人教版八年级下册19.2.3一次函数与方程、不等式优质教案

这是一份人教版八年级下册19.2.3一次函数与方程、不等式优质教案，共8页。教案主要包含了知识与技能，过程与方法，情感态度与价值观等内容，欢迎下载使用。

19.2.3 一次函数与方程、不等式
【知识与技能】
１．认识一元一次不等式与一次函数问题的转化关系．毛
２．学会用图象法求解不等式．
３．进一步理解数形结合思想．
【过程与方法】
１．培养提高从不同方向思考问题的能力．
２．探究解题思路，以便灵活运用知识．
３．提高问题间互相转化的技能．
【情感态度与价值观】
１．积极参与活动，培养学习兴趣．
２．形成合作交流的意识及独立思考的习惯．

１．理解一元一次不等式与一次函数的转化关系及本质联系．
２．掌握用图象求解不等式的方法．
图象法求解不等式中自变量取值范围的确定．
Ⅰ．提出问题，创设情境
[师]我们来看下面两个问题有什么关系？
１．解不等式5x+6>3x+10．
２．当自变量x为何值时函数y=2x-4的值大于0？
在问题１中，不等式5x+6>3x+10可以转化为2x-4>0，解这个不等式得x>2．
解问题２就是要解不等式2x-4>0，得出x>2时函数y=2x-4的值大于0．因此这两个问题实际上是同一个问题．
那么，是不是所有的一元一次不等式都可转化为一次函数的相关问题呢？它在函数图象上的表现是什么？如何通过函数图象来求解一元一次不等式？
以上这些问题，我们本节将要学到．
Ⅱ．导入新课
[师]我们先观察函数y=2x-4的图象．可以看出：当x>2时，直线y=2x-4上的点全在x轴上方，即这时y=2x-4>0．
由此可知，通过函数图象也可求得不等式的解为x>2．
由上面两个问题的关系，我们能得到“解不等式ax+b>0”与“求自变量x在什么范围内，一次函数y=ax+b的值大于0”之间的关系，实质上是同一个问题．
由于任何一元一次不等式都可以转化的ax+b>0或ax+b<0（a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大于（或小于）0时，求自变量相应的取值范围．
[活动一]
活动内容设计：
用画函数图象的方法解不等式5x+4<2x+10．
活动设计意图：
通过这一活动使学生熟悉一元一次不等式与一次函数值大于或小于0时，自变量取值范围的问题间关系，并寻求出解决这一问题的具体方法，灵活运用．
教师活动：
引导学生通过画图、观察、寻求答案，并能通过两种不同解法，得到同一答案，探索思考总结归纳出其中的共同点．
学生活动：
在教师指导下，顺利完成作图，观察求出答案，并能归纳总结出其特点．
活动过程及结论：
方法一：原不等式可以化为3x-6<0，画出直线y=3x-6的图象，可以看出，当x<2时这条直线上的点在x轴的下方．即这时y=3x-6<0，所以不等式的解集为：x<2．
方法二：将原不等式的两边分别看作两个一次函数，画出直线y=5x+4与直线y=2x+10可以看出，它们交点的横坐标为2．当x>2时，对于同一个x，直线y=5x+4上的点在直线y=2x+10上的相应点的下方，这时5x+4<2x+10，所以不等式的解集为：x<2．
以上两种方法其实都是把解不等式转化为比较直线上点的位置的高低．
[师]从上面两种解法可以看出，虽然像上面那样用一次函数图象来解不等式未必简单，但是从函数角度看问题，能发现一次函数．一元一次不等式之间的联系，能直观地看出怎样用图形来表示不等式的解．这种函数观点认识问题的方法，对于继续学习数学很重要．
巩固练习
１．当自变量x的取值满足什么条件时，函数y=3x+8的值满足下列条件？
①y=-7． ②y<2．
２．利用图象解出x：
6x-4<3x+2．
[解]１．（1）方法一：作直线y=3x+8的图象．从图象上看出：y=-7时对应的自变量x取值为-5，即当x=-5时，y=-7．
方法二：要使y=-7即3x+8=-7，它可变形为3x+15=0．作直线y=3x+15的图象，从图上可看出它与x轴交点横坐标为-5，即x=-5时，3x+15=0．所以x=-5时，y=-7．
（2）方法一：画出y=3x+8的图象，从图象上可以看出当x<-2时，对应的函数值都小于2．所以自变量x的取值范围是x<-2．
方法二：要使y<2即3x+8<2，它可变形为3x+6<0，作出直线y=3x+6的图象可以看出它与x轴交点横坐标为-2，只有当x<-2时对应的函数值才小于0．所以自变量x的取值范围是x<-2．
２．方法一：6x-4<3x+2可变形为：3x-6<0．作出直线y=3x-6的图象．从图象上可看出：当x<2时，这条直线上的点都在x轴下方，即y<0，3x-6<0．所以，6x-4<3x+2的解为x<2．
方法二：作出直线y=6x-4与直线y=3x+2，它们的交点横坐标为2，从图象上可以看出当x<2时，直线y=6x-4在直线y=3x+2的下方，即6x+4<3x+2．所以，6x-4<3x+2的解为x<2．
Ⅲ．随堂练习
１．求当自变量x取值范围为什么时，函数y=2x+6的值满足以下条件？
①y=0； ②y>0．
２．利用图象解不等式5x-1>2x+5．
[解]１．①方法一：y=0即y=2x+6=0 2x+6=0，解得x=-3．
方法二：作出直线y=2x+6的图象，从图象上可以看出：直线y=2x+6与x轴交于（-3，0），即x=-3时，y=2x+6=0．
②方法一：要使y>0，即y=2x+6>0．
2x+6>0，解得，x>-3．
方法二：作出直线y=2x+6的图象．从图象上可以看出：当x>-3时，直线y=2x+6上的点都在x轴的上方，即函数值大于0．所以当x>-3时，y>0．
２．方法一：5x-1>2x+5可变形为：3x-6>0，作出直线y=3x-6．由图象上可知直线y=3x-6与x轴交于点（2，0）．当x>2时，直线y=3x-6上的点都在x轴上方，即3x-6>0，所以5x-1>2x-5的解为x>2．
方法二：分别作出直线y=5x-1与直线y=2x+5的图象．由图象可知：两直线交点的横坐标为2，当x>2时，直线y=5x-1在直线y=2x+5的上方，即5x-1>2x+5．所以它的解为x>2．
本节我们学会了用一次函数图象来解一元一次不等式．虽说方法未必简单，但我们从函数的角度来重新认识不等式，发现了一次函数、一元一次不等式之间的联系，能直观看到怎样用图形来表示不等式的解，对我们以后学习很重要．
习题19．2
§19．3．2 一次函数与一元一次不等式
一、一次函数与一元一次不等式的联系
二、图象上的不等式
三、例题
四、随堂练习