数学必修21.3 空间几何体的表面积与体积达标测试

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课后提升作业 五

柱体、锥体、台体的表面积与体积

 (45分钟　70分)

一、选择题(每小题5分，共40分)

1.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为

(　　)

A.　　　  B.π+　　　  C.+　　　  D.+

【解析】选C.由三视图可知该几何体为一个半圆锥，底面半径为1，高为，所以表面积S=×2×+×π×12+×π×1×2=+.

2.(2016·北京高考)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为　(　　)

A.    B.    C.    D.1

【解析】选A.通过三视图可还原几何体为如图所示的三棱锥,则通过侧视图得高h=1,底面积S=×1×1=,所以体积V=Sh=.

3.(2016·太原高一检测)如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF=2，动点Q在棱D′C′上，则三棱锥A′-EFQ的体积　(　　)

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A.与点E，F的位置有关

B.与点Q的位置有关

C.与点E，F，Q的位置都有关

D.与点E，F，Q的位置均无关，是定值

【解析】选D.VA′-EFQ=VQ-A′EF=××EF×AA′×A′D′，所以其体积为定值，与点E，F，Q的位置均无关.

4.(2016·邯郸高二检测)已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是　(　　)

A.16    B.24    C.32    D.48

【解析】选D.由三视图知，该几何体是一个四棱锥E-ABCD，底面ABCD是一个直角梯形，各边长如图所示，BC⊥AB，EB⊥底面ABCD，AB=6，所以由棱锥的体积公式得，V=××(6+2)×6×6=48.

5.(2016·山东高考)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为　(　　)

A.+π       B.+π

C.+π       D.1+π

【解析】选C.由三视图可知,半球的半径为,四棱锥底面正方形边长为1,高为1,所以该组合体的体积=π·×+×1×1×1=+π.

6.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是　(　　)

A.8-π　　  B.8-π　　  C.8-2π　　  D.π

【解析】选A.这个几何体是一个棱长为2的正方体中挖去一个圆锥，这个圆锥的高为2，底面半径为1，故这个几何体体积为23-π×12×2=8-π.

【延伸探究】本题条件不变，求该几何体的表面积.

【解析】这个几何体是一个棱长为2的正方体中挖去一个圆锥，这个圆锥的高为2，底面半径为1，可求得圆锥的母线l==.所以该几何体的表面积为S表=5×22+22-π×12+π×1×

=24-π+π=24+(-1)π.

7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为　(　　)

A.180    B.200    C.220    D.240

【解析】选D.由三视图可知该几何体为底面为梯形的直四棱柱.底面积为2××(8+2)×4=40，由三视图知，梯形的腰为=5，梯形的周长为8+2+5+5=20，所以四棱柱的侧面积为20×10=200，表面积为240.

8.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为　(　　)

A.10+       B.10+

C.6+2+      D.6++

【解析】选C.由三视图知四边形ABCD为直角梯形，其面积为S1==3.三角形PAB为直角三角形，其面积为S2=×2×1=1.

三角形PAD面积为S3=×2×2=2，PD=2，

三角形PDC面积为S4=×2×2=2.

又PB=BC=，PC=2，作BE⊥PC于E，

则BE===，

所以三角形PBC的面积为S5=×2×=，

故表面积为S=S1+S2+S3+S4+S5=6+2+.

二、填空题(每小题5分，共10分)

9.(2016·宁波高二检测)若如图为某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去一部分后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，则其正视图的面积为________，三棱锥D-BCE的体积为________.

【解析】根据题意分析可知，正视图为两条直角边分别是2，4的直角三角形，所以S=×2×4=4，

VD-BCE=VB-DCE=××4×2×2=.

答案：4　

10.(2015·天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.

【解析】由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为1，高为2的圆柱，两端是底面半径为1，高为1的圆锥，所以该几何体的体积V=12×π×2+2××12×π×1=π(m3).

答案：π

三、解答题(每小题10分，共20分)

11.(2016·郑州高二检测)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，

(1)求此几何体的表面积.

(2)求此几何体的体积.

【解析】(1)由题意知，该几何体是一个组合体，上边是长方体，长为4cm，宽为4cm，高为2cm，下边是一个四棱台，上底边长为4cm，下底边长为8cm，高是3cm，四棱台的斜高为=，则该几何体的表面积S=4×4+4×2×4+8×8+(4+8)×÷2×4=(112+24)cm2.

(2)该几何体的体积V=4×4×2+(42+82+4×8)×3=144(cm3).

12.如图所示，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥D′-A′DC，求棱锥D′-A′DC的体积与剩余部分的体积之比.

【解析】设AB=a，AD=b，DD′=c，

则长方体ABCD-A′B′C′D′的体积V=abc，因为V三棱锥D′-A′DC=V三棱锥C-A′DD′，

又S△A′DD′=bc，且三棱锥C-A′DD′的高为CD=a.

所以V三棱锥C-A′DD′=S△A′DD′·CD=abc.

则剩余部分几何体的体积V剩=abc-abc=abc.

故V三棱锥D′-A′DC∶V剩=abc∶abc=1∶5.

　【一题多解】已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADD′A′-

BCC′B′，设它的底面ADD′A′面积为S，高为h，则它的体积为V=Sh.因为

V三棱锥D′-A′DC=V三棱锥C-A′DD′，

而棱锥C-A′DD′的底面面积为S，高为h，

因此棱锥C-A′DD′的体积VC-A′DD′=×Sh=Sh.余下的体积是Sh-Sh=Sh.

所以棱锥C-A′DD′，即棱锥D′-A′DC的体积与剩余部分的体积之比为Sh∶Sh=1∶5.

【能力挑战题】

如图，正三棱锥O-ABC的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积.

【解析】由已知条件可知，正三棱锥O-ABC的底面△ABC是边长为2的正三角形，

经计算得底面△ABC的面积为.

所以该三棱锥的体积为××1=.

设O′是正三角形ABC的中心.

由正三棱锥的性质可知，OO′⊥平面ABC.

延长AO′交BC于D，连接OD，得AD=，O′D=.

又因为OO′=1，所以正三棱锥的斜高OD=.

故侧面积为3××2×=2.

所以该三棱锥的表面积为+2=3，

因此，所求三棱锥的体积为，表面积为3.

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