人教版新课标A选修1-1第三章 导数及其应用3.4生活中的优化问题举例课时作业

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课时自测·当堂达标

1.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数解析式为y=-x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为　(　　)

A.13万件      B.11万件

C.9万件      D.7万件

【解析】选C.因为y′=-x2+81,

所以当x∈(9,+∞)时,y′<0;

当x∈(0,9)时,y′>0,

所以函数y=-x3+81x-234在(9,+∞)上单调递减,在(0,9)上单调递增,

所以x=9是函数的极大值点.

又因为函数在(0,+∞)上只有一个极大值点,

所以函数在x=9处取得最大值.

2.在某城市的发展过程中,交通状况逐渐受到更多的关注,据有关统计数据显示,从上午6时到9时,车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用函数表示为:y=-t3-t2+36t-,则在这段时间内,通过该路段用时最多的时刻是　(　　)

A.6时    B.7时    C.8时    D.9时

【解析】选C.y′=-t2-t+36=-(t+12)(t-8),令y′=0,得t=-12(舍去)或t=8,当6≤t<8时, y′>0,当8<t≤9时,y′<0,所以当t=8时,y有最大值.

3.把长为60m的铁丝围成矩形,当长为　　　m,宽为　　　m时,矩形的面积最大.

【解析】设矩形的长为xm,则宽为(30-x)m,

矩形面积S=30x-x2(0<x<30),

由S′=30-2x=0,得x=15,易知x=15时,S取得最大值.

答案:15　15

4.某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)=x2(0<x<60),则当箱子的容积最大时,箱子的底面边长为　　　　.

【解析】V(x)=,V′(x)=-x2+60x.

令V′(x)=0,得x=40或x=0 (舍去).

因为0<x<40时,V′(x)>0;

40<x<60时,V′(x)<0,

所以x=40时,V(x)最大.

答案:40

5.某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为x,y(单位:m)的矩形,上部是等腰直角三角形,要求框架围成的总面积为8m2,问x,y分别为多少时用料最省?(精确到0.001m)

【解析】依题意,有xy+·x·=8,

所以y==-(0<x<4),

于是框架用料长度为l=2x+2y+2

=x+.

l′=+-.

令l′=0,即+-=0,

解得x1=8-4,x2=4-8(舍去).

当0<x<8-4时,l′<0;当8-4<x<4时,l′>0,所以当x=8-4时,l取得最小值.

此时,x=8-4≈2.343,y≈2.828.

即当x为2.343m,y为2.828m时,用料最省.

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