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选修1-13.2导数的计算综合训练题
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这是一份选修1-13.2导数的计算综合训练题,共5页。
§3.3导数在研究函数中的应用3.3.1 函数的单调性与导数 课时目标 掌握导数与函数单调性之间的关系,会利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间. 1.函数的单调性与其导函数的关系:在某个区间(a,b)内,如果__________,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果________,那么函数y=f(x)在这个区间内______________;如果恒有__________,那么函数f(x)在这个区间内为常函数.2.一般地,如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内____________,这时,函数的图象就比较“________”;反之,函数的图象就比较“________”.3.求函数单调区间的步骤和方法(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求导数f′(x);(3)在函数定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0;(4)确定f(x)的单调区间.一、选择题1.命题甲:对任意x∈(a,b),有f′(x)>0;命题乙:f(x)在(a,b)内是单调递增的.则甲是乙的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.若在区间(a,b)内,f′(x)>0,且f(a)≥0,则在(a,b)内有( )A.f(x)>0 B.f(x)<0C.f(x)=0 D.不能确定3.下列函数中,在(0,+∞)内为增函数的是( )A.sin x B.xexC.x3-x D.ln x-x4.函数f(x)=2x-sin x在(-∞,+∞)上是( )A.增函数 B.减函数C.先增后减 D.不确定5.定义在R上的函数f(x),若(x-1)·f′(x)<0,则下列各项正确的是( )A.f(0)+f(2)>2f(1)B.f(0)+f(2)=2f(1)C.f(0)+f(2)<2f(1)D.f(0)+f(2)与2f(1)大小不定6.函数y=ax-ln x在(,+∞)内单调递增,则a的取值范围为( )A.(-∞,0]∪[2,+∞) B.(-∞,0]C.[2,+∞) D.(-∞,2]题 号123456答 案 二、填空题7.函数f(x)=x3-15x2-33x+6的单调减区间是____________.8.已知f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数,则a的取值范围为________.9.使y=sin x+ax在R上是增函数的a的取值范围为____________.三、解答题10.求函数f(x)=2x2-ln x的单调区间. 11.(1)已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的单调减区间为[-1,2],求b,c的值.(2)设f(x)=ax3+x恰好有三个单调区间,求实数a的取值范围. 能力提升12.判断函数f(x)=(a+1)ln x+ax2+1的单调性. 13.已知函数f(x)=x3-ax-1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增,求实数a的取值范围;(2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由. 1.利用导数的正负与函数单调性的关系可以求函数的单调区间;在求函数单调区间时,只能在定义域内讨论导数的符号.2.根据函数单调性可以求某些参数的范围. §3.3 导数在研究函数中的应用3.3.1 函数的单调性与导数答案知识梳理1.f′(x)>0 f′(x)<0 单调递减 f′(x)=02.变化得快 陡峭 平缓作业设计1.A [f(x)=x3在(-1,1)内是单调递增的,但f′(x)=3x2≥0(-1<x<1),故甲是乙的充分不必要条件.]2.A [因为f(x)在(a,b)上为增函数,∴f(x)>f(a)≥0.]3.B [A中,y′=cos x,当x>0时,y′的符号不确定;B中,y′=ex+xex=(x+1)ex,当x>0时,y′>0,故在(0,+∞)内为增函数;C中:y′=3x2-1,当x>0时,y′>-1;D中,y′=-1,当x>0时,y′>-1.]4.A [f′(x)=2-cos x,∵cos x≤1,∴f′(x)>0,∴f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.]5.C [当x>1时,f′(x)<0,f(x)是减函数,∴f(1)>f(2).当x<1时,f′(x)>0,f(x)是增函数,∴f(0)<f(1).因此f(0)+f(2)<2f(1).]6.C [∵y′=a-,函数y=ax-ln x在内单调递增,∴函数在(,+∞)上y′≥0,即a-≥0,∴a≥.由x>得<2,要使a≥恒成立,只需a≥2.]7.(-1,11)解析 ∵f′(x)=3x2-30x-33=3(x+1)(x-11).由f′(x)<0,得-1<x<11,∴f(x)的单减区间为(-1,11).8.(-∞,-3]解析 f′(x)=3ax2+6x-1≤0恒成立⇔,即,∴a≤-3.9.[1,+∞)解析 ∵f′(x)=cos x+a≥0,∴a≥-cos x,又-1≤cos x≤1,∴a≥1.10.解 由题设知函数f(x)的定义域为(0,+∞).f′(x)=4x-=,由f′(x)>0,得x>,由f′(x)<0,得0<x<,∴函数f(x)=2x2-ln x的单调增区间为,单调减区间为.11.解 (1)∵函数f(x)的导函数f′(x)=3x2+2bx+c,由题设知-1<x<2是不等式3x2+2bx+c<0的解集.∴-1,2是方程3x2+2bx+c=0的两个实根,∴-1+2=-b,(-1)×2=,即b=-,c=-6.(2)∵f′(x)=3ax2+1,且f(x)有三个单调区间,∴方程f′(x)=3ax2+1=0有两个不等的实根,∴Δ=02-4×1×3a>0,∴a<0.∴a的取值范围为(-∞,0).12.解 由题意知f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=+2ax=.①当a≥0时,f′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增.②当a≤-1时,f′(x)<0,故f(x)在(0,+∞)上单调递减.③当-1<a<0时,令f′(x)=0,解得x=,则当x∈时,f′(x)>0;当x∈时,f′(x)<0.故f(x)在上单调递增,在上单调递减.综上,当a≥0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a≤-1时,f(x)在(0,+∞)上单调递减;当-1<a<0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减.13.解 (1)由已知,得f′(x)=3x2-a.因为f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数,所以f′(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)上恒成立,即a≤3x2对x∈(-∞,+∞)恒成立.因为3x2≥0,所以只需a≤0.又a=0时,f′(x)=3x2≥0,f(x)在实数集R上单调递增,所以a≤0.(2)假设f′(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立,则a≥3x2在x∈(-1,1)时恒成立.因为-1<x<1,所以3x2<3,所以只需a≥3.当a=3时,在x∈(-1,1)上,f′(x)=3(x2-1)<0,即f(x)在(-1,1)上为减函数,所以a≥3.故存在实数a≥3,使f(x)在(-1,1)上单调递减.
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