高中数学人教版新课标A选修2-21.4生活中的优化问题举例达标测试

§1.4　生活中的优化问题举例

[限时50分钟，满分80分]

一、选择题(每小题5分，共30分)

1．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是

解析　加速过程，路程对时间的导数逐渐变大，图象下凸；减速过程，路程对时间的导数逐渐变小，图象上凸，故选A.

答案　A

2．一种产品，已知总收益R与年产量x的关系是R(x)＝，设总利润y＝，则总利润最大时，每年生产的产品是

A．100　　　　　　　　　   B．150

C．200         D．300

解析　当0≤x≤400时，当x＝300时，y有最大值；当x＞400时，y＝80 000－100x无最大值．故选D.

答案　D

3．把长为12厘米的细铁丝锯成两断，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是

A. cm2         B．4 cm2

C．3 cm2        D．2 cm2

解析　设一个三角形的边长为x cm，

则另一个三角形的边长为(4－x)cm，

两个三角形的面积和为S＝x2＋(4－x)2＝x2－2x＋4.

令S′＝x－2＝0，则x＝2，所以Smin＝2.

答案　D

4．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)

A．32，16          B．30，15

C．40，20          D．36，18

解析　要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短．设场地宽为x米，则长为米，因此新墙总长L＝2x＋(x＞0)，则L′＝2－.令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去)．此时长为＝32(米)，可使L最短．

答案　A

5．某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)＝x2·(0＜x＜60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为

A．30          B．40

C．50          D．以上都不对

解析　V(x)＝－x3＋30x2，

∴V′(x)＝－x2＋60x＝－x(x－40)，

∴当0＜x＜40时，V′(x)＞0.

当40＜x＜60时，V′(x)＜0，

∴V(x)在(0，40)单调递增，在(40，60)单调递减，

∴x＝40是V(x)的极大值点，也是最大值点．故选B.

答案　B

6．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2，生产总成本y2(万元)也是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产

A．6千台         B．7千台

C．8千台         D．9千台

解析　产品利润为y＝y1－y2＝17x2－2x3＋x2

＝18x2－2x3(x＞0)，y′＝36x－6x2.

令y′＝0得：x＝0或x＝6(x＝0舍去)．

当0＜x＜6时，y′＞0，

当x＞6时，y′＜0，即x＝6时，y取最大值．

∴当生产6千台时，利润最大．

答案　A

二、填空题(每小题5分，共15分)

7．一房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为1 000元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加50元，就会多一套租不出去，而租出去的公寓每月需花费100元维修费，则租金定为________元时可获得最大收入．

解析　设月租金定为x元，收入为y元，

则y＝(50－)(x－100)

＝(x＝50k，0≤k≤50，k∈N)

易知当x＝1 800时，y取最大值．

答案　1 800

8．已知矩形的两个顶点A，D位于x轴上，另两个顶点B，C位于抛物线y＝4－x2在x轴上方部分，则这个矩形的面积最大时的边长分别为________．

解析　由题意，设矩形边长AD＝2x，

则AB＝4－x2，

∴矩形面积为S＝2x(4－x2)＝8x－2x3(0＜x＜2)．

∴S′＝8－6x2.

令S′＝0，解之得x1＝，x2＝－(舍去)．

当0＜x＜时，S′＞0；

当＜x＜2时，S′＜0.

∴当x＝时，S取得最大值为，

即矩形的边长分别是，时，矩形的面积最大．

答案　，

9．一列火车的锅炉每小时消耗的费用与火车行驶的速度的立方成正比，已知当速度为每小时20 km时，每小时消耗煤的价值为40元，至于其他费用每小时要200元．要使火车从甲城开往乙城时的总费用最省，则火车行驶的速度应为________ .

解析　设速度为x km/h，甲、乙之间的距离为a km，

则总费用为y＝f(x)＝(kx3＋200)

＝a(x＞0)．

∵40＝k·203＝8 000k，∴k＝，

∴y＝f(x)＝a(x＞0)，

f′(x)＝a＝，

令f′(x)＝0，则x＝10 .

∵f(x)只有一个极值点，∴此点也为最值点，

∴当火车行驶速度为10  km/h时，费用最少．

答案　10  km/h

三、解答题(本大题共3小题，共35分)

10．(10分)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下工程的费用为y万元．

(1)试写出y关于x的函数关系式；

(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？

解析　(1)设需要新建n个桥墩，(n＋1)x＝m，

即n＝－1.所以

y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x＝256＋(2＋)m

＝＋m＋2m－256，0＜x≤m.

(2)由(1)知，f′(x)＝－＋mx－＝(x－512)．

令f′(x)＝0，得x＝512，所以x＝64.

当0<x<64时，f′(x)<0，故f(x)在区间(0，64)上为减函数；

当64<x<640时，f′(x)>0，故f(x)在区间(64，640)上为增函数．

所以f(x)在x＝64处取得最小值，此时，n＝－1＝－1＝9.

故需新建9个桥墩才能使y最小．

11．(12分)统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为：y＝x3－x＋8(0＜x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．

(1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？

(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

解析　(1)当x＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了＝2.5(小时)，要耗油×2.5＝17.5(升)，

即当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．

(2)当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x)升，

依题意得h(x)＝·

＝x2＋－(0＜x≤120)，

h′(x)＝－＝(0＜x≤120)．

令h′(x)＝0，得x＝80，

当x∈(0，80)时，h′(x)＜0，h(x)是减函数；

当x∈(80，120)时，h′(x)＞0，h(x)是增函数．

∴当x＝80时，h(x)取到极小值h(80)＝11.25.

∵h(x)在(0，120]上只有一个极值，∴它是最小值．

答：当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．

12．(13分)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．

(1)求a的值；

(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

解析　(1)因为x＝5时，y＝11，

所以＋10＝11，a＝2.

(2)由(1)可知，该商品每日的销售量

y＝＋10(x－6)2.

所以商场每日销售该商品所获得的利润

f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)(x－6)2，(3＜x＜6)．

从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．

于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点．

所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.

答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．