数学7.2 复数的四则运算优秀导学案及答案

复数重难点突破

核心知识点一：复数的概念及其表示形式

1. 形如a+bi（a，bR）的数称为复数，a，b分别叫做复数的实部、虚部。

当b=0时，a+bi表示实数；

当b≠0时，a+bi表示虚数；

当a=0，b≠0时，a+bi表示纯虚数。

{纯虚数}{虚数}，{实数}∪{虚数}={复数}=C

2. 复数的几何形式：一般地，可用点Z（a，b）表示复数a+bi（a，b∈R），或用向量表示复数a+bi。

3. 复数相等：a+bi=c+dia=c且b=d。这是解决复数问题时进行虚实转化的工具。

4. 共轭复数：z=a+bi与（a，b∈R）互为共轭复数。在复平面上，互为共轭复数的两个点关于实轴对称；另外

5. 复数的模：设z=a+bi（a，b∈R）在复平面上对应的点为Z（a，b），则把向量的模（即线段OZ的长度）叫做复数z的模。

，且

核心知识点二：复数的运算

1. 四则运算法则（可类比多项式的运算）（a，b，c，d∈R）

（1）加法：（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i

（2）减法：（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i

（3）乘法：（a+bi）（c+di）=（ac-bd）+（bc+ad）i

（4）除法：（转化为乘法运算），简记为“分母实数化”。

特例：（a+bi）（a-bi）=a2+b2；（1+i）2=2i，（1-i）2=-2i。

2. 复数加法、减法的几何意义：

复数的加法即向量的加法，满足平行四边形法则。

复数的减法即向量的减法，满足三角形法则。

z1-z2对应的向量，是以z2的对应点为起点，指向z1的对应点的向量，|z1-z2|表示复平面内与z1，z2对应的两点的距离，如：|z-i|表示z与i的对应的点的距离。

核心知识点三：复数与方程

1. 含z的复数方程：可设出z的代数形式，利用复数相等转化为实方程组。

2. 实系数一元二次方程：ax2+bx+c=0（a≠0）

Δ>0时，方程有两个不等实根；

Δ=0时，方程有两个相等实根；

Δ<0时，方程有两个互为共轭的虚根。 韦达定理以及求根公式仍然适用。

3. 复系数一元二次方程：ax2+bx+c=0（a≠0）

根的判别式不再适用。如x2-ix-2=0，Δ=7>0，但该方程并无实根，但韦达定理以及求根公式仍适用。

例题1  已知 z是复数，z+2i，z（2+i）均为实数（i为虚数单位），对于复数

ω=（z+ai）2，当a为何值时，ω为（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数。

解析：设z=x+yi（x，y∈R），z+2i=x+（y+2）i，由题意得y=-2，

z（2+i）=（x-2i）（2+i）=2x+2+（x-4）i，由题意得x=4，

∴，

（1）若ω为实数，则a=2，即ω=16；

（2）若ω为虚数，则a-2≠0，∴a≠2。

（3）若ω为纯虚数，则a≠2，且12+4a-a2=0，即a=-2，或a=6。

总结提升：正确求z及化简ω是解本题的关键。注意在根据复数的概念求解相应参数的范围时，要根据复数的分类考虑到实部和虚部两个条件。

例题2  已知点集D={z||z+1+i|=1，z∈C}，试求|z|的最小值和最大值。

解析：点集D的图象为以点C（-1，-）为圆心，1为半径的圆，圆上任一点P对应的复数为z，则。由图知，当OP过圆心C（-1，-）时，与圆交于点A、B，

则|z|的最小值是|OA|=|OC|-1=，即|z|min=1。

|z|max=|OC|+1=3。

总结提升：复数的几何意义包括三个方面：复数的表示（点和向量）、复数的模的几何意义以及复数的加减法的几何意义。复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法。

例题3  已知2i-3是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根，求实数p、q的值。

解法1：将2i-3代入到方程2x2+px+q=0中，得2（2i-3）2+p（2i-3）+q=0，整理得

（10-3p+q=0）+（2p-24）i=0。

由复数相等的条件得，解得。

解法2：由题意可知方程2x2+px+q=0的另一个根为-3-2i，根据根与系数关系可得

，解得。

总结提升：实系数一元二次方程，判别式和求根公式、根与系数关系均适用；非实系数一元二次方程，判别式不适用，但求根公式、根与系数关系适用。

例题4  定义，若复数z满足，则z等于（    ）

A. 1+i            B. 1-i          C. 3+i        D. 3-i

答案：A

解析：，即

故选A。

总结提升：解决新定义问题的关键是明确定义内容，紧盯计算方法，建立z的方程求解。

1. 数学思想方法：化归与转化的思想、方程的思想、数形结合的思想；

2. 解决复数问题，注意虚实转化的方法；解决复数问题，注意充分利用共轭复数、模的运算性质。

（答题时间：30分钟）

一、选择题

1. 设，则（    ）

A. 5 B.  C.  D.

2. 已知复数满足，则的共轭复数为（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 复数，且，则的值是（    ）

A.  B.  C.  D. 2

4. （2019年高考全国Ⅰ卷理数）设复数满足，在复平面内对应的点为，则（    ）

A.  B.

C.  D.

5. 已知复数满足关于的方程，且的虚部为1，则（    ）

A.  B.  C. 2 D.

6. 设有下面四个命题，其中的真命题为（    ）

A. 若复数，则

B. 若复数，满足，则或

C. 若复数满足，则

D. 若复数，满足，则，

二、解答题

7. 已知关于的方程有实数根，求实数的值。

8. 已知复数满足，，其中为虚数单位，，若，求的取值范围。

1. 答案：C

解析：由题意，复数，∴，故选C。

2. 答案：B

解析：，∴，化为，

∴，则的共轭复数为，故选B。

3. 答案：A

解析：因为，∴，

即，

由此可得，结合，可解之得，故选A。

4. 答案：C

解析：由题可得，，，

则，故选C。

5. 答案：A

解析：∵复数满足关于的方程，且的虚部为1，

∴设复数，则，

∴，∴，，∴，即。

故选A。

6. 答案：A

解析：设，则由，得，

因此，从而A正确；

设，，

则由，得，从而B错误；

设，则由，得或，因此C错误；

设，，则由，

得，∴，因此D错误，

故选A。

7. 答案：或。

解析：设是方程的实数根，则，

即。

根据复数相等的定义得，解之得或，

所以方程的实数根为或，相应的实数的值为或。

8. 答案：。

解析：由题意得，

于是，，

，得，。