中考数学专题复习 几何常见问题专练 专练三 120°角的等腰三角形和60°的菱形练习题(含解析)

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类型一 120°角等腰三角形性质的应用
1．已知等腰三角形的腰长为2，底角是30°，则等腰三角形平行底边的中位线长是( )
A. 1 B. eq \r(3) C. 2 D. 2eq \r(3)
2．已知等腰三角形ABC中，AB＝AC＝eq \r(3)，底角为30°，动点P从点B向点C运动，当运动到PA与一腰垂直时BP长为( )
A. 1 B. 2 C. 1或2 D. eq \r(3)
3．(2019东营)已知等腰三角形的底角是30°，腰长为2eq \r(3)，则它的周长是____________．
4．如图，△ABC中，AB＝AC＝15，∠B＝30°，在AB、AC、BC上分别取一点D、E、F，使AD＝AE，BD＝DF，要使△DEF和△CEF均是直角三角形，那么AD＝_______.

第4题图 第5题图
5．如图，△ABC中，AB＝AC＝8，D为BC上一点，BD＝3，∠ADE＝∠B＝30°，则AE的长为________．
6．(8分)已知一次函数y＝kx＋b的图象与直线y＝－eq \r(3)x平行且经过点(2，－eq \r(3))，与x轴、y轴分别交于A、B两点．
(1)求此一次函数的解析式；
第6题图
(2)点C是坐标轴上一点，若△ABC是底角为30°的等腰三角形，求点C的坐标．
7．(2019宜宾10分)如图，线段AB经过⊙O的圆心O，交⊙O于A、C两点，BC＝1，AD为⊙O的弦，连接BD，∠BAD＝∠ABD＝30°，连接DO并延长交⊙O于点E，连接BE交⊙O于点M.
(1)求证：直线BD是⊙O的切线；
(2)求⊙O的半径OD的长；
(3)求线段BM的长．
第7题图
类型二 60°角菱形性质的应用
8．如图，菱形ABCD和正方形AECF，菱形的一个锐角为60度，则菱形ABCD和正方形AECF面积比为( )
A. eq \r(2)∶1 B. eq \r(3)∶1 C. 2∶1 D. 2eq \r(3)∶1

第8题图 第9题图
9．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处(不与B、D重合)，折痕为EF，若DG＝2，BG＝6，则BE的长为( )
A. 2 B. eq \f(12,5) C. eq \f(14,5) D. 3
10.(2019张家界)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在反比例函数y＝eq \f(k,x)的图象上，已知菱形的周长是8，∠COA＝60°，则k的值是________．
第10题图
11．如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O逆时针旋转105°至OA′B′C′的位置．若OB＝4eq \r(3)，∠AOC＝60°，则点B′的坐标为____．

第11题图 第12题图
12．如图，菱形ABCD的边长为2 cm，∠A＝60°，eq \(BD,\s\up8(︵))是以点A为圆心，AB长为半径的弧，eq \(CD,\s\up8(︵))是以点B为圆心，BC长为半径的弧，则阴影部分的面积为__________cm2.
13．如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°.连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC＝60°；连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1＝60°，…，按此规律所作的第n个菱形的边长为________．

第13题图 第14题图
14．(2019梧州)如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，则DP的长是________．
15．(8分)菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上．
(1)如图①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；
(2)如图②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．
第15题图
专练三 120°角的等腰三角形和 60°角的菱形
类型一 120°角等腰三角形性质的应用
1．B 2.C 3.6＋4eq \r(3) 4.5或6 5.eq \f(73－24\r(3),8)
6．解：(1)∵一次函数y＝kx＋b的图象与直线y＝－eq \r(3)x平行且经过点(2，－eq \r(3))，
第6题解图
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－\r(3)，,2k＋b＝－\r(3)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－\r(3)，,b＝\r(3).))
∴一次函数解析式为y＝－eq \r(3)x＋eq \r(3)；········ (3分)
(2)令y＝0，则x＝1；令x＝0，则y＝eq \r(3)，
∴A(1，0)，B(0，eq \r(3))．
∴OA＝1，OB＝eq \r(3)，
∴AB＝2.
∴∠ABO＝30°.·······(5分)
①若AB＝AC，可求得点C的坐标为C1(3，0)或C2(0，－eq \r(3))，
②若CB＝CA，如解图∠OAC3＝60°－30°＝30°，OC3＝OA·tan30°＝eq \f(\r(3),3)，∴C3(0，eq \f(\r(3),3))，
∴C1(3，0)，C2(0，－eq \r(3))，C3(0，eq \f(\r(3),3))．·······(8分)
7．(1)证明：∵∠BAD＝∠ABD＝30°，
∴∠ADB＝180°－∠BAD－∠ABD＝180°－30°－30°＝120°.
又∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠BAD＝30°.
∴∠ODB＝∠ADB－∠ADO＝120°－30°＝90°.
又∵OD是⊙O的半径，
∴直线BD是⊙O的切线；·······(3分)
(2)解：如解图，连接CD，∵∠DOC＝∠ADO＋∠BAD＝30°＋30°＝60°.
又∵OC＝OD，
第7题解图
∴△OCD是等边三角形．
∴∠DCO＝60°.
∴∠BDC＝∠DCO－∠ABD＝60°－30°＝30°.
∵BC＝1，
∴DC＝BC＝OC＝1，
即⊙O的半径为1；·······(6分)
(3)解：∵∠BDE＝90°，DE＝AC＝2OD＝2.BD＝eq \r(OB2－OD2)＝eq \r(22－12)＝eq \r(3).
∴BE＝eq \r(BD2＋DE2)＝eq \r(3＋4)＝eq \r(7)，
如解图，连接CM，AE，
AB＝AC＋BC＝2＋1＝3.
∵四边形AEMC是⊙O的内接四边形，
∴∠BCM＝∠AEB.
在△BCM和△BEA中eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠BCM＝∠AEB，,∠CBM＝∠EBA，))
∴△BCM∽△BEA.
∴eq \f(BM,BA)＝eq \f(BC,BE)，即eq \f(BM,3)＝eq \f(1,\r(7)) .
解得BM＝eq \f(3\r(7),7).
类型二 60°角菱形性质的应用
8．B 9.C 10.eq \r(3) 11.(－2eq \r(6)，2eq \r(6)) 12.eq \r(3) 13．(eq \r(3))n－1 14.eq \r(3)－1
15．证明：(1)如解图，连接AC，
∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，
∴AB＝BC＝CD，∠BCD＝180°－∠B＝120°.
∴△ABC是等边三角形．
∵E是BC的中点，
∴AE⊥BC.
∵∠AEF＝60°，
∴∠FEC＝90°－∠AEF＝30°.
∴∠CFE＝180°－∠FEC－∠ECF＝180°－30°－120°＝30°.
∴∠FEC＝∠CFE.
∴EC＝CF.
∴BE＝DF；(4分)
第15题解图
(2)∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝60°.
∴∠B＝∠ACF＝60°.
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EAD＝∠EAF＋∠FAD＝60°＋∠FAD.
∵∠AFC＝∠D＋∠FAD＝60°＋∠FAD，
∴∠AEB＝∠AFC.
在△ABE和△ACF中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠AEB＝∠AFC，,∠ABE＝∠ACF，,AB＝AC，))
∴△ABE≌△ACF(AAS)．
∴AE＝AF.
∵∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形．·······(8分)
含120°角的等腰三角形的性质
(如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，∠B＝∠C＝30°)：
(1)过顶点A作底边的高AD，可得到2个含30°角的直角三角形(Rt△ABD和Rt△ADC)；
(2)腰长和底边长之比为：1∶eq \r(3)(即AB∶BC＝1∶eq \r(3))；
(3)过顶点A作AE⊥AB，可得AE＝EC，△AEC∽△BAC.
含60°角的菱形的性质
(如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝60°)：
(1)连接较短对角线AC，可得到2个等边三角形(△ABC和△ADC)；
(2)连接较长对角线BD，可得到2个含120°角的等腰三角形(△ABD和△CBD)；
(3)较短对角线AC等于菱形的边长，长对角线BD是短对角线AC的eq \r(3)倍(即AC＝AB，BD＝eq \r(3)AC)．