中考数学专题复习 几何常见问题专练 专练一最值问题练习(含解析)

这是一份中考数学专题复习 几何常见问题专练 专练一最值问题练习(含解析)，共22页。

类型一 垂线段最短在最值问题中的应用
1．如图，AC⊥BC于点C，连接AB，点D是AB上的动点，AC＝6，BC＝8，AB＝10，则点C与点D之间的最短距离是( )
A. 6 B. 8 C. eq \f(40,3) D. eq \f(24,5)

第1题图 第2题图
2．(2019泰安)如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是( )
A. 2 B. 4 C. eq \r(2) D. 2eq \r(2)
3．(2019长沙)如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD＋eq \f(\r(5),5)BD的最小值是( )
A. 2eq \r(5) B. 4eq \r(5) C. 5eq \r(3) D. 10

第3题图 第4题图
4．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，边长为3，P是对角线BD上的一个动点，则eq \f(1,2)BP＋PC的最小值是( )
A. eq \r(3) B. eq \f(3\r(3),2) C. 3 D. eq \f(3,2)＋eq \r(3)
5．(2019安顺)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且AB＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为________．

第5题图 第6题图
6．(2019眉山)如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝4eq \r(2)，⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ(点Q为切点)，则线段PQ长的最小值为________．
7．(2019南通)如图，□ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB＋eq \f(\r(3),2)PD的最小值等于________．

第7题图 第8题图 第9题图
8．(2019宿迁)如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为________．
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6，点E、F分别在AB、BC上，沿EF将∠EBF翻折，使顶点B落在AC上，则AE的最大值为________．
10．(2019绵阳11分)如图，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y＝eq \f(m2－3m,x)(m≠0且m≠3)的图象在第一象限交于点A、B，且该一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，过A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为E、D.已知A(4，1)，CE＝4CD.
(1)求m的值和反比例函数的解析式；
(2)若点M为一次函数图象上的动点，求OM长度的最小值．
第10题图
11．(10分)如图所示，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)，C(－3，0)，与y轴交于点B(0，3)，D为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式及D点坐标；
(2)若R为y轴上的一个动点，连接AR，求eq \f(\r(2),2)RB＋AR的最小值．
第11题图
类型二 对称性质在最值问题中的应用
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，P是AB边上的动点(不与点B重合)，将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是________．
第12题图
13．(2019陕西)如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6，P为对角线BD上一点，则PM－PN的最大值为________．
第13题图
14．如图，已知点A是以MN为直径的半圆上一个三等分点，点B是弧AN的中点，点P是直径MN上的点，若⊙O的半径为1，则AP＋BP的最小值为__________．

第14题图 第15题图 第16题图
15．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为射线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为________．
16．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N使△AMN的周长最小，则∠AMN＋∠ANM的度数为________．
17．(2019龙东地区)如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，且S△PAB＝eq \f(1,2)S△PCD，则PC＋PD的最小值为________．

第17题图 第18题图
18．如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是________．
19．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是________．

第19题图 第20题图
20．如图，在平面直角坐标系中，已知A(－3，－1)，B(－1，－3)，若D是x轴上一动点，C是y轴上的一个动点，则四边形ABCD的周长的最小值是________．
21．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，AE＝4，AF＝2，点G，H分别是边BC、CD上的动点，则四边形EFGH周长的最小值为________．

第21题图 第22题图
22．(2019潍坊)如图，直线y＝x＋1与抛物线y＝x2－4x＋5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，S△PAB＝__________．
23．(2019巴中10分)如图，在菱形ABCD中，连接BD、AC交于点O，过点O作OH⊥BC于点H，以点O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M.
(1)求证：DC是⊙O的切线；
(2)若AC＝4MC且AC＝8，求图中阴影部分的面积；
(3)在(2)的条件下，P是线段BD上的一动点，当PD为何值时，PH＋PM的值最小，并求出最小值．
第23题图
类型三 隐形圆在最值问题中的应用
“隐形圆”解线段的最值
24．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D、E分别在BC、AC上，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，连接CF，则CF的最小值为( )
A. eq \r(3) B. 2eq \r(3) C. 2－eq \r(3) D. eq \r(5)

第24题图 第25题图
25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2eq \r(3)，Q为AC上的动点，P为Rt△ABC内一动点，且满足∠APB＝120°，若D为BC的中点， 则PQ＋DQ的最小值是( )
A. eq \r(43)－4 B. eq \r(43) C. 4 D. eq \r(43)＋4
26．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和点N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动．连接AM和BN，交于点P，则PC长的最小值为________．

第26题图 第27题图
27．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一个动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长的最小值为________．(请在图中画出点A′的运动路径)
28．(2019锦州)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，M是AD边的中点，N是AB边上的动点，将△AMN沿MN所在直线折叠，得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是________．
第28题图
29．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为________．
第29题图
“隐形圆”解面积的最值
30．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，若AD＝2，BC＝4，则四边形ABCD面积的最大值是________．
第30题图
31．如图，已知在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝30°，AC＝4eq \r(2)，则四边形ABCD面积的最小值是________．

第31题图 第32题图
32．如图，在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝45°，分别以AC、BC为边向外作正方形ACED、正方形CBMN，连接EN，则△ECN面积的最大值为________．
33．(12分)问题探究：
(1)如图①，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则△ABC的面积等于多少？
(2)如图②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在对角线AC上，且CP＝CB，求△PBC的面积？
问题解决：
(3)如图③，△ABC是一块商业用地，其中∠B＝90°，AB＝30 m，BC＝40 m，某开发商现准备再征一块地，把△ABC扩充为四边形ABCD，使∠D＝90°，是否存在面积最大的四边形ABCD？若存在，求出四边形ABCD的最大面积；若不存在，请说明理由．
第33题图
几何常见问题专练
专练一 最值问题
类型一 垂线段最短在最值问题中的应用
1．D 2.D 3.B 4.B 5.2.4(或eq \f(12,5))
6．2eq \r(3) 【解析】如解图，连接OQ，则PQ＝eq \r(OP2－OQ2)，根据题意可知OQ是⊙O的半径为定值，若使得PQ的长最小，只要OP最小即可，即OP⊥AB时，即能取得最小值．∵OA＝OB＝4eq \r(2)，∴AB＝eq \r(OA2＋OB2)＝8，∴OP＝4，∴PQ＝eq \r(42－22)＝2eq \r(3).
第6题解图
7．3eq \r(3) 【解析】如解图，过点P作PH⊥AD，交AD的延长线于点H.∵□ABCD中AB∥CD，∴∠HDP＝∠DAB＝60°.∴PH＝PD·sin∠HDP＝eq \f(\r(3),2)PD.∴PB＋eq \f(\r(3),2)PD＝PB＋PH.由“垂线段最短”可得，当点B，P，H共线且BH⊥AD时，PB＋eq \f(\r(3),2)PD的值最小，此时PB＋eq \f(\r(3),2)PD＝PB＋PH＝BH.∵Rt△ABH中，BH＝AB·sinA＝6×eq \f(\r(3),2)＝3eq \r(3).∴PB＋eq \f(\r(3),2)PD的最小值为3eq \r(3).

第7题解图
8．2.5 【解析】如解图，以CE为边在正方形内作等边△CEH，则EH＝EC，∵△EFG也是等边三角形，∴EF＝EG，∠FEG＝∠HEC，∴∠FEH＝∠GEC，∴△FEH≌△GEC，∴FH＝CG，要求CG的最小值，也就是要求FH的最小值，过点H作HM⊥BC于点M，则EM＝CM＝1.5，∴BM＝2.5，当HF⊥AB时，FH最小，此时四边形HFBM为矩形，∴FH＝BM＝2.5，∴CG的最小值为2.5.
第8题解图
9．4 【解析】∵沿EF将∠EBF翻折，使顶点B落在AC上，∴EB＝EB′.当BE最小时，即EB′最小，此时AE最大，∴EB′⊥AC.如解图，∵∠C＝90°，∴EB′∥BC，∵∠A＝30°，AB＝6，∴EB′＝eq \f(1,2)AE.∴BE＝eq \f(1,2)AE，∴AE＋eq \f(1,2)AE＝6，∴AE＝4.

第9题解图
10．解：(1)将点A(4，1)代入反比例函数y＝eq \f(m2－3m,x)，
得，m2－3m＝4，
解得m1＝4，m2＝－1，
∴m的值为4或－1.
∵反比例函数的图象在第一、三象限，
∴反比例函数的解析式为y＝eq \f(4,x)；············(5分)
(2)∵BD⊥y轴，AE⊥y轴，
∴∠CDB＝∠CEA＝90°.
∴△CDB∽△CEA.
∴eq \f(CD,CE)＝eq \f(BD,AE).
第10题解图
∵CE＝4CD.
∴AE＝4BD.
∵A(4，1)，
∴AE＝4.
∴BD＝1.
∴xB＝1.
∴yB＝eq \f(4,x)＝4.
∴B(1，4)．
将A(4，1)，B(1，4)代入一次函数y＝kx＋b，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4k＋b＝1，,k＋b＝4，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－1，,b＝5，))
∴直线AB的解析式为y＝－x＋5.
如解图，设直线AB与x轴的交点为F，
当x＝0时，y＝5，当y＝0时，x＝5，
∴C(0，5)，F(5，0)．
则OC＝OF＝5.
∴△OCF为等腰直角三角形．
∴CF＝eq \r(2)OC＝5eq \r(2)，
则当OM垂直CF于点M时，由垂线段最短可知，OM有最小值，
即OM＝eq \f(1,2)CF＝eq \f(5\r(2),2).··········(11分)
11.解：(1)根据题意得，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋b＋c＝0，,9a－3b＋c＝0，,c＝3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝－2，,c＝3，))
则抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3；
即y＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋1))2＋4.
∴点D坐标为(－1，4)；(4分)
如解图，连接BC，过点R作RH⊥BC于点H.
第11题解图
∵OB＝OC＝3，∠COB＝90°，
∴BC＝eq \r(32＋32)＝3eq \r(2)，∠HBR＝45°.
在Rt△BHR中，RH＝eq \f(\r(2),2)BR，
∴AR＋eq \f(\r(2),2)BR＝AR＋RH.
∴当H、R、A共线时，AR＋eq \f(\r(2),2)BR＝AR＋RH的值最小，
此时eq \f(1,2)·BC·AH＝eq \f(1,2)·AC·OB.∴AH＝2eq \r(2).
∴eq \f(\r(2),2)BR＋AR的最小值为2eq \r(2).(10分)
类型二 对称性质在最值问题中的应用
12．1 13.2 14.eq \r(2) 15.4 16.120° 17.4eq \r(5)
18.2eq \r(2) 【解析】如解图，过点B作BH⊥AC，垂足为H，交AD于点M′，过点M′作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′＋M′N′为所求的最小值．∵AD是∠BAC的平分线，∴M′H＝M′N′，易知BH是点B到直线AC的最短距离(垂线段最短)，∵AB＝4，∠BAC＝45°，∴BH＝AB·sin45°＝4×eq \f(\r(2),2)＝2eq \r(2).∴BM＋MN的最小值为BM′＋M′N′＝BM′＋M′H＝BH＝2eq \r(2).
第18题解图
19.eq \r(10) 【解析】如解图，作点M关于OB的对称点M′，作点N关于OA的对称点N′，连接M′N′，M′N′即为MP＋PQ＋QN的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N′ON＝∠M′OM＝60°，ON＝ON′，OM＝OM′，∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形．∴∠N′OM′＝90°.∴在Rt△M′ON′中，M′N′＝eq \r(32＋12)＝eq \r(10).
第19题解图
20．6eq \r(2) 【解析】如解图，分别作A点关于x轴的对称点E，点B关于y轴的对称点F，连接EF交x轴于点D，交y轴于点C，连接AD、BC，此时AD＋DC＋BC的值最小，根据对称的性质DE＝AD，BC＝CF，即AD＋DC＋BC＝DE＋DC＋CF＝EF，∵A(－3，－1)，B(－1，－3)，∴E(－3，1)，F(1，－3)，∴AB＝eq \r(（－3＋1）2＋（－1＋3）2)＝2eq \r(2)，EF＝eq \r(（－3－1）2＋（1＋3）2)＝4eq \r(2)，∴四边形ABCD的周长的最小值是AB＋BC＋CD＋AD＝AB＋EF＝6eq \r(2).
第20题解图
21．2eq \r(5)＋10 【解析】如解图，作点E关于CD的对称点E′，作点F关于BC的对称点F′，连接E′F′，交BC于点G，交CD于点H，连接FG，EH，则F′G＝FG，E′H＝EH，则此时四边形EFGH的周长最小，由题意得：BF′＝BF＝AF＝2，DE′＝DE＝2，∠A＝90°，∴AF′＝6，AE′＝8，∴E′F′＝10，EF＝2eq \r(5)，∴四边形EFGH的周长的最小值为EF＋FG＋GH＋HE＝EF＋E′F′＝2eq \r(5)＋10.
第21题解图
22.eq \f(12,5) 【解析】由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x＋1，,y＝x2－4x＋5，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1,y＝2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4,y＝5))，∴点A(1，2)，点B(4，5)．要使△PAB的周长最小，点P是过点(1，2)和点(－4，5)直线与y轴的交点，设过点(1，2)和点(－4，5)直线解析式为y＝kx＋b，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＋b＝2，,－4k＋b＝5，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－\f(3,5)，,b＝\f(13,5)，))∴点P的坐标为(0，eq \f(13,5))．如解图，过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，则AM＝1，BN＝4，MN＝3，PM＝eq \f(3,5)，PN＝eq \f(12,5)，∴S△PAB＝S梯形ABNM－S△BPN－S△APM＝eq \f(1,2)(AM＋BN)·MN－eq \f(1,2)BN·PN－eq \f(1,2)AM·PM＝eq \f(1,2)×(1＋4)×3－eq \f(1,2)×4×eq \f(12,5)－eq \f(1,2)×1×eq \f(3,5)＝eq \f(12,5).即当△PAB的周长最小时，S△PAB的值为eq \f(12,5).
第22题解图
23．(1)证明：如解图，过点O作OG⊥CD，垂足为G，
在菱形ABCD中，AC为对角线，
∴AC平分∠BCD.
∵OH⊥BC，OG⊥CD，
∴OH＝OG.
∵OH为半圆的半径，
∴OG为半圆的半径．
即DC是⊙O的切线；·············(3分)
第23题解图
(2)解：∵AC＝4MC且AC＝8，
∴OC＝2MC＝4，MC＝OM＝2.
∴OH＝2.
在Rt△OHC中，
OH＝eq \f(1,2)OC，
∴∠OCH＝30°，∠COH＝60°.
∴HC＝eq \r(OC2－OH2)＝2eq \r(3).
∴S阴影＝S△OCH－S扇形OHM
＝eq \f(1,2)CH·OH－eq \f(60,360)π·OH2
＝eq \f(1,2)×2eq \r(3)×2－eq \f(60,360)π×4
＝2eq \r(3)－eq \f(2,3)π；············(6分)
(3)解：如解图，作M关于BD的对称点N，连接HN交BD于点P.∵PM＝PN，
∴PH＋PM＝PH＋PN＝HN，
此时PH＋PM最小．
∵ON＝OM＝OH，∠MOH＝60°，
∴∠MNH＝30°.
∴∠MNH＝∠HCM.
∴HN＝HC＝2eq \r(3).
即PH＋PM的最小值为2eq \r(3).
在Rt△NPO中，
OP＝ONtan30°＝eq \f(2\r(3),3)，
∴PD＝OP＋OD
＝2eq \r(3).············(10分)
类型三 隐形圆在最值问题中的应用
24．B 25.A 26.2eq \r(5)－2
27.eq \r(7)－1 【解析】根据折叠的性质得MA′＝MA为定值，∴点A′在以M为圆心，MA为半径的半圆弧上运动，如解图所示，连接MC与⊙M交于点A″，此时A″C最小．过点M作MH⊥DC交CD的延长线于点H，∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M为AD中点，∴2MD＝AD＝CD＝2，∠HDM＝60°.∴∠HMD＝30°.∴HD＝eq \f(1,2)MD＝eq \f(1,2).∴HM＝DM·cs30°＝eq \f(\r(3),2).∴MC＝eq \r(HM2＋CH2)＝eq \r(7).∴A″C＝MC－MA″＝eq \r(7)－1.
第27题解图
28.eq \r(10)－1 【解析】∵四边形ABCD为矩形，点M为AD的中点，∴以点M为圆心，以AM长为半径画圆，如解图，连接MC与⊙M相交于点A′，此时A′C最小．∵AB＝3，BC＝2，∴MC＝eq \r(MD2＋DC2)＝eq \r(10).∵MA′＝MA＝1，∴A′C＝eq \r(10)－1.
第28题解图
29.eq \f(2\r(3),3) 【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2.∵∠PAB＝∠ACP，∴∠PAC＋∠ACP＝60°.∴∠APC＝120°.∴点P的运动轨迹是eq \(AC,\s\up8(︵))，当O、P、B共线时，PB长度最小．设OB交AC于点D，如解图，此时PA＝PC，OB⊥AC，则AD＝CD＝eq \f(1,2)AC＝1，∠PAC＝∠ACP＝30°，∠ABD＝eq \f(1,2)∠ABC＝30°，∴PD＝AD·tan30°＝eq \f(\r(3),3)AD＝eq \f(\r(3),3)，BD＝eq \r(3)AD＝eq \r(3).∴PB＝BD－PD＝eq \r(3)－eq \f(\r(3),3)＝eq \f(2\r(3),3).
第29题解图
30．6 【解析】在四边形ABCD中，AD＝2，BC＝4，要面积最大即其高最大，∵∠BDC＝90°，根据“定边定角”可知，满足条件的D点在以BC为直径的圆上运动，如解图，当D点运动到BC的垂直平分线与圆的交点时，D到BC的距离最大，此时△DBC为等腰直角三角形，D到BC的距离＝eq \f(1,2)BC＝2，∴四边形ABCD面积的最大值＝eq \f(1,2)×(2＋4)×2＝6.
第30题解图
31．8eq \r(3)－8 【解析】如解图，连接BD，过点B、D分别作AC边上的高BE、DF，当且仅当E、F两点重合时，BE＋DF取得最小值，此时BE＋DF＝BD，∵AC长度为定值，∴此时S四边形ABCD最小，作△BCD的外接圆⊙O，连接OB、OD，∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，∵∠BCD＝30°，∴∠BOD＝60°.又∵OB＝OD，∴△BOD为等边三角形，∴AC＝AE＋OE＋OC＝eq \f(\r(3),2)BD＋eq \f(\r(3),2)BD＋BD＝4eq \r(2).∴BD＝2eq \r(6)－2eq \r(2).∴S四边形ABCD＝eq \f(1,2)AC·BD＝eq \f(1,2)×4eq \r(2)×(2eq \r(6)－2eq \r(2))＝8eq \r(3)－8.
第31题解图
32.eq \r(2)＋1 【解析】如解图，过点A作AP⊥BC于点P，过点E作EQ⊥NC交NC的延长线于点Q，由已知得EC＝AC，CN＝BC，∠ECA＝∠BCN＝90°，∴∠ECQ＋∠QCA＝90°，∠ACB＋∠QCA＝90°，∴∠ECQ＝∠ACB，∵EC＝AC，∠EQC＝∠APC，∴△EQC≌△APC，∴EQ＝AP，∵S△ECN＝eq \f(1,2)CN·EQ，S△ABC＝eq \f(1,2)CB·AP，∴S△ECN＝S△ABC，要求△ECN面积的最大值，即求△ABC面积的最大值．∵AB＝2，∠ACB＝45°，根据“定边定角”模型可知，点C在以AB为弦，圆周角为∠ACB＝45°的圆弧上运动，当C点运动到AB的中垂线与圆弧的交点时，C点到AB的距离最大为eq \r(2)＋1，此时△ABC为等腰三角形，其面积最大，△ABC面积的最大值为eq \f(1,2)×2×(eq \r(2)＋1)＝eq \r(2)＋1.
第32题解图
33．解：(1)如解图①，作中线AD，则AD平分△ABC的面积，
∴BD＝CD＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(1,2)×6＝3.
∵AC＝AB＝5，
∴AD⊥BC.
由勾股定理得AD＝eq \r(52－32)＝4，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)BC·AD＝eq \f(1,2)×6×4＝12；·············(4分)
(2)矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，则AC＝eq \r(AB2＋BC2)＝5，
点P在对角线AC上，且CP＝CB＝4，
∴在△ABC中，AC边上的高即为PC边上的高，h＝eq \f(3×4,5)＝eq \f(12,5).
∴S△PBC＝eq \f(1,2)·PC·h＝eq \f(24,5)；···············(8分)
(3)存在．
要使四边形ABCD的面积最大，∵△ABC的面积为定值，只要△ACD的面积最大即可．
∵∠B＝90°，AB＝30 m，BC＝40 m，
则AC＝eq \r(AB2＋BC2)＝50 m，
S△ABC＝eq \f(1,2)BC·AB＝600 m2.
在△ACD中，∠D＝90°，AC＝50 m，根据“定边定角”模型可知，点D在以AC为直径的半圆上运动，如解图②，当D点运动到AC的中垂线与半圆的交点时，D点到AC的距离最大为25 m，此时△ACD为等腰直角三角形，其面积最大，
则△ACD的最大面积为eq \f(1,2)AC·DO＝625 m2，
∴四边形ABCD的最大面积为S△ABC＋S△ACD＝1225 m2.·············(12分)
第33题解图