高中数学人教版新课标A选修1-22.2直接证明与间接证明巩固练习

学业分层测评

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是(　　)

A．有两个内角是钝角

B．有三个内角是钝角

C．至少有两个内角是钝角

D．没有一个内角是钝角

【解析】　“最多有一个”的反设是“至少有两个”，故选C.

【答案】　C

2．下列命题错误的是(　　)

A．三角形中至少有一个内角不小于60°

B．四面体的三组对棱都是异面直线

C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点

D．设a，b∈Z，若a，b中至少有一个为奇数，则a＋b是奇数

【解析】　a＋b为奇数⇔a，b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误．

【答案】　D

3．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为(　　)

【导学号：19220029】

A．a，b，c都是奇数

B．a，b，c都是偶数

C．a，b，c中至少有两个偶数

D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数

【解析】　自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数．所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．

【答案】　D

4．设x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数(　　)

A．至少有一个不大于2

B．都小于2

C．至少有一个不小于2

D．都大于2

【解析】　若a，b，c都小于2，则a＋b＋c<6，①

而a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6，②

显然①，②矛盾，所以C正确．

【答案】　C

5．(2016·温州高二检测)用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①A＋B＋C＝90°＋90°＋C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A＝B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A，B，C中有两个直角，不妨设A＝B＝90°，正确顺序的序号为(　　)

A．①②③　 B．①③②

C．②③① D．③①②

【解析】　根据反证法的步骤，应该是先提出假设，再推出矛盾，最后否定假设，从而肯定结论．

【答案】　D

二、填空题

6．(2016·南昌高二检测)命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是__________________．

【解析】　“至少有一个”的否定是“没有一个”．

【答案】　任意多面体的面没有一个是三角形或四边形或五边形

7．(2016·汕头高二检测)用反证法证明命题“如果a>b，那么>”时，假设的内容应是________．

【解析】　与的关系有三种情况：>，＝和<，所以“>”的反设应为“＝或<”．

【答案】　＝或<

8．(2016·石家庄高二检测)设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2.

其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．

【解析】　若a＝，b＝，则a＋b＝1，但a<1，b<1，故①不能推出．若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②不能推出．

若a＝－2，b＝1，则a2＋b2>2，故④不能推出．

对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1.

反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.

【答案】　③

三、解答题

9．已知x∈R，a＝x2＋，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明：a，b，c至少有一个不小于1.

【导学号：19220030】

【证明】　假设a，b，c均小于1，即a<1，b<1，c<1，则有a＋b＋c<3.

而与a＋b＋c＝2x2－2x＋＋3＝22＋3≥3矛盾，故假设不成立，即a，b，c至少有一个不小于1.

10．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证： ， ， 不成等差数列．

【证明】　假设， ， 成等差数列，则＋＝2，两边同时平方得a＋c＋2＝4b.

把b2＝ac代入a＋c＋2＝4b，可得a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列，这与a，b，c不成等差数列矛盾．

所以， ， 不成等差数列．

[能力提升]

1．有以下结论：

①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；

②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.

下列说法中正确的是(　　)

A．①与②的假设都错误

B．①与②的假设都正确

C．①的假设正确；②的假设错误

D．①的假设错误；②的假设正确

【解析】　用反证法证题时一定要将对立面找准．在①中应假设p＋q>2，故①的假设是错误的，而②的假设是正确的．

【答案】　D

2．已知命题“在△ABC中，A≠B.求证sin A≠sin B”．若用反证法证明，得出的矛盾是(　　)

A．与已知条件矛盾

B．与三角形内角和定理矛盾

C．与已知条件矛盾且与三角形内角和定理矛盾

D．与大边对大角定理矛盾

【解析】　证明过程如下：假设sin A＝sin B，因为0<A<π，0<B<π，所以A＝B或A＋B＝π.其中A＝B与A≠B矛盾；A＋B＝π与三角形内角和定理矛盾，所以假设不成立．所以sin A≠sin B.

【答案】　C

3．(2016·九江高二检测)有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是________．

【解析】　因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说的对，同时甲、乙中只有一人说的对，假设乙说的对，这样丙就说的错，丁就说的对，也就是甲也说的对，与甲说的错矛盾，所以乙说的错，从而知甲、丙说的对，所以丙为获奖歌手．

【答案】　丙

4．(2016·温州高二检测)设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明：数列{cn}不是等比数列．

【证明】　假设数列{cn}是等比数列，则

(an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)(an＋1＋bn＋1)．①

因为{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p，q，

所以a＝an－1an＋1，b＝bn－1bn＋1.

代入①并整理，得

2anbn＝an＋1bn－1＋an－1bn＋1

＝anbn，

即2＝＋.②

当p，q异号时，＋<0，与②相矛盾；

当p，q同号时，由于p≠q，

所以＋>2，与②相矛盾．

故数列{cn}不是等比数列．