初三数学教师版. 三轮复习 第3讲 中考直升60分专练（三）

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中考
三轮复习系列丛书
第三讲
中考/直升60分专练（三）
成都中考三轮复习系列丛书
例
1
为的外接圆，过圆外一点P作的切线PA，且PA//BC．
（1）如图1-1，求证：为等腰三角形；
（2）如图1-2，在AB边上取一点E，AC边上取一点F，使，直线EF交PA于点M，交BC的延长线于点N，求证：；
（3）如图1-3，在（2）条件下，连接OE、OF，若，，，求的半径长．

图1-1 图1-2 图1-3
答案
（1）连接AO并延长交BC于点D，如图1，
∵PA切于点A，
∴，即．
∵PA//BC，∴，
∴，
∴根据垂径定理可得，
∴AD垂直平分BD，
∴，即为等腰三角形；
（2）过点F作FK//AB交BC于点K，如图2．
∵FK//AB，∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，∴．
∴PA//BC，
∴，．
∵，∴．
在和中，，
∴，∴；
（3）过点E作于G，过点F作交MA的延长线于点H，
过点O作于点Q，连接OA、OC，如图3．
由（1）知，，
∴．
∵，∴，
∴．
在和中，，
∴，∴，
∴，
∴，．
∵，∴是等边三角形，∴．
∵PA//BC，∴．∵，，∴．
设，则有，．
∵，∴，，
∴,．
∵，，∴，
∴，即，∴．
∵，∴．
∵，∴．
设，则，．
∵，∴，∴，
解得，∴．
∵，∴．
∵，，∴，．
即的半径长为．
例
2
（1）关于x的不等式组的所有整数解的和是，则m的取值范围是______．
（2）如图，已知是等腰的外接圆，点D是上一点，BD交AC于点E，若，，则AE的长是__________．
（3）如图，点A的坐标为，点C是线段OA上的一个动点（不与O、A两点重合），过点C作轴，垂足为D，以CD为边在右侧作正方形CDEF．连接AF并延长交x轴的正半轴于点B，连接OF．若以B、E、F为顶点的三角形与相似，则点B的坐标是________．
（4）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是____________（写出所有正确说法的序号）
①方程是倍根方程．
②若是倍根方程，则；
③若点在反比例函数的图象上，则关于x的方程是倍根方程；
④若方程是倍根方程，且相异两点，都在抛物线上，则方程的一个根为．
（5）如图所示，、，…在函数的图象上，，，……都是等腰直角三角形，斜边，…，都在x轴上，则________．
答案
（1）或；
（2）1；（3）或或；（4）②③；（5）．
例
3
“相约红色重庆，共享绿色园博”，位于重庆市北部新区的国际园林博览会是一个集自然景观和人文景观为一体的大型城市生态公园．自2011年11月19日开园以来，某商家在园博园内出售纪念品“山娃”玩偶．十周以来，该纪念品深受游人喜爱，其销售量不断增加，销售量y(件)与周数x（，且x取整数）之间所满足的函数关系如下表所示：
为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（元）与周数x（，且x取整数）之间成一次函数关系，且第一周的销售单价为68元，第二周的销售单价为66元．另外，已知该纪念品每件的成本为30元．
（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y与x之间的函数关系式；根据题意，直接写出z与x之间满足的一次函数关系式；
（2）求前十周哪一周的销售利润最大，并求出此最大利润；
（3）从十一周开始，其他商家陆续入驻园博园，因此该商店的销售情况不如从前．该纪念品的销售量比十周下降，于是该商家将此纪念品的销售单价在十周的基础上提高1.4a%．另外，随着园博园管理措施的逐步完善，该商家需每周交纳200元的各种费用．这样，十一周的销售利润恰好与十周持平．请参考以下数据，估算出a的整数值．（参考数据：，，，）
答案
（1）由表格数据可得：（，且x取整数）；
设，将点，代入可得：，
解得：，故（，且x取整数）；
（2）设前十周内第x周的销售利润为W（元），由题意知：，
代入y，z解析式得：，
∵，
∴抛物线开口向下，有最大值，
∴当时，W取得最大值4500．
故前十周内第五周的销售利润最大，为4500元；
（3）十周的销售量由表知为200件．
十周的销售单价=（元），
十周的销售利润=（元），
由题意可得：第十一周的销售量为，
第十一周的销售单价为，
∵十一周的销售利润恰好与十周持平，
∴根据题意列出方程式：，
设，原方程可整理为：，解得．
∵232=529，242=576，而555更接近576，∴，
∴或，∴或．
∵，∴舍去，∴a=1．
∴a的整数值为1．
例
4
已知，等边中，D为BC上一点，DE∥AC交AB于E，M是AE上任意一点（M不与A、E重合），连接DM，作DN平分交AC于N．
（1）若BD=DC（如图4-1），求证：；
（2）在（1）的条件下，如图4-2，作于F，若，，连接MN，将沿MN翻折，翻折后的射线MD交AC于P，连接DP交MN于点Q，求PQ的长．

图4-1 图4-2
答案
（1）证明：延长AC至，使，连接，∵，
∴D为BC中点，又∵DE//AC，∴与都是等边三角形，∴，
∴，∴，
∵在和中，，
∴，∴，，
∵DN平分，∴，∴，
∵DE//AC，∴，∴，
∴，∴，∴．
（2）过M作于R，延长MN交BC于点K，∵，
∴设，，∴，
∵于F，，∴，
∵D为BC中点，∴，∴，∵，
∴，
∴，，
，，，
解得：，（舍去）．
，，，，
，，，
∵，，∴，
∴，，
∴，∴，
∵，∴，
∴，
∵在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴，∴MP//DK，∴，
∴是等边三角形，∴，∴，，
∴，∵，，
∴，∴，∴．
例
5
已知抛物线与x轴交于A、B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧．
（1）若抛物线过点，求实数a的值．
（2）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点E，使最小，求出点E的坐标．
（3）在第一象限内，抛物线上是否存在点M，使得以A、B、M为顶点的三角形与相似？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．
答案
（1）∵抛物线过点，
∴，
∴，
（2）如图1，
∵点A，B是抛物线与x轴的交点，
∴点B是点A关于抛物线对称轴的对称点，
∴连接BC交对称轴于点E，
∵，
抛物线解析式为，
∴点，，对称轴，
∴CD解析式为，
∴；
（3）如图2，
由（2）有，抛物线解析式为，
∴，，，
∴，，，
设；
= 1 \* GB3 ①当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
∵，
∴此方程无解，
∴此种情况不存在；
②当，即：，
∵，，
∴，直线AC解析式为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或（由于点M在第一象限，所以舍去）
综合上述，．周数x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
销售量y(件)
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200