高中数学人教版新课标A选修2-21.4生活中的优化问题举例精练

【创新设计】2016-2017学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.4 生活中的优化问题举例课时作业 新人教版选修2-2

明目标、知重点

1．了解导数在解决实际问题中的作用．

2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．

1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．

2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．

3．解决优化问题的基本思路是：

　　     →

　　　←

上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程.

情境导学]

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题？这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大(小)值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题．

探究点一　面积、体积的最值问题

思考　如何利用导数解决生活中的优化问题？

答　(1)函数建模，细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式y＝f(x)．

(2)确定定义域，一定要从问题的实际意义去考察，舍去没有实际意义的变量的范围．

(3)求最值，此处尽量使用导数法求出函数的最值．

(4)下结论，回扣题目，给出圆满的答案．

例1　学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm2，上、下两边各空2 dm，左、右两边各空1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？

解　设版心的高为x dm，则版心的宽为 dm，此时四周空白面积为

S(x)＝(x＋4)－128

＝2x＋＋8，x>0.

求导数，得

S′(x)＝2－.

令S′(x)＝2－＝0，解得x＝16(x＝－16舍去)．

于是宽为＝＝8.

当x∈(0,16)时，S′(x)<0；

当x∈(16，＋∞)时，S′(x)>0.

因此，x＝16是函数S(x)的极小值点，也是最小值点．

所以，当版心高为16 dm，宽为8 dm时，能使海报四周空白面积最小．

反思与感悟　(1)在求最值时，往往建立函数关系式，若问题中给出的量较多时，一定要通过建立各个量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的．

(2)在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．

跟踪训练1　如图所示，某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________米．

答案　32,16

解析　要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，设场地宽为x米，则长为米，

因此新墙壁总长度L＝2x＋(x>0)，则L′＝2－.

令L′＝0，得x＝±16.

∵x>0，∴x＝16.

当x＝16时，Lmin＝64，此时堆料场的长为＝32(米)．

探究点二　利润最大问题

例2　某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径．已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.则瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？

解　由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是

y＝f(r)＝0.2×πr3－0.8πr2

＝0.8π，0<r≤6.

令f′(r)＝0.8π(r2－2r)＝0.

当r＝2时，f′(r)＝0.

当r∈(0,2)时，f′(r)<0；

当r∈(2,6)时，f′(r)>0.

因此，当半径r>2时，f′(r)>0，它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；半径r<2时，f′(r)<0，它表示f(r)单调递减，即半径越大，利润越低．

∴半径为2 cm时，利润最小，这时f(2)<0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．

半径为6 cm时，利润最大．

反思与感悟　解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有：

(1)利润＝收入－成本；

(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．

跟踪训练2　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．

(1)求a的值；

(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

解　(1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，

所以a＝2.

(2)由(1)可知，该商品每日的销售量

y＝＋10(x－6)2，

所以商场每日销售该商品所获得的利润

f(x)＝(x－3)＋10(x－6)2]＝2＋10(x－3)(x－6)2,3<x<6.

从而，f′(x)＝10(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]

＝30(x－4)(x－6)．

于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．

所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.

答　当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．

探究点三　费用(用材)最省问题

例3　已知A、B两地相距200 km，一只船从A地逆水行驶到B地，水速为8 km/h，船在静水中的速度为v km/h(8<v≤v0)．若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v＝12 km/h时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？

解　设每小时的燃料费为y1，比例系数为k(k>0)，

则y1＝kv2，当v＝12时，y1＝720，

∴720＝k·122，得k＝5.

设全程燃料费为y，由题意，得

y＝y1·＝，

∴y′＝

＝.

令y′＝0，得v＝16，∴当v0≥16，

即v＝16 km/h时全程燃料费最省，ymin＝32 000(元)；

当v0<16，即v∈(8，v0]时，y′<0，

即y在(8，v0]上为减函数，

∴当v＝v0时，ymin＝(元)．

综上，当v0≥16时，v＝16 km/h全程燃料费最省，

为32 000元；

当v0<16，即v＝v0时全程燃料费最省，为元．

反思与感悟　本题在解题过程中容易忽视定义域，误以为v＝16时取得最小值．本题的关键是弄清极值点是否在定义域范围内．

跟踪训练3　现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．

(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数；

(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？

解　(1)依题意得y＝(960＋0.6x2)＝＋300x，且由题意知，函数的定义域为(0,35]，

即y＝＋300x(0<x≤35)．

(2)由(1)知，y′＝－＋300，令y′＝0，

解得x＝40或x＝－40(舍去)．

因为函数的定义域为(0,35]，所以函数在定义域内没有极值点．

又当0<x≤35时，y′<0，

所以y＝＋300x在(0,35]上单调递减，

故当x＝35时，函数y＝＋300x取得最小值．

故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/时的速度行驶．

1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为(　　)

A．4  B．6  C．4.5  D．8

答案　A

解析　设底面边长为x，高为h，

则V(x)＝x2·h＝256，∴h＝，

∴S(x)＝x2＋4xh＝x2＋4x·＝x2＋，

∴S′(x)＝2x－.

令S′(x)＝0，解得x＝8，∴h＝＝4.

2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x的取值为(　　)

A．0.016 2   B．0.032 4

C．0.024 3   D．0.048 6

答案　B

解析　依题意，得存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.048 6kx2，其中x∈(0,0.048 6)．

所以银行的收益是y＝0.048 6kx2－kx3(0<x<0.048 6)，则y′＝0.097 2kx－3kx2(0<x<0.048 6)．

令y′＝0，得x＝0.032 4或x＝0(舍去)．

当0<x<0.032 4时，y′>0；

当0.032 4<x<0.048 6时，y′<0.

所以当x＝0.032 4时，y取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益．

3．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝x3－x＋8(0<x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

解　当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x)升，

依题意得h(x)＝×

＝x2＋－(0<x≤120)，

h′(x)＝－＝(0<x≤120)．

令h′(x)＝0，得x＝80.

因为x∈(0,80)时，h′(x)<0，h(x)是减函数；

x∈(80,120]时，h′(x)>0，h(x)是增函数，

所以当x＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11.25(升)．

因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．

答　汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．

呈重点、现规律]

正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解应用题的主要思路．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确给出函数表达式；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用.

一、基础过关

1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是(　　)

A．8  B.  C．－1  D．－8

答案　C

解析　原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，

所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.

2．设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时底面边长为(　　)

A.  B.  C.  D．2

答案　C

解析　设底面边长为x，

则表面积S＝x2＋V(x>0)．

∴S′＝(x3－4V)．

令S′＝0，得x＝.

3．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为(　　)

A.3π   B.3π

C.3π   D.3π

答案　A

解析　设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，

则4r＋2h＝l，

∴h＝，

V＝πr2h＝πr2－2πr3.

则V′＝lπr－6πr2，

令V′＝0，得r＝0或r＝，而r>0，

∴r＝是其唯一的极值点．

∴当r＝时，V取得最大值，最大值为3π.

4．用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为(　　)

A．120 000 cm3   B．128 000 cm3

C．150 000 cm3   D．158 000 cm3

答案　B

解析　设水箱底边长为x cm，则水箱高h＝60－(cm)．

水箱容积V＝V(x)＝x2h＝60x2－ (cm3)(0<x<120)．

V′(x)＝120x－x2.

令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝80.

可判断得x＝80 (cm)时，V取最大值为128 000 cm3.

5．某公司生产一种产品， 固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是(　　)

A．150  B．200  C．250  D．300

答案　D

解析　由题意得，总利润

P(x)＝

令P′(x)＝0，得x＝300，故选D.

二、能力提升

6.为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长为a米，高为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a＝________，b＝________时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计)．

答案　6　3

解析　设y为流出的水中杂质的质量分数，则y＝，其中k(k>0)为比例系数．

依题意，即所求的a，b值使y值最小，根据题设，4b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)得b＝(0<a<30)．

于是y＝＝＝.

令y′＝＝0，

得a＝6或a＝－10(舍去)．

∵本题只有一个极值点，∴此极值点即为最值点．

当a＝6时，b＝3，即当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．

7．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自摆成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是(　　)

A. cm2   B．4  cm2

C．3 cm2   D．2 cm2

答案　D

解析　设一个正三角形的边长为x cm，则另一个正三角形的边长为(4－x)cm，则这两个正三角形的面积之和为S＝x2＋(4－x)2＝(x－2)2＋4]≥2(cm2)，故选D.

8．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．

答案　3

解析　设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则V＝πR2L＝27π，∴L＝，要使用料最省，只须使圆柱表面积最小，由题意，S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋2π·，

∴S′(R)＝2πR－＝0，∴R＝3，

则当R＝3时，S表最小．

9.如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？

解　设广告的高和宽分别为x cm，y cm，则每栏的高和宽分别为x－20，，其中x>20，y>25.

两栏面积之和为2(x－20)·＝18 000，

由此得y＝＋25.

广告的面积S＝xy＝x(＋25)＝＋25x.

∴S′＝＋25＝＋25.

令S′>0得x>140，

令S′<0得20<x<140.

∴函数在(140，＋∞)上单调递增，在(20,140)上单调递减，

∴S(x)的最小值为S(140)．

当x＝140时，y＝175.

即当x＝140，y＝175时，S取得最小值24 500，

故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，

可使广告的面积最小．

10．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．

(1)试写出y关于x的函数关系式；

(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？

解　(1)设需新建n个桥墩，

则(n＋1)x＝m，即n＝－1.

所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x

＝256＋(2＋)x

＝＋m＋2m－256.

(2)由(1)知，f′(x)＝－＋mx－

＝(x－512)．

令f′(x)＝0，得x＝512，所以x＝64.

当0<x<64时，f′(x)<0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；

当64<x<640时，f′(x)>0，f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以f(x)在x＝64处取得最小值．

此时n＝－1＝－1＝9.

故需新建9个桥墩才能使y最小．

11．一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为100 km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？

解　设速度为x km/h，甲、乙两城距离为a km.

则总费用f(x)＝(kx3＋200)·＝a(kx2＋)．

由已知条件，得40＝k·203，∴k＝，

∴f(x)＝a(x2＋)．

令f′(x)＝＝0，

得x＝10.

当0<x<10时，f′(x)<0；

当10<x<100时，f′(x)>0.

∴当x＝10时，f(x)有最小值，

即速度为10 km/h时，总费用最少．

三、探究与拓展

12．某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y千元．

(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；

(2)求该容器的建造费用最小时的r.

解　(1)设容器的容积为V，

由题意知V＝πr2l＋πr3，又V＝，

故l＝＝－r＝(－r)．

由于l≥2r，因此0<r≤2.

所以建造费用y＝2πrl×3＋4πr2c

＝2πr×(－r)×3＋4πr2c，

因此y＝4π(c－2)r2＋，0<r≤2.

(2)由(1)得y′＝8π(c－2)r－

＝(r3－)，0<r≤2.

由于c>3，所以c－2>0.

当r3－＝0时，r＝ .

令 ＝m，则m>0，

所以y′＝(r－m)(r2＋rm＋m2)．

①当0<m<2，即c>时，

令y′＝0，得r＝m.

当r∈(0，m)时，y′<0；

当r∈(m,2]时，y′>0，

所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点．

②当m≥2，即3<c≤时，

当r∈(0,2]时，y′≤0，函数单调递减，

所以r＝2是函数y的最小值点．

综上所述，当3<c≤时，

建造费用最小时r＝2；

当c>时，建造费用最小时r＝ .