2021年中考数学真题复习汇编：专题17三角形（选填40题）（第02期）（含解析）

这是一份2021年中考数学真题复习汇编：专题17三角形（选填40题）（第02期）（含解析），共46页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
 专题17三角形（选填40题）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
一、单选题
1．（2021·辽宁中考真题）如图，，，垂足为E，若，则的度数为（　　）

A．40° B．50° C．60° D．90°
【答案】B
【分析】
由题意易得，，然后问题可求解．
【详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握平行线的性质及直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．
2．（2021·内蒙古中考真题）一块含角的直角三角板和直尺如图放置，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先根据邻补角的定义得出∠3=180°-∠1=33°27′，再根据平行线的性质得到∠4=∠2，然后根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【详解】
解：∵，
∴∠3=180°-∠1=33°27′，
∴∠4=∠3+30°=63°27′，∵AB∥CD，
∴∠2=∠4=63°27′，
故选：B．

【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形外角性质的应用，能求出∠3的度数是解此题的关键，注意：两直线平行，内错角相等．
3．（2007·江苏连云港市·中考真题）如图，直线上有三个正方形，，，若，的面积分别为和1 ，则的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解即可．
【详解】
解：由于a、b、c都是正方形，所以AC=CD，∠ACD=90°；
∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠DCE，
∵∠ABC=∠CED=90°，AC=CD，
∴△ACB≌△CDE，
∴AB=CE，BC=DE；
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，
即Sb=Sa+Sc=11+5=16．
故选：C
【点睛】
此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强．
4．（2021·内蒙古）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
先通过作图过程可得AD平分∠BAC,DE⊥AB,然后证明△ACD≌△AED说明C、D正确，再根据直角三角形的性质说明选项A正确，最后发现只有AE=EB时才符合题意．
【详解】
解：由题意可得：AD平分∠BAC,DE⊥AB,
在△ACD和△AED中
∠AED=∠C，∠EAD=∠CAD,AD=AD
∴△ACD≌△AED（AAS）
∴DE=DC,AE=AC,即C、D正确；
在Rt△BED中，∠BDE=90°-∠B
在Rt△BED中，∠BAC=90°-∠B
∴∠BDE=∠BAC，即选项A正确；
选项B，只有AE=EB时，才符合题意．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了尺规作图、全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质，正确理解尺规作图成为解答本题的关键．
5．（2021·辽宁）一副三角板如图所示摆放，若，则的度数是（ ）

A．80° B．95° C．100° D．110°
【答案】B
【分析】
由三角形的外角性质得到∠3=∠4=35°，再根据三角形的外角性质求解即可．
【详解】
解：如图，∠A=90°-30°=60°，

∵∠3=∠1-45°=80°-45°=35°，
∴∠3=∠4=35°，
∴∠2=∠A+∠4=60°+35°=95°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形的外角性质，正确的识别图形是解题的关键．
6．（2021·四川中考真题）若直角三角形的两边长分别是方程的两根，则该直角三角形的面积是（ ）
A．6 B．12 C．12或 D．6或
【答案】D
【分析】
根据题意，先将方程的两根求出，然后对两根分别作为直角三角形的直角边和斜边进行分情况讨论，最终求得该直角三角形的面积即可．
【详解】
解方程得，
当3和4分别为直角三角形的直角边时，面积为；
当4为斜边，3为直角边时根据勾股定理得另一直角边为，面积为；
则该直角三角形的面积是6或，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程及直角三角形直角边斜边的确定、直角三角形的面积求解，熟练掌握解一元二次方程及勾股定理是解决本题的关键．
7．（2021·黑龙江中考真题）已知在中，，．点为边上的动点，点为边上的动点，则线段的最小值是（ ）


A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
作点F关于直线AB的对称点F’，如下图所示，此时EF+EB= EF’+EB，再由点到直线的距离垂线段长度最短求解即可．
【详解】
解：作点F关于直线AB的对称点F’，连接AF’，如下图所示：


由对称性可知，EF=EF’，
此时EF+EB= EF’+EB，
由“点到直线的距离垂线段长度最小”可知，
当BF’⊥AF’时，EF+EB有最小值BF0，此时E位于上图中的E0位置，
由对称性知，∠CAF0=∠BAC=90°-75°=15°，
∴∠BAF0=30°，
由直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半可知，
BF0=AB=，
故选：B．
【点睛】
本题考查了30°角所对直角边等于斜边的一半，垂线段最短求线段最值等，本题的核心思路是作点F关于AC的对称点，将EF线段转移，再由点到直线的距离最短求解．
8．（2021·贵州中考真题）如图，已知线段，利用尺规作的垂直平分线，步骤如下：①分别以点为圆心，以的长为半径作弧，两弧相交于点和．②作直线．直线就是线段的垂直平分线．则的长可能是（ ）


A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】
利用基本作图得到b＞AB，从而可对各选项进行判断．
【详解】
解：根据题意得：b＞AB，
即b＞3，
故选：D．
【点睛】
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
9．（2021·辽宁）如图，在中，，由图中的尺规作图痕迹得到的射线与交于点E，点F为的中点，连接，若，则的周长为（ ）

A． B． C． D．4
【答案】C
【分析】
根据作图可知平分，，由三线合一，解，即可求得．
【详解】
平分,,
,

点F为的中点

的周长为:

故选C．
【点睛】
本题考查了角平分线的概念，等腰三角形性质，勾股定理，直角三角形性质，求出边是解题的关键．
10．（2021·吉林中考真题）在中，，．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使为等腰三角形．下列作法不正确的是（ ）
A．
B．

C．
D．

【答案】A
【分析】
利用直角三角形的性质、中垂线的性质、角平分线的尺规作图逐一判断即可得．
【详解】
解：A．此作图是作∠BAC平分线，在中，，，无法得出为等腰三角形，此作图不正确，符合题意；
B．此作图可直接得出CA＝CD，即为等腰三角形，此作图正确，不符合题意；
C．此作图是作AC边的中垂线，可直接得出AD＝CD，此作图正确，不符合题意；
D．此作图是作BC边的中垂线，可知AD是BC上的中线，为等腰三角形，此作图正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题主要考查作图−基本作图，解题的关键是掌握直角三角形的性质、中垂线的性质、角平分线的尺规作图．
11．（2021·山东中考真题）如图，已知．
（1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N．
（2）分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P．
（3）作射线交于点D．
（4）分别以A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点．
（5）作直线，交，分别于点E，F．
依据以上作图，若，，，则的长是（ ）

A． B．1 C． D．4
【答案】C
【分析】
连接，则，根据相似三角形对应边成比例即可得出结果
【详解】
如图，连接
垂直平分
,
平分





同理可知
四边形是平行四边形
又
平行四边形是菱形



又


，

解得：

故选C
【点睛】
本题考查了由已知作图分析角平分线的性质，垂直平分线的性质，相似三角形，菱形的性质与判定，熟知上述各类图形的判定或性质是解题的基础，寻找未知量与已知量之间的等量关系是关键．
12．（2021·湖南）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于D，E，经过D，E作直线分别交于点M，N，连接，下列结论正确的是（ ）

A． B． C． D．平分
【答案】B
【分析】
根据线段垂直平分线的尺规作图、以及性质即可得．
【详解】
解：由题意得：是线段的垂直平分线，
则，
故选：B．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、以及性质，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图是解题关键．
13．（2021·湖北中考真题）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在上，其中，，，，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设AB与EF交于点M，根据，得到，再根据三角形的内角和定理求出结果．
【详解】
解：设AB与EF交于点M，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴,
∵,
∴=，
故选：A．
．
【点睛】
此题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，熟记平行线的性质并应用是解题的关键．
14．（2021·湖南）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线分别交､于点D和点E，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由尺规作图痕迹可知，MN是线段AB的垂直平分线，进而得到DB=DA，∠B=∠BAD，再由AB=AC得到∠B=∠C=50°，进而得到∠BAC=80°，∠CAD=∠BAC-∠BAD=30°即可求解．
【详解】
解：由题意可知：MN是线段AB的垂直平分线，
∴DB=DA，
∴∠B=∠BAD=50°，
又AB=AC，
∴∠B=∠C=50°，
∴∠BAC=80°，
∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=30°，
故选：A．
【点睛】
本题考查等腰三角形的两底角相等，线段垂直平分线的尺规作图等，属于基础题，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解决本题的关键．
15．（2020·四川中考真题）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（　　）

A．4尺 B．4.55尺 C．5尺 D．5.55尺
【答案】B
【分析】
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺．利用勾股定理解题即可．
【详解】
解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺，
根据勾股定理得：，
解得：．
所以，原处还有4.55尺高的竹子．
故选：B．
【点睛】
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
16．（2020·四川中考真题）如图，在中，，AD平分，，，，则AC的长为（　　）

A．9 B．8 C．6 D．7
【答案】B
【分析】
根据角平分线的性质可得到，然后由可知，从而得到，所以是等边三角形，由，即可得出答案．
【详解】
解：∵，AD平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质、平行线的性质、等边三角形的判定和性质，熟练掌握相应的判定定理和性质是解题的关键，属于基础综合题．
17．（2021·湖北中考真题）如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点．若，，则线段的长为（ ）

A．3 B． C． D．
【答案】A
【分析】
由尺规作图痕迹可知，BD是∠ABC的角平分线，过D点作DH⊥AB于H点，设DC=DH=x则AD=AC-DC=8-x，BC=BH=6，AH=AB-BH=4，在Rt△ADH中，由勾股定理得到 ，由此即可求出x的值．
【详解】
解：由尺规作图痕迹可知，BD是∠ABC的角平分线，
过D点作DH⊥AB于H点，

∵∠C=∠DHB=90°，
∴DC=DH，
，
设DC=DH=x，则AD=AC-DC=8-x，BC=BH=6，AH=AB-BH=4，
在Rt△ADH中，由勾股定理：，
代入数据：，解得，故，
故选：A．
【点睛】
本题考查了角平分线的尺规作图，在角的内部角平分线上的点到角两边的距离相等，勾股定理等相关知识点，熟练掌握角平分线的尺规作图是解决本题的关键．
18．（2021·河南中考真题）如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先利用图2得出当P点位于B点时和当P点位于E点时的情况，得到AB和BE之间的关系以及，再利用勾股定理求解即可得到BE的值，最后利用中点定义得到BC的值．
【详解】
解：由图2可知，当P点位于B点时，，即，
当P点位于E点时，，即，则，
∵,
∴,
即,
∵
∴,
∵点为的中点，
∴,
故选：C．
【点睛】
本题考查了学生对函数图像的理解与应用，涉及到了勾股定理、解一元二次方程、中点的定义等内容，解决本题的关键是能正确理解题意，能从图像中提取相关信息，能利用勾股定理建立方程等，本题蕴含了数形结合的思想方法．

二、填空题
19．（2021·江苏中考真题）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为___________海里（结果保留根号）．

【答案】．
【分析】
先作PC⊥AB于点C，然后利用勾股定理进行求解即可．
【详解】
解：如图，作PC⊥AB于点C，

在Rt△APC中，AP=50海里，∠APC=90°-60°=30°，
∴海里，海里，
在Rt△PCB中，PC=海里，∠BPC=90°-45°=45°，
∴PC=BC=海里，
∴海里，
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为用勾股定理解决问题，解决的方法就是作高线．
20．（2021·江苏中考真题）如图，在中，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交延长线于点D，过点C作，交于点，连接BE，则的值为___________．

【答案】．
【分析】
连接AE，过作AF⊥AB，延长EC交AF于点F，过E作EG⊥BC于点G，设AC=BC=a，求出AF=CF=，由勾股定理求出CE，再由勾股定理求出BE的长即可得到结论．
【详解】
解：连接AE，过作AF⊥AB，延长EC交AF于点F，过E作EG⊥BC于点G，如图，

设AC=BC=a，
∵
∴，
∴，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
设CE=x，则FE=
在Rt△AFE中，
∴
解得，，（不符合题意，舍去）
∴
∵
∴
∴
∴
在Rt△BGE中，
∴
∴
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理与圆的基本概念等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答此题的关键．
21．（2021·辽宁中考真题）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点，点F是的中点，连接、，若，则的周长为_________．

【答案】8
【分析】
根据垂直平分线的性质求得∠BEA的度数，然后根据勾股定理求出EC长度，即可求出的周长．
【详解】
解：∵ DE是AB的垂直平分线，
∴，BE=AE，
∴，
∵
∴
∴
又∵AC=5，
∴在中，
，

解得：CE=3，
又∵点F是的中点，
∴，
∴的周长=CF+CE+FE=．
故答案为：8．
【点睛】
此题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质．
22．（2021·吉林中考真题）如图，已知线段，其垂直平分线的作法如下：①分别以点和点为圆心，长为半径画弧，两弧相交于，两点；②作直线．上述作法中满足的条作为___1.（填“”，“”或“”）

【答案】＞
【分析】
作图方法为：以，为圆心，大于长度画弧交于，两点，由此得出答案．
【详解】
解：∵，
∴半径长度，
即．
故答案为：．
【点睛】
本题考查线段的垂直平分线尺规作图法，解题关键是掌握线段垂直平分线的作图方法．
23．（2021·辽宁中考真题）如图，在菱形中，，点E在边上，将沿直线翻折180°，得到，点B的对应点是点若，，则的长是__________．

【答案】
【分析】
由题意易得，，则有，进而根据折叠的性质可得，，然后根据三角形内角和可得，最后根据等腰直角三角形的性质可求解．
【详解】
解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，是等边三角形，即，
∵，
∴，
由折叠的性质可得，，，
在中，由三角形内角和可得，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
∴；
故答案为．
【点睛】
本题主要考查菱形的性质、折叠的性质及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质、折叠的性质及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键．
24．（2021·辽宁中考真题）如图，，以O为圆心，4为半径作弧交于点A，交于点B，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C，画射线交于点D，E为上一动点，连接，，则阴影部分周长的最小值为_________．

【答案】
【分析】
先求出的长，作点D关于OM的对称点，连接B交OM于点，连接O，则B+ D= B+ =B，此时，BE+DE的最小值= B，进而即可求解．
【详解】
解：由题意得：OC平分∠MON，
∴∠BOD=，
∴的长=，
作点D关于OM的对称点，连接B交OM于点，连接O，则B+ D= B+ =B，此时，BE+DE的最小值= B，
∵∠AO=∠AOD=∠BOD=20°，
∴∠BO=60 °，
∵O=OD=OB，
∴是等边三角形，
∴B=OB=4，
∴阴影部分周长的最小值=，
故答案是：．

【点睛】
本题主要考查弧长公式以及等边三角形的判定和性质，通过轴对称的性质，构造BE+DE的最小值= B，是解题的关键．
25．（2021·江苏中考真题）如图，在中，点D、E分别在、上，．若，则________．

【答案】100
【分析】
先根据三角形内角和定理求出∠A=80°，再根据平行线的性质，求出，即可．
【详解】
解：∵，
∴∠A=180°-40°-60°=80°，
∵，
∴180°-80°=100°．
故答案是100．
【点睛】
本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补，是解题的关键．
26．（2021·山东中考真题）如图，四边形中，，请补充一个条件____，使．

【答案】(答案不唯一)
【分析】
本题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．
【详解】
解：添加的条件为，
理由是：在和中，
，
∴(AAS)，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解决本题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，两直角三角形全等还有HL．
27．（2021·山东中考真题）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点D，E．作直线DE，交BC于点M．分别以点A，C为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点F，G．作直线FG，交BC于点N．连接AM，AN．若，则____________．

【答案】2-180°
【分析】
先根据作图可知DE和FG分别垂直平分AB和AC，再利用线段的垂直平分线的性质得到∠B＝∠BAM，∠C＝∠CAN，即可得到∠MAN的度数．
【详解】
解：由作图可知，DE和FG分别垂直平分AB和AC，
∴MB＝MA，NA＝NC，
∴∠B＝∠MAB，∠C＝∠NAC，
在△ABC中，，
∴∠B＋∠C＝180°−∠BAC＝180°−，
即∠MAB＋∠NAC＝180°−，
则∠MAN＝∠BAC−（∠MAB＋∠NAC）＝−（180°−）＝2-180°．
故答案是：2-180°．
【点睛】
此题主要考查线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理．解题时注意：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
28．（2021·湖南中考真题）如图，中，是上任意一点，于点于点F，若，则________．


【答案】1
【分析】
将的面积拆成两个三角形面积之和，即可间接求出的值．
【详解】
解：连接，如下图：


于点于点，


，
，
，
故答案是：1．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，利用面积法解决两边之和问题，解题的关键是：将的面积拆成两个三角形面积之和来解答．
29．（2021·湖北中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将点绕点顺时针旋转得到点，则点的坐标为_____________．


【答案】
【分析】
根据题意画出图形，易证明，求出OE、BE的长即可求出B的坐标．
【详解】
解：如图所示，点绕点顺时针旋转得到点，
过点A作x轴垂线，垂足为D，过点B作x轴垂线，垂足为E，


∵点的坐标为，点的坐标为，
∴CD=2，AD=3，
根据旋转的性质，AC=BC，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴AD=CE=3，CD=BE=2，
∴OE=2，BE=2，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查旋转变换和三角形全等的判定与性质，证明是解题关键．
30．（2021·内蒙古中考真题）已知菱形的面积为﹐点E是一边上的中点，点P是对角线上的动点．连接，若AE平分，则线段与的和的最小值为__________，最大值为__________．
【答案】
【分析】
先作出图形，根据是的中点，平分可知，根据将军饮马知识即可求出最小值，当P与点D重合时求出最大值．
【详解】
如图，连接，
是的中点，AE平分

设点到、的距离为,点到 的距离为
AE平分
（角平分线上的点到角的两边的距离相等）




是等腰三角形
是的中点, AE平分
（三线合一）
又四边形是菱形

是等边三角形
已知菱形的面积为
设菱形的边长为
则


解得：

关于对称
+
则+最小值为：

当点P与点D重合时+最大
过作垂足为
四边形是菱形

是的中点,
,


在中


则
+最大为：
【点睛】
本题考查了菱形的性质，等腰三角形性质，三线合一，勾股定理，线段和最值问题，由于题目没有给图形，能够根据题中信息正确的作出图形，并判断出是等边三角形是解题的关键．
31．（2021·黑龙江中考真题）已知，如图1，若是中的内角平分线，通过证明可得，同理，若是中的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在中，是的内角平分线，则的边上的中线长的取值范围是________


【答案】
【分析】
根据题意得到，反向延长中线至，使得，连接，最后根据三角形三边关系解题．
【详解】
如图，反向延长中线至，使得，连接，
是的内角平分线，




由三角形三边关系可知，



故答案为：．

【点睛】
本题考查角平分线的性质、中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
32．（2021·内蒙古）一副三角板如图所示摆放，且，则的度数为__________．

【答案】
【分析】
根据三角板的2个三角形中的特殊角求出即可．
【详解】
如图，

．

故答案为．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，利用三角形的外角来求的度数是解题的关键．
33．（2021·山东中考真题）若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为______．
【答案】8或9
【分析】
分4为等腰三角形的腰长和4为等腰三角形的底边长两种情况，再利用一元二次方程根的定义、根的判别式求解即可得．
【详解】
解：由题意，分以下两种情况：
（1）当4为等腰三角形的腰长时，则4是关于的方程的一个根，
因此有，
解得，
则方程为，解得另一个根为，
此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理；
（2）当4为等腰三角形的底边长时，则关于的方程有两个相等的实数根，
因此，根的判别式，
解得，
则方程为，解得方程的根为，
此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理；
综上，的值为8或9，
故答案为：8或9．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的定义、根的判别式、等腰三角形的定义等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键．需注意的是，要检验三边长是否满足三角形的三边关系定理．
34．（2021·贵州中考真题）如图，将边长为1的正方形绕点顺时针旋转到的位置，则阴影部分的面积是______________；


【答案】
【分析】
交于点，连接；根据全等三角形性质，通过证明，得；结合旋转的性质，得；根据三角函数的性质计算，得，结合正方形和三角形面积关系计算，即可得到答案．
【详解】
解：如图，交于点，连接


根据题意，得：，
∵
∴
∴
∵正方形绕点顺时针旋转到
∴，
∴
∴
∴
∴
∴
∴阴影部分的面积
故答案为：．
【点睛】
本题考查了正方形、全等三角形、旋转、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握正方形、全等三角形、旋转、三角函数的性质，从而完成求解．
35．（2021·江苏中考真题）如图，在中，，，，点E在线段上，且，D是线段上的一点，连接，将四边形沿直线翻折，得到四边形，当点G恰好落在线段上时，________．


【答案】
【分析】
过点F作FM⊥AC于点M，由折叠的性质得FG=，∠EFG=，EF=AE=1，再证明，得，，进而即可求解．
【详解】
解：过点F作FM⊥AC于点M，


∵将四边形沿直线翻折，得到四边形，当点G恰好落在线段上，
∴FG=，∠EFG=，EF=AE=1，
∴EG=，
∵∠FEM=∠GEF，∠FME=∠GFE=90°，
∴，
∴，
∴=，，
∴AM=AE+EM=，
∴．
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，添加辅助线构造”母子相似三角形“是解题的关键．
36．（2021·山东）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B，D两点坐标分别为B（﹣4，6），D（0，4），线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为__________．

【答案】
【分析】
先得出D点关于x轴的对称点坐标为H（0，-4），再通过转化，将求四边形BDEF的周长的最小值转化为求FG+BF的最小值，再利用两点之间线段最短得到当F、G、B三点共线时FG+BF的值最小，用待定系数法求出直线BG的解析式后，令y=0，即可求出点F的坐标，最后得到点E的坐标．
【详解】
解：如图所示，∵D（0，4），
∴D点关于x轴的对称点坐标为H（0，-4），
∴ED=EH，
将点H向左平移3个单位，得到点G（-3，-4），
∴EF=HG，EF∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴EH=FG，
∴FG =ED，
∵B（-4，6），
∴BD=，
又∵EF＝3，
∴四边形BDEF的周长=BD+DE+EF+BF=+FG+3+BF,
要使四边形BDEF的周长最小，则应使FG+BF的值最小，
而当F、G、B三点共线时FG+BF的值最小，
设直线BG的解析式为：
∵B（-4，6），G（-3，-4），
∴，
∴，
∴，
当y=0时，，
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】
本题综合考查了轴对称的性质、最短路径问题、平移的性质、用待定系数法求一次函数的解析式等知识，解决问题的关键是“转化”，即将不同的线段之间通过转化建立相等关系，将求四边形的周长的最小值问题转化为三点共线和最短的问题等，本题蕴含了数形结合与转化的思想方法等．
37．（2021·江苏中考真题）如图，在矩形中，，，、分别是边、上一点，，将沿翻折得，连接，当________时，是以为腰的等腰三角形．

【答案】或
【分析】
对是以为腰的等腰三角形分类讨论，当时，设，可得到，再根据折叠可得到，然后在Rt△ABE中利用勾股定理列方程计算即可；当时，过A作AH垂直于于点H，然后根据折叠可得到，在结合，利用互余性质可得到，然后证得△ABE≌△AHE，进而得到，然后再利用等腰三角形三线合一性质得到，然后在根据数量关系得到．
【详解】
解：当时，设，则，
∵沿翻折得，
∴，
在Rt△ABE中由勾股定理可得：即，
解得：；
当时，如图所示，过A作AH垂直于于点H，

∵AH⊥，，
∴，
∵，
∴，
∵沿翻折得，
∴，
∴，
在△ABE和△AHE中，
∴△ABE≌△AHE（AAS），
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
综上所述，，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查等腰三角形性质，勾股定理和折叠性质，解题的关键是分类讨论等腰三角形的腰，然后结合勾股定理计算即可．
38．（2021·福建中考真题）如图，是的角平分线．若，则点D到的距离是_________．


【答案】
【分析】
根据角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等，即可求得．
【详解】
如图，过D作，则D到的距离为DE


平分，，

点D到的距离为．
故答案为．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，点到直线的距离等知识，理解点到直线的距离的定义，熟知角平分线的性质是解题关键．
39．（2021·广西中考真题）在x轴，y轴上分别截取，再分别以点A，B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P，若点P的坐标为，则a的值是_______．
【答案】2或
【分析】
分P点在第一象限和第二象限分类讨论，由尺规作图痕迹可知，P为∠AOB的角平分线，由此得到横坐标与纵坐标相等或互为相反数．
【详解】
解：当P点位于第一象限时，如下图所示：


由尺规作图痕迹可知，OP为∠AOB角平分线，此时P点横坐标与纵坐标相等，
故a=2；
当P点位于第二象限时，如下图所示：


由尺规作图痕迹可知，OP为∠AOB角平分线，此时P点横坐标与纵坐标互为相反数，
故a=-2；
∴a的值是2或-2．
【点睛】
本题考查了角平分线的尺规作图，属于基础题，本题要注意考虑P点在第一象限和第二象限这两种情况．
40．（2021·河南中考真题）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．第一步，在边上找一点，将纸片沿折叠，点落在处，如图2，第二步，将纸片沿折叠，点落在处，如图3．当点恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段的长为__________．

【答案】或
【分析】
因为点恰好在原直角三角形纸片的边上，所以分为当落在边上和边上两种情况分析，勾股定理求解即可．
【详解】
解：当落在边上时，如图（1）：
设交于点，
由折叠知：,
,,
，，

设，则在中，
在中，


即．

当落在边上时，如图（2）
因为折叠，

．

故答案为：或
【点睛】
本题考查了轴对称变换，勾股定理，直角三角形中的性质，正确的作出图形是解题的关键．