高中人教版新课标A3.2导数的计算课后作业题

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课时自测·当堂达标

1.函数f(x)=x3+ax2+3x-9,已知f(x)在x=-3时取得极值,则a等于　(　　)

A.2    B.3    C.4    D.5

【解析】选D.因为f′(x)=3x2+2ax+3,所以f′(-3)=0,

即3×(-3)2-6a+3=0,解得a=5.

2.函数f(x)=x2+x+2的极小值是　(　　)

A.-　　　　  B.2　　　　  C.　　　  　 D. 4

【解析】选C.f′(x)=2x+1,令f′(x)=0,解得x=-,当x∈时函数单调递减,当x∈时函数单调递增,因此x=-是函数的极小值点,极小值为f=.

3.已知曲线f(x)=x3+ax2+bx+1在点(1,f(1))处的切线斜率为3,且x=是y=f(x)的极值点,则a+b=　　　　.

【解析】由题意f′(1)=3,

f′=0,

而f′(x)=3x2+2ax+b,

所以

解得

所以a+b=-2.

答案:-2

4.若函数y=-x3+6x2+m的极大值等于13,则实数m等于　　　　.

【解析】y′=-3x2+12x,由y′=0,得x=0或x=4,容易得出当x=4时函数取得极大值,所以-43+6×42+m=13,解得m=-19.

答案:-19

5.已知函数f(x)=ax2+blnx在x=1处有极值.

(1)求a,b的值.

(2)判断函数f(x)的单调区间,并求极值.

【解析】(1)因为f(x)=ax2+blnx,

所以f′(x)=2ax+.

又函数f(x)在x=1处有极值.

故即

可得a=,b=-1.

(2)由(1)可知f(x)=x2-lnx.

其定义域为(0,+∞).

且f′(x)=x-=.

令f′(x)=0,则x=-1(舍去)或x=1.

当x变化时,f′(x), f(x)的变化情况如表:

所以函数f(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞),且函数在定义域上只有极小值f(1)=,而无极大值.

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