初三数学教师版. 三轮复习 第4讲 直线型动态几何综合专练

这是一份初三数学教师版. 三轮复习 第4讲 直线型动态几何综合专练，共20页。试卷主要包含了用自变量表示线段长；等内容，欢迎下载使用。

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第四讲
直线型动态几何综合
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动态几何问题指图形中的点、线或部分图形按照一定的方式或速度运动变化，从而探索出一些变化过程中的函数关系的问题或存在性问题。是近几年中考的一个热点类问题。主要包括求解线段长度、线段比例、周长、面积等函数关系；或在运动过程中产生的一些特殊图形、图形关系等问题。解题时要善于观察运动过程中的不变性。
解决动态几何问题的三步曲：
1．用自变量表示线段长（自变量一般为动点运动速度或某条线段长）；
2．分析运动停止条件，求出自变量取值范围；
3．分析运动轨迹，重点关注临界情况，找到分类讨论标准。
模块一 动态几何中的函数关系
例
1
如图，在平行四边形ABCD中，，，．一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使．
（1）当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求的面积；
（2）当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2cm的速度匀速运动．过Q作直线QN，使QN//PM．设点Q运动的时间为t秒，直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S cm2．求S关于t的函数关系式．
答案
（1）当点P运动2秒时，，
由，知cm，cm．∴cm2．
（2）当时，点P与点Q都在AB上运动，设PM与AD交于点G，QN与AD交于点F，则，，，，，．
∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为．
当时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动．
设PM与DC交于点G，QN与AD交于点F，则，，，，
，，，而，
故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为．
当时，点P和点Q都在BC上运动．
设PM与DC交于点G，QN与DC交于点F，
则，，，．
∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为．
故S关于t的函数关系式为．
例
2
如图，在矩形ABCD中，，．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止．连结PQ，设运动时间为秒．
（1）求线段AC的长度；
（2）求的面积S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）伴随着P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l：
①当l经过点A时，射线QP交AD于点E，求AE的长；
②当l经过点B时，求t的值．
答案
（1）∵四边形ABCD是矩形，∴，；
（2）如图1，过点P作于点H，，，
则，∵，
∴，∴，
∵，，，
∴，∴，
即，t的取值范围是：．
同理当时，．
．
（3）①如图2，∵线段PQ的垂直平分线为l经过点A，
∴，∴，∴，∴，
延长QP交AD于点E，过点Q作QO//AD交AC于点O，
∴，∴，
∴，，∴，∵OQ//BC//AD，
∴，∴，∴．
②如图③，（i）当点Q从B向A运动时l经过点B，
，，
∵，，
∴，∴，
∴，∴；
（ = 2 \* rman ii）如图4，当点Q从A向B运动时l经过点B，
，，，
过点P作于点G，
则PG//AB，∴，∴，
∴，，
∴，由勾股定理得，
即，解得．
例
3
在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，，，点P，点Q分别是边BC，边AB上的点，连结AC，PQ，点是点B关于PQ的对称点．
（1）若四边形OABC为矩形，如图1，
①求点B的坐标；
②若，且点落在OA上，求点的坐标；
（2）若四边形OABC为平行四边形，如图2，且，过点作轴，与对角线AC、边OC分别交于点E、点F．若，点的横坐标为m，求点的纵坐标，并直接写出m的取值范围．
答案
（1） = 1 \* GB3 ①∵，，
∴点B的坐标为(4, 2)；
②如图1，过点P作，垂足为点D，
∵，点B关于PQ的对称点为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即点；
（2）∵四边形OABC为平行四边形，OA=4，OC=2，且OC⊥AC，
∴∠OAC=30°，
∴点，
∵，
∴点不与点E，F重合，也不在线段EF的延长线上，
= 1 \* GB3 ①当点在线段FE的延长线上时，
如图2，延长与y轴交于点G，点的横坐标为m，轴，，
∴，
设OG=a，
则，，
∴，
∴，，
∴，
∴，即的纵坐标为，
m的取值范围是；
②当点在线段EF（除点E，F）上时，
如图3，延长与y轴交于点G，点的横坐标为m，F//x轴，
，
∴，
设OG=a，
则，，
∴，
∴，，
∴，
∴ ，即点的纵坐标为，
故m的取值范围是．
模块二 动态几何中的存在性问题
例
4
如图，四边形ABCD为矩形，，，动点M从D点出发以1个单位/秒的速度沿DA向终点A运动，动点N从A点出发以2个单位/秒的速度沿AB向终点B运动．当其中一点到达终点时，运动结束．过点N作交AC于点P，连接MP．已知动点运动了x秒．
（1）请直接写出PN的长；（用含x的代数式表示）
（2）试求的面积S与时间x秒的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；
（3）在这个运动过程中，能否为一个等腰三角形．若能，求出所有x的对应值；若不能，请说明理由．
答案
（1）；
（2）
其中，
∴当时，取得最大值；
（3）由（1）可知：．
①若，则，解得，
②若，则过点作于，
易得是矩形，，
又，则，
∴，解得（舍去），∴，
另解：过点作.
∴，∴
又，∴，解得;
③若，则过P点作于H，
易得AHPN是矩形，，且，
∴，解得．
综上所述，若可以成为等腰三角形，满足条件的x的值可以为．
例
5
如图1，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与坐标原点O重合，且AD=8，AB=6．如图2，矩形ABCD沿OB方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P从A点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD的边AB经过点B向点C运动，当点P到达点C时，矩形ABCD和点P同时停止运动，设点P的运动时间为t秒．
（1）当时，请直接写出点D、点P的坐标；
（2）当点P在线段AB或线段BC上运动时，求出的面积S关于t的函数关系式，并写出相应t的取值范围；
（3）点P在线段AB或线段BC上运动时，作PE⊥x轴，垂足为点E，当与相似时，求出相应的t值．
答案
（1）延长CD交x轴于M，延长BA交x轴于N，如图1所示：
则轴，轴，AD//x轴，BN//DM，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，CD=AB=6，BC=AD=8，∴，
当时，，∴，∵AD//NO，∴，
∴，即，∴BN=9，NO=12，
∴，，，∴，；
（2）如图2所示：当点P在边AB上时，，∴；
②当点P在边BC上时，，∴；
综上所述：；
（3）设点；
①当点P在边AB上时，，
若时，，解得：；
若时，，解得：（不合题意，舍去）；
②当点P在边BC上时，，
若时，，解得：；
若时，，解得：（不合题意，舍去）；
综上所述：当时，与相似．
例
6
如图1，矩形OABC顶点B的坐标为，定点D的坐标为，动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，PQ两点同时运动，相遇时停止．在运动过程中，以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR．设运动时间为t秒．
（1）当_______时，的边QR经过点B；
（2）设和矩形OABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式；
（3）如图2，过定点作，垂足为F，当的顶点R落在矩形OABC的内部时，过点R作x轴、y轴的平行线，分别交EF、BC于点M、N，若，求t的值．
答案
（1）的边QR经过点B时，构成等腰直角三角形，
∴，即，∴．即当秒时，的边QR经过点B．
（2）①当时，如答图1-1所示．设PR交BC于点G，
过点P作于点H，则，．
；
②当时，如图1-2所示．
设PR交BC于点G，RQ交BC、AB于点S、T．
过点P作于点H，则，．
QD=t，则，
∴．


③当2＜t≤4时，如答图1-3所示．
设RQ与AB交于点T，则．
，∴．
.
综上所述，S关于t的函数关系式为：
．
（3）∵，∴，
∴四边形ABFE是正方形．
如答图2，将绕点A顺时针旋转90°，得到，其中AE与AB重合．
∵，
∴，
∴，
∴．
连接MN．在与中，

∴．
∴
∴．
设，，则，．
在中，由勾股定理得：，
即，
整理得：． ①

延长NR交x轴于点S，则，
∵，，
∴．
∴，
代入①式，化简得：，
解得或（舍去）
∴
解得：．
∴若∠MAN=45°，则t的值为秒．
复
习
巩
固
模块一 动态几何中的函数关系
演练1
（1）如图，在梯形ABCD中，，，，动点P、Q同时以每秒1cm的速度从点B出发，点P沿BA、AD、DC运动，点Q沿BC、CD运动，P点与Q点相遇时停止，设P、Q同时从点B出发x秒时，P、Q经过的路径与线段PQ围成的图形的面积为y(cm2)，则y与x之间的函数关系的大致图象为（ ）．

A． B． C． D．

（2）如图，直角梯形ABCD中，AB//CD，，顶点A的坐标是，点B、C、D的坐标分别是、、，一次函数的图象l随t的不同取值变化时，位于l的右下方由l和梯形的边围成的图形面积为S（阴影部分）．则能反映S与t（）之间的函数图象是（ ）．
答案
（1）C；（2）C．
演练2
如图，在等边中，，AD⊥BC于点D．点P在边AB上运动，过点P作PE∥BC，与边AC交于点E，连结ED，以PE、ED为邻边作．设与重叠部分图形的面积为y，线段AP的长为．
（1）求线段PE的长．（用含x的代数式表示）
（2）当四边形PEDF为菱形时，求x的值．
（3）求y与x之间的函数关系式．
（4）设点A关于直线PE的对称点为点，当线段的垂直平分线与直线AD相交时，设其交点为Q，当点P与点Q位于直线BC同侧（不包括点Q在直线BC上）时，直接写出x的取值范围．
答案
（1）∵PE//BC，∴，
又∵是等边三角形，∴是等边三角形，
∴；
（2）∵四边形PEDF为菱形，∴，又∵是等边三角形，则，
∴，∴，又∵，
∴，∴，∴．即.
（3）当，即P是AB的中点时，，则F与B重合．
则当时，重合部分就是平行四边形PEDF，如图1．
等边中，，等边中，
，则，则，即；
当时，重合部分是梯形PEDB，如图2．
则，
即；
（4）情形一：当在BC上方时，如图3所示，当的中垂线正好经过点D时，，则．则，∴．则x的取值范围是：．
情形二：当在BC上时，PQ//AD，如图4所示，．
情形三：当在BC下方时，如图5所示，当的中垂线正好经过点D时，，
则．则，∴．
则x的取值范围是：．
综上所示，x的取值范围为或．

图1 图2
图3 图4 图5
模块二 动态几何中的存在性问题
演练3
如图，在中，，，. 点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动. 设点D、E运动的时间是t秒. 过点D作于点F，连接DE、EF.
（1）求证：；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由；
（3）当t为何值时，为直角三角形？请说明理由.
答案
（1）在中，，，，∴，
又∵，∴；
（2）能.理由如下：∵，，∴AE//DF.
又，∴四边形AEFD为平行四边形
∵，
若使为菱形，则需. 即， 即当时，四边形AEFD为菱形；
（3）①时，四边形EBFD为矩形.
在中，，∴. 即，
②时，由（2）知EF//AD，∴，∵，
∴. 即，
③时，此种情况不存在.
综上所述，当或4时，为直角三角形.
演练4
如图，四边形OABC为直角梯形，，，．点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP垂直x轴于点P，连结AC交NP于Q，连结MQ．
（1）点_______（填M或N）能到达终点；
（2）求的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）是否存在点M，使得与相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
答案
（1）点M需要2秒运动到点A，点N需要3秒运动到点C，
所以点M能到达终点；故答案为M；
（2）存在．∵，，，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴和为等腰直角三角形，
∴，，，，
∵，，，，
∴，，，
∴；
（3）∵，
∴当，，，
解得，此时M点的坐标为
当时，，即，
解得，此时M点的坐标为
综上所述，当M点的坐标为或时，与相似．