人教版新课标A1.3 空间几何体的表面积与体积当堂达标检测题
展开1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
A级 基础巩固
一、选择题
1.若圆锥的正视图是正三角形,则它的侧面积是底面积的 ( C )
A.倍 B.3倍
C.2倍 D.5倍
[解析] 设圆锥的底面半径为r,母线长为l,则由题意知,l=2r,于是S侧=πr·2r=2πr2,S底=πr2.故选C.
2.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 ( A )
[解析] 观察图形可知,俯视图为,故答案为A.
3.圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为 ( A )
A.π B.
C.π D.
[解析] 球的半径为1,圆柱的高的一半为,设圆柱底面半径为R,∴R2+()2=12,∴R2=,故圆球的体积为πR2·h=π×1=π.
4.已知某几何体的三视图如图所示,主视图和左视图是腰长为a的等腰直角三角形,俯视图是边长为a的正方形,则该几何体的体积为 ( A )
A.a3 B.a3
C.a3 D.a3
[解析] 由三视图可得几何体为三棱锥,底面为等腰直角三角形,底面面积为a2,三棱锥的高也为a,故三棱锥体积V=×a2×a=a3.
5.如图,点M,N分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1B1,A1D1的中点,用过点A,M,N和点D,N,C1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图依次为 ( B )
A.①③④ B.②③④
C.①②③ D.②④③
[解析] 由三视图性质可得B.
6.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是 ( C )
A.2 B.4
C.6 D.8
[解析] 根据三视图可得几何体为一个直四棱柱,高为2,底面为直角梯形,上下底分别为1,2,梯形的高为2,因此几何体的体积为×(1+2)×2×2=6.选C.
二、填空题
7.一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图为正三角形,则该几何体的表面积为__24+2__.
[解析] 该几何体是三棱柱,且两个底面是边长为2的正三角形,侧面是全等的矩形,且矩形的长是4,宽是2,所以该几何体的表面积为2×(×2×)+3×(4×2)=24+2.
8.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2,体积分别为V1,V2,若它们的侧面积相等且S1∶S2=9∶4,则V1∶V2=__3∶2__.
[解析] 设甲圆柱底面半径r1,高h1,乙圆柱底面半径r2,高h2,==,∴=,又侧面积相等得2πr1h1=2πr2h2,∴=.因此==.
三、解答题
9.如图所示的几何体是一棱长为4 cm的正方体,若在其中一个面的中心位置上,挖一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的洞,求挖洞后几何体的表面积是多少?(π取3.14)
[解析] 正方体的表面积为4×4×6=96(cm2),
圆柱的侧面积为2π×1×1≈6.28(cm2),
则挖洞后几何体的表面积约为96+6.28=102.28(cm2).
B级 素养提升
一、选择题
1.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是 ( A )
A.+1 B.+3
C.+1 D.+3
[解析] 由几何体的三视图可知,该几何体是一个底面半径为1,高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长是的等腰直角三角形,高为3的三棱锥的组合体,
∴该几何体的体积V=×π×12×3+××××3=+1.
2.已知某个几何体的三视图如图(主视图中的弧线是半圆),根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是 ( B )
A.8+cm3 B.8+πcm3
C.12+cm3 D.12+πcm3
[解析] 由三视图可知几何体上半部分是半圆柱,下半部分是正方体,故此几何体体积为V=×2+2×2×2=8+π(cm3).
3.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如下图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为 ( B )
A.2 B.2
C.3 D.2
[解析] 根据圆柱的三视图以及其本身的特征,可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽,圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处,所以所求的最短路径的长度为=2,故选B.
4.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为 ( B )
A.10 B.12
C.14 D.16
[解析] 观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的,且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形,侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形,高为2,如图所示.因此该多面体各个面中有2个梯形,且这两个梯形全等,梯形的上底长为2,下底长为4,高为2,故这些梯形的面积之和为2××(2+4)×2=12.
故选B.
二、填空题
5.已知圆柱OO′的母线l=4 cm,全面积为42π cm2,则圆柱OO′的底面半径r= __3__cm.
[解析] 圆柱OO′的侧面积为2πrl=8πr(cm2),两底面积为2×πr2=2πr2(cm2)
∴2πr2+8πr=42π,解得r=3或r=-7(舍去)
∴圆柱的底面半径为3 cm.
6.已知斜三棱柱的三视图如图所示,该斜三棱柱的体积为__2__.
[解析] 由三视图可知,斜三棱柱的底面三角形的底边长为2,高为1,斜三棱柱的高为2,故斜三棱柱的体积为V=×2×1×2=2.
C级 能力拔高
1.如图在底面半径为2,母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱,求圆柱的表面积.
[解析] 设圆锥的底面半径为R,圆柱的底面半径为r,表面积为S.
则R=OC=2,AC=4
AO==2.
如图所示易知△AEB∽△AOC
∴=,即=,∴r=1
S底=2πr2=2π,S侧=2πr·h=2π.
∴S=S底+S侧=2π+2π=(2+2)π.
2.在长方体ABCDA1B1C1D1中,截下一个棱锥CA1DD1,求棱锥CA1DD1的体积与剩余部分的体积之比.
[解析] 设矩形ADD1A1的面积为S,AB=h
∴V=V=Sh.
而棱锥CA1DD1的底面积为S,高为h,故三棱锥CA1DD1的体积为:V=×S×h=Sh
余下部分体积为:Sh-Sh=Sh.所以棱锥CA1DD1的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.
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