数学选修1-13.1变化率与导数当堂达标检测题

3.1.3　导数的几何意义

课时目标　1.了解导函数的概念；理解导数的几何意义.2.会求导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．

1．导数f′(x0)表示函数____________________，反映了

________________________________________．

2．函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线在该点的切线斜率，相应地，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．

3．如果把y＝f(x)看做是物体的运动方程，那么导数f′(x0)表示运动物体在时刻x0的瞬时速度．

当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数．这样，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，称它为f(x)的________(简称________)，有时记作y′，即f′(x)＝y′＝________________.

一、选择题

1．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则A处的切线斜率等于(　　)

A．2                      B．4

C．6＋6Δx＋2(Δx)2          D．6

2．如果曲线y＝f(x)在点(2,3)处的切线过点(－1,2)，则有(　　)

A．f′(2)<0                B．f′(2)＝0

C．f′(2)>0                D．f′(2)不存在

3．下面说法正确的是(　　)

A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线

B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在

C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在

D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在

4．若曲线y＝h(x)在点P(a，h(a))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，那么        (　　)

A．h′(a)＝0               B．h′(a)<0

C．h′(a)>0                D．h′(a)不确定

5．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(　　)

A．不存在                  B．与x轴平行或重合

C．与x轴垂直              D．与x轴相交但不垂直

6．已知函数f(x)的图象如图所示，下列数值的排序正确的是               (　　)

A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)

B．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)

C．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2)

D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)

二、填空题

7．设f(x)是偶函数，若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1，则该曲线在点(－1，f(－1))处的切线的斜率为________．

8．过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是________．

9．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.

三、解答题

10．试求过点P(1，－3)且与曲线y＝x2相切的直线的斜率．

11．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1 (a<0)．若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．

能力提升

12．已知抛物线f(x)＝ax2＋bx－7通过点(1,1)，且过此点的切线方程为4x－y－3＝0，求a，b的值．

13．在曲线E：y＝x2上求出满足下列条件的点P的坐标．

(1)在点P处与曲线E相切且平行于直线y＝4x－5；

(2)在点P处与曲线E相切且与x轴成135°的倾斜角．

1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即

k＝＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．

2．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值，求函数在一点处的导数，一般先求出函数的导数，再计算这一点处的导数值．

3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则切线方程为y－f(x0)＝f′(x0) (x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．

3．1.3　导数的几何意义

答案

知识梳理

1．f(x)在x＝x0处的瞬时变化率　函数f(x)在x＝x0附近的变化情况

3．导函数  导数   

作业设计

1．D　[∵y＝2x3，

∴y′＝ ＝

＝

＝ [2(Δx)2＋6xΔx＋6x2]＝6x2.

∴y′|x＝1＝6.∴点A(1,2)处切线的斜率为6.]

2．C　[由题意知切线过(2,3)，(－1,2)，

所以k＝f′(2)＝＝＝>0.]

3．C　[f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率．]

4．B　[2x＋y＋1＝0，得y＝－2x－1，

由导数的几何意义知，h′(a)＝－2<0.]

5．B　[曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率为0，切线与x轴平行或重合．]

6．B　[根据导数的几何意义，在x∈[2,3]时，

曲线上x＝2处切线斜率最大，

k＝＝f(3)－f(2)>f′(3)．]

7．－1

解析　由偶函数的图象和性质可知应为－1.

8．2x－y＋4＝0

解析　由题意知，Δy＝3(1＋Δx)2－4(1＋Δx)＋2－3＋4－2＝3Δx2＋2Δx，

∴y′＝ ＝2.

∴所求直线的斜率k＝2.

则直线方程为y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0.

9．2

解析　∵点P在切线上，∴f(5)＝－5＋8＝3，

又∵f′(5)＝k＝－1，

∴f(5)＋f′(5)＝3－1＝2.

10．解　设切点坐标为(x0，y0)，则有y0＝x.

因y′＝＝＝2x.

∴k＝y′|x＝x0＝2x0.

因切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，

将点(1，－3)代入，得：－3－x＝2x0－2x，

∴x－2x0－3＝0，∴x0＝－1或x0＝3.

当x0＝－1时，k＝－2；当x0＝3时，k＝6.

∴所求直线的斜率为－2或6.

11．解　∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)

＝(x0＋Δx)3＋a(x0＋Δx)2－9(x0＋Δx)－1－(x＋ax－9x0－1)

＝(3x＋2ax0－9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)2＋(Δx)3，

∴＝3x＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2.

当Δx无限趋近于零时，无限趋近于3x＋2ax0－9.即f′(x0)＝3x＋2ax0－9.

∴f′(x0)＝32－9－.

当x0＝－时，f′(x0)取最小值－9－.

∵斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，

∴该切线斜率为－12.

∴－9－＝－12.解得a＝±3.

又a<0，∴a＝－3.

12．解　f′(x) ＝

＝  (a·Δx＋2ax＋b)＝2ax＋b.

由已知可得，解得a＝－4，b＝12.

13．解　f′(x) ＝

＝ ＝2x，

设P(x0，y0)为所求的点，

(1)因为切线与直线y＝4x－5平行，

所以2x0＝4，x0＝2，y0＝4，即P(2,4)．

(2)因为切线与x轴成135°的倾斜角，

所以其斜率为－1，即2x0＝－1，

得x0＝－，即y0＝，即P.