3所以函数f(h)在h=3处取得极大值,也是最大值,则Vmax=f(3)=123.
因此该长方体体积的最大值为123.
7.解析 (1)lAC+CD=π3×20+202+402-2×20×40×cs2π3=20π3+207(m),即改建后的绿化区域边界AC与线段CD的长度之和为20π3+207m.
(2)S(θ)=S扇形AOC+S△COD=12×θ×202+12×20×40×sin(π-θ)=200θ+400sin θ,θ∈(0,π),
所以S'(θ)=200+400cs θ,θ∈(0,π).
当θ∈0,2π3时,S'(θ)>0,S(θ)单调递增;
当θ∈2π3,π时,S'(θ)<0,S(θ)单调递减.
所以当θ=2π3时,S取得最大值,即当θ为2π3时,改建后的绿化区域面积S取得最大值.
8.答案 mk
解析 设甲、乙两站相距s千米,当机车以速度v匀速运行时成本最低,总成本为y元,
则机车匀速从甲站到乙站所需时间t=sv,
∴y=(m+kv2)sv=skv+mv,求导,得y'=sk-mv2,
令y'=0,得v=mk(负值舍去),
∴函数在0,mk上单调递减,在mk,+∞上单调递增,
∴v=mk为极小值点,也是最小值点.
∴当机车以mk千米/时的速度运行时,成本最低.
9.解析 (1)因为易拉罐的体积为108π cm3,所以πr2h=108π,即h=108r2,
易拉罐的侧面积S1=2πrh=2πr108r2=216πr,
易拉罐的上、下两底面的面积和S2=2πr2,
所以y=m216πr+2nπr2=2π108mr+nr2,
因为h≥4r,所以108r2≥4r,解得r≤3,故0综上,易拉罐的制造费用y关于r的函数表达式为y=2π·108mr+nr2,r∈(0,3].
(2)由(1)知y'=2π-108mr2+2nr,令y'=0,解得r=332mn.
①若332mn<3,即2m则当r∈0,332mn时,函数y=2π·108mr+nr2单调递减;
当r∈332mn,3时,函数y=2π·108mr+nr2单调递增.
故当r=332mn时,函数y=2π·108mr+nr2取得最小值,即易拉罐的制造费用最低.
②若332mn≥3,即2m≥n,则当r∈(0,3]时,函数y=2π·108mr+nr2单调递减,
故当r=3时,函数y=2π·108mr+nr2取得最小值,即易拉罐的制造费用最低.
综上,若2m10.解析 (1)依题意可知余下工程有120x段输油管道,有120x-1个增压站,
故y=(x2+x)·120x+400·120x-1=120x+48000x-280,
所以将y表示成关于x的函数为y=120x+48000x-280(0(2)由(1)知y=120x+48000x-280(0令y'=0,得x=20(负值舍去),
x变化时,y,y'的变化情况如下表:
由上表易知,函数在x=20时取得最小值,此时120x-1=5,
故需要修建5个增压站才能使总费用y最小.
能力提升练
一、选择题
1.D 由正方形ABCD的边长为2,可得对角线的一半为2,折成正四棱锥后,设正四棱锥的底面边长为a,高为h,则h2=2-a22-a22=2-2a(0所以正四棱锥的体积V=13a2·h=132a4-2a5.
令y=2a4-2a5(0则y'=8a3-52a4(0令y'=0,可得a=425,
易知当a=425时,正四棱锥的体积V取得最大值,此时h=105(负值舍去).所以正四棱锥底面正方形外接圆的半径r=45.
设正四棱锥外接球的半径为R,可得105-R2+452=R2,解得R=131050,
所以正四棱锥外接球的表面积为4πR2=338π125.
2.C 设汽车行驶途中总的耗油量为f(x)升.若速度为x千米/时,则时间为200x 小时,
所以f(x)=181000x3-110x+18·200x=1405x2+3600x-20(0所以f'(x)=2405x-3600x2=2x3-2×903405x2(0令f'(x)=0,得x=90.
易知当x∈(0,90)时,函数f(x)单调递减;当x∈(90,120]时,函数f(x)单调递增.
所以x=90时,函数f(x)取得最小值.
3.C 设底面半径为r,高为h,总造价为y,体积为V,所以h=Vπr2.
设单位面积铁皮的价格是a,则单位面积铝合金板的价格为3a,
则y=3πr2a+(2πrh+πr2)a=3πr2a+2πrVπr2+πr2a=a2Vr+4πr2,
所以y'=a-2Vr2+8πr.
易知当0当r>3V4π时,y'>0,函数单调递增.
所以当总造价最少时,r=3V4π,即h=232Vπ.
二、填空题
4.答案 (1)10 (2)3.3
解析 (1)当x=4时,y=21,代入函数关系式y=mx-2+4(x-6)2,得m2+16=21,解得m=10.
(2)设每日销售套题所获得的利润为f(x)千元,由(1)可知,套题每日的销售量为y=10x-2+4(x-6)2,所以f(x)=(x-2)·10x-2+4(x-6)2=10+4(x-6)2(x-2)=4x3-56x2+240x-278(2则f'(x)=12x2-112x+240.
令f'(x)=0,得x=103或x=6(舍去).
当x∈2,103时, f'(x)>0,函数f(x)单调递增;
当x∈103,6时, f'(x)<0,函数f(x)单调递减.
所以x=103是函数f(x)在区间(2,6)内的极大值点,也是最大值点,
所以当x=103≈3.3时,函数f(x)取得最大值.
故当销售价格约为3.3元/套时,网校每日销售套题所获得的利润最大.
5.答案 2
解析 设圆柱的底面半径为r,高为h,
因为圆锥的高为52-42=3,体积为13×π×42×3=16π,
所以圆柱的体积V=πr2h=16π,则h=16r2,
圆柱的表面积S=2πr2+2πrh=2π(r2+rh)=2πr2+16r,
设f(r)=r2+16r(r>0),则f'(r)=2r-16r2=2r3-16r2.令f'(r)=0,得r=2.
当02时, f'(r)>0, f(r)单调递增.
所以当r=2时, f(r)最小,从而圆柱的表面积S最小,故答案为2.
三、解答题
6.解析 (1)当1≤x<4时,y=2x1-x6-x·x6=2x-x22,
当x≥4时,y=x-3x2-3x+1x×2-3x2-3x+1x=9-x-9x,
所以所求函数关系式为y=2x-x22,1≤x<4,9-x-9x,x≥4.
(2)当1≤x<4时,y=2x-x22=-12(x-2)2+2,
所以当x=2时,y取得最大值2;
当x≥4时,y=9-x-9x,y'=-1+9x2=9-x2x2<0,
所以函数在[4,+∞)上单调递减,所以当x=4时,y取得最大值114.
又114>2,所以当日产量为4万件时可获得最大利润,最大利润为114万元.
x
0
(0,1)
1
(1,15)
15
(15,+∞)
w'
-
0
+
0
-
w
-10
↘
极小值
-32
↗
极大值
1 340
↘
x
(0,20)
20
(20,120)
y'
-
0
+
y
↘
极小值
↗