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高中数学人教版新课标A选修2-21.3导数在研究函数中的应用课时练习
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这是一份高中数学人教版新课标A选修2-21.3导数在研究函数中的应用课时练习,共11页。试卷主要包含了理解定积分的几何意义,掌握定积分的基本性质等内容,欢迎下载使用。
1.5.3 定积分的概念明目标、知重点1.了解定积分的概念,会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义.3.掌握定积分的基本性质. 定积分概念一般地,如果函数f(x)在区间a,b]上连续,用分点a=x0<x1<x2<…<xi-1<xi<…<xn=b将区间a,b]等分成n个小区间,在每个小区间xi-1,xi]上任取一点ξi(i=1,2,…,n),作和式f(ξi)Δx= f(ξi),当n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数f(x)在区间a,b]上的定积分,记作ʃf(x)dx,这里,a与b分别叫做积分下限与积分上限,区间a,b]叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式. 几何意义如果在区间a,b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0,那么定积分ʃf(x)dx表示由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积.基本性质ʃkf(x)dx=kʃf(x)dx(k为常数);ʃf1(x)±f2(x)]dx=ʃf1(x)dx±ʃf2(x)dx;ʃf(x)dx=ʃf(x)dx+ʃf(x)dx(其中a<c<b).探究点一 定积分的概念思考1 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程,找一下它们的共同点.答 两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决,都可以归结为一个特定形式和的极限.思考2 怎样正确认识定积分ʃf(x)dx?答 (1)定积分ʃf(x)dx是一个数值(极限值).它的值仅取决于被积函数与积分上、下限,另外ʃf(x)dx与积分区间a,b]息息相关,不同的积分区间,所得值也不同.(2)定积分就是和的极限(ξi)·Δx,而ʃf(x)dx只是这种极限的一种记号,读作“函数f(x)从a到b的定积分”.(3)函数f(x)在区间a,b]上连续这一条件是不能忽视的,它保证了和的极限(定积分)的存在(实际上,函数连续是定积分存在的充分条件,而不是必要条件).例1 利用定积分的定义,计算ʃx3dx的值.解 令f(x)=x3.(1)分割在区间0,1]上等间隔地插入n-1个分点,把区间0,1]等分成n个小区间,](i=1,2,…,n),每个小区间的长度为Δx=-=.(2)近似代替、求和取ξi=(i=1,2,…,n),则ʃx3dx≈Sn=f()·Δx= ()3·=i3=·n2(n+1)2=(1+)2.(3)取极限ʃx3dx=Sn= (1+)2=.反思与感悟 (1)利用定积分定义求定积分的数值仍然是“分割、近似代替、求和、取极值”这一过程,需要注意的是在本题中将近似代替、求和一起作为步骤(2),从而省略了解题步骤.(2)从过程来看,当f(x)≥0时,定积分就是区间对应曲边梯形的面积.跟踪训练1 用定义计算ʃ(1+x)dx.解 (1)分割:将区间1,2]等分成n个小区间(i=1,2,…,n),每个小区间的长度为Δx=.(2)近似代替、求和:在上取点ξi=1+(i=1,2,…,n),于是f(ξi)=1+1+=2+,从而得f(ξi)Δx=(2+)·==·n+0+1+2+…+(n-1)]=2+·=2+.(3)取极限:S= =2+=.因此ʃ(1+x)dx=.探究点二 定积分的几何意义思考1 从几何上看,如果在区间a,b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0,那么ʃf(x)dx表示什么?答 当函数f(x)≥0时,定积分ʃf(x)dx在几何上表示由直线x=a,x=b(a<b),y=0及曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积.思考2 当f(x)在区间a,b]上连续且恒有f(x)≤0时,ʃf(x)dx表示的含义是什么?若f(x)有正有负呢?答 如果在区间a,b]上,函数f(x)≤0时,那么曲边梯形位于x轴的下方(如图①).由于>0,f(ξi)≤0,故f(ξi)≤0.从而定积分ʃf(x)dx≤0,这时它等于如图①所示曲边梯形面积的相反值,即ʃf(x)dx=-S.当f(x)在区间a,b]上有正有负时,定积分ʃf(x)dx表示介于x轴、函数f(x)的图象及直线x=a,x=b(a≠b)之间各部分面积的代数和(在x轴上方的取正,在x轴下方的取负).(如图②),即ʃf(x)dx=-S1+S2-S3.例2 利用几何意义计算下列定积分:(1)ʃdx;(2)ʃ(3x+1)dx.解 (1)在平面上y=表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆,其面积为S=·π·32.由定积分的几何意义知ʃdx=π.(2)由直线x=-1,x=3,y=0,以及y=3x+1所围成的图形,如图所示:ʃ(3x+1)dx表示由直线x=-1,x=3,y=0以及y=3x+1所围成的图形在x轴上方的面积减去在x轴下方的面积,∴ʃ(3x+1)dx=×(3+)×(3×3+1)-(-+1)×2=-=16.反思与感悟 利用几何意义求定积分,关键是准确确定被积函数的图象,以及积分区间,正确利用相关的几何知识求面积.不规则的图象常用分割法求面积,注意分割点的准确确定.跟踪训练2 根据定积分的几何意义求下列定积分的值:(1)ʃxdx;(2)ʃcos xdx;(3)ʃ|x|dx.解 (1)如图(1),ʃxdx=-A1+A1=0.(2)如图(2),ʃcos xdx=A1-A2+A3=0.(3)如图(3),∵A1=A2,∴ʃ|x|dx=2A1=2×=1.(A1,A2,A3分别表示图中相应各处面积) 探究点三 定积分的性质思考1 定积分的性质可作哪些推广?答 定积分的性质的推广①ʃf1(x)±f2(x)±…±fn(x)]dx=ʃf1(x)dx±ʃf2(x)dx±…±ʃfn(x)dx;②ʃf(x)dx=ʃc1af(x)dx+ʃc2c1f(x)dx+…+ʃbcnf(x)dx(其中n∈N*).思考2 如果一个函数具有奇偶性,它的定积分有什么性质?答 奇、偶函数在区间-a,a]上的定积分①若奇函数y=f(x)的图象在-a,a]上连续不断,则ʃf(x)dx=0.②若偶函数y=g(x)的图象在-a,a]上连续不断,则ʃg(x)dx=2ʃg(x)dx.例3 计算ʃ(-x3)dx的值.解 如图, 由定积分的几何意义得ʃdx==,ʃx3dx=0,由定积分性质得ʃ(-x3)dx=ʃdx-ʃx3dx=.反思与感悟 根据定积分的性质计算定积分,可以先借助于定积分的定义或几何意义求出相关函数的定积分,再利用函数的性质、定积分的性质结合图形进行计算.跟踪训练3 已知ʃx3dx=,ʃx3dx=,ʃx2dx=,ʃx2dx=,求:(1)ʃ3x3dx;(2)ʃ6x2dx;(3)ʃ(3x2-2x3)dx.解 (1)ʃ3x3dx=3ʃx3dx=3(ʃx3dx+ʃx3dx)=3×(+)=12;(2)ʃ6x2dx=6ʃx2dx=6(ʃx2dx+ʃx2dx)=6×(+)=126;(3)ʃ(3x2-2x3)dx=ʃ3x2dx-ʃ2x3dx=3ʃx2dx-2ʃx3dx=3×-2×=7-=-.1.下列结论中成立的个数是( )①ʃx3dx=·;②ʃx3dx=·;③ʃx3dx=·.A.0 B.1 C.2 D.3答案 C解析 ②③成立.2.定积分ʃf(x)dx的大小( )A.与f(x)和积分区间a,b]有关,与ξi的取法无关B.与f(x)有关,与区间a,b]以及ξi的取法无关C.与f(x)以及ξi的取法有关,与区间a,b]无关D.与f(x)、积分区间a,b]和ξi的取法都有关答案 A3.根据定积分的几何意义,用不等号连接下列式子:①ʃxdx________ʃx2dx;②ʃdx________ʃ2dx.答案 ①> ②<4.若ʃx2dx=9,则常数T的值为________.答案 3解析 令f(x)=x2.(1)分割将区间0,T]n等分,则Δx=.(2)近似代替、求和取ξi=(i=1,2,…,n),Sn=()2·=2=(12+22+…+n2)=·=(1+)(2+).(3)取极限S= ×2==9, ∴T3=27,∴T=3.呈重点、现规律]1.定积分ʃf(x)dx是一个和式f(ξi)的极限,是一个常数.2.可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分;对于一些特殊函数,也可以利用几何意义求定积分.3.定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算.一、基础过关1.下列命题不正确的是( )A.若f(x)是连续的奇函数,则ʃf(x)dx=0B.若f(x)是连续的偶函数,则ʃf(x)dx=2ʃf(x)dxC.若f(x)在a,b]上连续且恒正,则ʃf(x)dx>0D.若f(x) 在a,b]上连续且ʃf(x)dx>0,则f(x)在a,b]上恒正 答案 D解析 对于A,f(-x)=-f(x),ʃf(x)dx=ʃf(x)dx+ʃf(x)dx=-ʃf(x)dx+ʃf(x)dx=0,同理B正确;由定积分的几何意义知,当f(x)>0时,ʃf(x)dx>0即C正确;但ʃf(x)dx>0,不一定有f(x)恒正,故选D.2.已知定积分ʃf(x)dx=8,且f(x)为偶函数,则ʃf(x)dx等于( ).A.0 B.16 C.12 D.8答案 B解析 偶函数图象关于y轴对称,故ʃf(x)dx=2ʃf(x)dx=16,故选B.3.已知ʃxdx=2,则ʃxdx等于( )A.0 B.2 C.-1 D.-2答案 D解析 ∵f(x)=x在-t,t]上是奇函数,∴ʃxdx=0.而ʃxdx=ʃxdx+ʃxdx,又ʃxdx=2,∴ʃxdx=-2.故选D.4.由曲线y=x2-4,直线x=0,x=4和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是( )A.ʃ(x2-4)dxB.C.ʃ|x2-4|dxD.ʃ(x2-4)dx+ʃ(x2-4)dx答案 C5.设a=ʃxdx,b=ʃx2dx,c=ʃx3dx,则a,b,c的大小关系是( )A.c>a>b B.a>b>cC.a=b>c D.a>c>b答案 B解析 根据定积分的几何意义,易知ʃx3dx<ʃx2dx<ʃxdx,a>b>c,故选B.6.若ʃ|56x|dx≤2 016,则正数a的最大值为( )A.6 B.56 C.36 D.2 016答案 A解析 由ʃ|56x|dx=56ʃ|x|dx≤2 016,得ʃ|x|dx≤36,∴ʃ|x|dx=2ʃxdx=a2≤36,即0<a≤6.故正数a的最大值为6.7.ln 等于( )A.ʃln2xdx B.2ʃln xdxC.2ʃln(1+x)dx D.ʃln2(1+x)dx答案 B解析 ln = ln=2 =2ʃln xdx(这里f(x)=ln x,区间1,2]或者2 =2ʃln(1+x)dx,区间0,1]).二、能力提升8.由y=sin x,x=0,x=-π,y=0所围成图形的面积写成定积分的形式是S=________.答案 -ʃsin xdx解析 由定积分的意义知,由y=sin x,x=0,x=-π,y=0围成图形的面积为S=-ʃsin xdx.9.计算定积分ʃdx=________.答案 π解析 由于ʃdx=2ʃdx表示单位圆的面积π,所以ʃdx=π.10.设f(x)是连续函数,若ʃf(x)dx=1,ʃf(x)dx=-1,则ʃf(x)dx=________.答案 -2解析 因为ʃf(x)dx=ʃf(x)dx+ʃf(x)dx,所以ʃf(x)dx=ʃf(x)dx-ʃf(x)dx=-2.11.利用定积分的定义计算ʃ(-x2+2x)dx的值,并从几何意义上解释这个值表示什么.解 令f(x)=-x2+2x.(1)分割在区间1,2]上等间隔地插入n-1个分点,把区间1,2]等分为n个小区间1+,1+](i=1,2,…,n),每个小区间的长度为Δx=-=.(2)近似代替、求和取ξi=1+(i=1,2,…,n),则Sn=f(1+)·Δx=-(1+)2+2(1+)]·=-(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(2n)2]+(n+1)+(n+2)+(n+3)+…+2n]=--]+·=-(2+)(4+)+(1+)(2+)+3+.(3)取极限ʃ(-x2+2x)dx=Sn=-(2+)(4+)+(1+)(2+)+3+]=,ʃ(-x2+2x)dx=的几何意义为由直线x=1,x=2,y=0与曲线f(x)=-x2+2x所围成的曲边梯形的面积.12.用定积分的意义求下列各式的值:(1)ʃ(2x+1)dx;(2)dx.解 (1)在平面上,f(x)=2x+1为一条直线,ʃ(2x+1)dx表示直线f(x)=2x+1,x=0,x=3与x轴围成的直角梯形OABC的面积,如图(1)所示,其面积为S=(1+7)×3=12.根据定积分的几何意义知ʃ(2x+1)dx=12.(2)由y=可知,x2+y2=1(y≥0)图象如图(2),由定积分的几何意义知dx等于圆心角为120°的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和.S弓形=×π×12-×1×1×sin π=-,S矩形=|AB|·|BC|=2××=,∴dx=-+=+.三、探究与拓展13.已知函数f(x)=,求f(x)在区间-2,2π]上的积分.解 由定积分的几何意义知ʃx3dx=0,ʃ2xdx==π2-4,ʃcos xdx=0,由定积分的性质得ʃf(x)dx=ʃx3dx+ʃ2xdx+ʃcos xdx=π2-4.
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