人教版新课标A必修2第一章 空间几何体1.3 空间几何体的表面积与体积教案及反思

1．3　空间几何体的表面积与体积

1.3.1　柱体、锥体、台体的表面积与体积

Q

北京奥运会结束后，国家对体育场馆都进行了改造，从专业比赛场馆逐步成为公众观光、健身的综合性体育场馆，国家游泳中心也完成了上述变身，新增了内部开放面积，并建成了大型的水上乐园．经营方出于多种考虑，近几年内“水立方”外墙暂不承接商业化广告，但出于长远考虑，决定为水立方外墙订制特殊显示屏，届时“水立方”将重新焕发活力，大放异彩．能否计算出“水立方”外墙所用显示屏的面积？

X

1．柱体的表面积

(1)侧面展开图：棱柱的侧面展开图是__平行四边形__，一边是棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的__底面周长__，如图①所示；圆柱的侧面展开图是__矩形__，其中一边是圆柱的母线，另一边等于圆柱的底面周长，如图②所示．

(2)面积：柱体的表面积S表＝S侧＋2S底．特别地，圆柱的底面半径为r，母线长为l，则圆柱的侧面积S侧＝__2πrl__，表面积S表＝__2πr(r＋l)__．

[归纳总结]　表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小，常把多面体展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积，侧面积是指侧面的面积，与表面积不同．一般地，表面积＝侧面积＋底面积．

2．锥体的表面积

(1)侧面展开图：棱锥的侧面展开图是由若干个__三角形__拼成的，则侧面积为各个三角形面积的__和__，如图①所示；圆锥的侧面展开图是__扇形__，扇形的半径是圆锥的__母线__，扇形的弧长等于圆锥的__底面周长__，如图②所示．

(2)面积：锥体的表面积S表＝S侧＋S底．特别地，圆锥的底面半径为r，母线长为l，则圆锥的侧面积S侧＝__πrl__，表面积S表＝__πr(l＋r)__．

3．台体的表面积

(1)侧面展开图：棱台的侧面展开图是由若干个__梯形__拼接而成的，则侧面积为各个梯形面积的__和__，如图①所示；圆台的侧面展开图是扇环，其侧面积可由大扇形的面积减去小扇形的面积而得到，如图②所示．

(2)面积：台体的表面积S表＝S侧＋S上底＋S下底．特别地，圆台的上、下底面半径分别为r′，r，母线长为l，则侧面积S侧＝__π(r＋r′)l__，表面积S表＝__π(r2＋r′2＋rl＋r′l)__．

4．柱体的体积

(1)棱柱(圆柱)的高是指__两底面__之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这个点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离．

(2)柱体的底面积S，高为h，其体积V＝__Sh__.特别地，圆柱的底面半径为r，高为h，其体积V＝__πr2h__．

5．锥体的体积

(1)棱锥(圆锥)的高是指从顶点向底面作垂线，__顶点__与__垂足__(垂线与底面的交点)之间的距离．

(2)锥体的底面积为S，高为h，其体积V＝__Sh__.特别地，圆锥的底面半径为r，高为h，其体积V＝__πr2h__．

6．台体的体积

(1)圆台(棱台)的高是指__两个底面__之间的距离．

(2)台体的上、下底面面积分别是S′，S，高为h，其体积V＝__(S＋＋S′)h__.特别地，圆台的上、下底面半径分别为r，r′，高为h，其体积V＝__π(r2＋rr′＋r′2)h__．

Y

1．圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线长为6，则其表面积等于 (　C　)

A．72　　　 B．42π　　

C．67π　　 D．72π

[解析]　S表＝π(32＋42＋3×6＋4×6)＝67π．

2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 (　C　)

A．2  B．4

C．6  D．8

[解析]　由三视图可知，该几何体是一个底面是一个腰长为2的等腰直角三角形，高为3的直三棱柱．

该三棱柱的体积V＝Sh＝×2×2×3＝6.∴选C．

3．已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝____.

[解析]　设底面半径为r，则πr2×4＝4π，解得r＝，即底面半径为．

4．一个圆锥的轴截面为边长为a的正三角形，则其表面积为__πa2__.

[解析]　如图所示，圆锥的底面半径r＝，母线长l＝a，则其表面积为S表＝πr(r＋l)＝π×(＋a)＝πa2．

H

命题方向1　⇨空间几何体的表面积

典例1如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 (　C　)

A．20π　　　　　　 B．24π　　　　　　

C．28π　　　　　　 D．32π

[解析]　该几何体的表面积由圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面圆的面积组成．其中，圆锥的底面半径为2，母线长为＝4，圆柱的底面半径为2，高为4，故所求表面积S＝π×2×4＋2π×2×4＋π×22＝28π．

『规律方法』　空间几何体的表面积的求法技巧

(1)多面体的表面积是各个面的面积之和．

(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理．

(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．

〔跟踪练习1〕 

圆柱的侧面展开图是邻边长分别为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为(　C　)

A．6π(4π＋3) B．8π(3π＋1)

C．6π(4π＋3)或8π(3π＋1) D．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)

[解析]　圆柱的侧面积S侧＝6π×4π＝24π2.由于圆柱的底面周长和母线长不明确，因此进行分类讨论：

①长为6π的边为母线时，4π为圆柱的底面周长，则2πr＝4π，即r＝2，∴S底＝4π，∴S表＝S侧＋2S底＝24π2＋8π＝8π(3π＋1)；

②长为4π的边为母线时，6π为圆柱的底面周长，则2πr＝6π，即r＝3.∴S底＝9π，∴S表＝S侧＋2S底＝24π2＋18π＝6π(4π＋3)．

命题方向2　⇨空间几何体的体积

典例2 已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积.

[解析]　如图，在三棱台ABC－A′B′C′中，O′，O分别为上、下底面的中心，D，D′分别是BC，B′C′的中点，则DD′是梯形BCC′B′的高，所以S侧＝3××(20＋30)×DD′＝75DD′．

又A′B′＝20 cm，AB＝30 cm，所以上、下底面面积之和为S上＋S下＝×(202＋302)＝325(cm2)．

由S侧＝S上＋S下，得75DD′＝325

所以DD′＝(cm)

O′D′＝×20＝(cm)，OD＝×30＝5(cm)

所以棱台的高h＝O′O

＝

＝

＝4(cm)

由棱台的体积公式，可得棱台的体积为

V＝(S上＋S下＋)

＝×(×202＋×302＋×20×30)＝1 900(cm3)．

『规律方法』　求几何体体积的常用方法：

(1)公式法：直接代入公式求解．

(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．

(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等．

(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．

〔跟踪练习2〕 

将若干毫升水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中，量得水面高度为6 cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面高度为(　B　)

A．6 cm　　　　　 B．6 cm

C．2 cm  D．3 cm

[解析]　由题设可知两种器皿中的水的体积相同，设圆锥内水面高度为h，圆锥的轴截面为正三角形，可设边长为a，由右图可得，＝，∴r＝h.故V圆柱＝6×π×22＝24π(cm3)，V圆锥＝π·(h)2·h.又V圆柱＝V圆锥，∴h＝6 cm．

命题方向3　⇨与三视图有关的几何体的表面积与体积

典例3

某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是__80__cm2，体积是__40__cm3.

[解析]由三视图可得该几何体是由一个长、宽、高分别为4，4，2的长方体和一个棱长为2的正方体组合而成的，故表面积为S＝4×4×2＋4×2×4＋2×2×4＝80(cm2)，体积为V＝4×4×2＋2×2×2＝40(cm3)．

『规律方法』　(1)解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图，然后根据三视图中的数据在直观图中求出计算体积所需要的数据．

(2)若由三视图还原的几何体的直观图由几部分组成，求几何体的体积时，依据需要先将几何体分割分别求解，最后求和．

〔跟踪练习3〕 

某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为____．

[解析]　通过俯视图可知该四棱柱的底面为等腰梯形，则四棱柱的底面积S＝＝，通过侧(左)视图可知四棱柱的高h＝1，所以该四棱柱的体积V＝Sh＝．

命题方向4　⇨简单组合体的体积与表面积

典例4 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 (　A　)

A．＋π　　　　　　　　　　 B．＋π

C．＋2π  D．＋2π

[解析]　由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥组成的．由图中数据可得三棱锥的体积V1＝××2×1×1＝，半圆柱的体积V2＝×π×12×2＝π，∴V＝＋π．

『规律方法』　求组合体的表面积与体积的方法

(1)分析结构特征．

(2)设计计算方法．

根据组成形式，设计计算方法，特别要注意“拼接面”面积的处理．利用“切割”“补形”的方法求体积．

(3)计算求值．根据设计的计算方法求值．

〔跟踪练习4〕 

某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　A　)

A．16＋8π　　　　　　 B．8＋8π

C．16＋16π  D．8＋16π

[解析]　如图所示，该几何体是个组合体，其下面是半个圆柱，上面是个长方体．该几何体的体积为V＝×π×22×4＋4×2×2＝16＋8π．

Y 　考虑问题不全面致误

典例5  把长、宽分别为4，2的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积.

[错解]　如图所示，设卷成的圆柱的底面半径为r，母线长为l

则根据题意有2πr＝4，h＝l＝2

∴r＝，∴V圆柱＝πr2h＝.故这个圆柱的体积为．

[错因分析]　错误的原因是考虑问题不全面，出现漏解．事实上，把矩形卷成圆柱时，也可以使4为圆柱的高，即母线长，使2为圆柱的底面周长．

[正解]　设圆柱的底面半径为r，母线长为l．

如上图所示，当2πr＝4，l＝2时，r＝，h＝l＝2

∴V圆柱＝πr2h＝.　　如右图所示

当2πr＝2，l＝4时，r＝，h＝l＝4

∴V圆柱＝πr2h＝．

综上所述，这个圆柱的体积为或．

〔跟踪练习5〕 

一个三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的侧面积．

[错解]　由三视图知三棱柱的底面三角形是正三角形，且底面边长为2cm，各侧面为矩形，侧棱长为4 cm，所以三棱柱的侧面积为S侧＝2×4×3＝24(cm2)．

[错因分析]　侧视图中的数据2cm应为底面正三角形的高，错解中误认为是正三角形的边长．

[正解]　由三视图易知，该三棱柱的底面为正三角形，各侧面为矩形，侧棱长为4 cm，如图所示．

因为正三角形ABC和正三角形A′B′C′的高为2cm

所以正三角形ABC的边长AB＝＝4(cm)．

故三棱柱的侧面积为S侧＝4×4×3＝48(cm2)．

[警示]　正确识读三视图是解答由三视图提供的几何体的面积与体积的关键．

X 　转化思想在立体几何中的应用——割与补、等积变换

1．等积变换

(1)直线a∥b(如图(1))，c是a上一点，则对于a上任一点D，有S△ABC＝S△ABD．

(2)若平面α∥平面ABC，且平面α经过点D，则对于平面α内任一点P，有VD－ABC＝VP－ABC．

(3)对于三棱锥A－BCD，有VA－BCD＝VB－ACD＝VC－ABD＝VD－ABC．

2．割与补

当一个几何体的形状不规则时，无法直接运用体积公式求解，这时一般通过分割与补形，将原几何体分割或补形成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积，这种方法就称为割补法．

典例6 如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，求多面体的体积.

[思路分析]　

→→→

[解析]　如图，取AD中点M，过M作MN⊥EF于N，取BC的中点G，过G作GH⊥EF于H，则原几何体可分割为左棱锥E－ADN、右棱锥F－BCH、侧面为矩形的三棱柱ADN－BCH，且两锥高各是，棱柱高1，连接EM，则EM＝，MN＝＝．

∴V＝×1××1＋2××××1×＝＋＝.

〔跟踪练习6〕

三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，则三棱锥A1－ABC，B－A1B1C，C－A1B1C1的体积之比为(　C　)

A．1∶1∶1　　　　　 B．1∶1∶2

C．1∶2∶4  D．1∶4∶4

[解析]　设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S＝4S．

∴V＝S△ABC·h＝Sh

V＝S·h＝Sh

又V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh

∴V＝V台－V－V

＝Sh－－＝Sh．

∴体积比为1∶2∶4.∴应选C．

K

1．长方体三个面的面积分别为2，6和9，则长方体的体积是 (　A　)

A．6　　 B．3　　

C．11　　 D．12

[解析]　设长方体长、宽、高分别为a，b，c，则ab＝2，ac＝6，bc＝9，相乘得(abc)2＝108，∴V＝abc＝6．

2．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 (　C　)

A．1  B．2

C．3  D．4

[解析]　由三视图可得四棱锥P－ABCD，在四棱锥P－ABCD中，PD＝2，AD＝2，CD＝2，AB＝1

由勾股定理可知：PA＝2，PC＝2，PB＝3，BC＝，则在四棱锥中，直角三角形有：△PAD，△PCD，△PAB共三个，故选C．

3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 (　B　)

A．18＋36  B．54＋18

C．90  D．81

[解析]　由三视图，知该几何体是一个斜四棱柱，所以该几何体的表面积S＝2×3×6＋2×3×3＋2×3×3＝54＋18，故选B．

4．棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则棱台的体积等于__6＋2__.

[解析]　体积V＝(2＋＋4)×3＝6＋2．