初三数学教师版. 三轮复习 第5讲 直线型几何中的计算和证明专练

这是一份初三数学教师版. 三轮复习 第5讲 直线型几何中的计算和证明专练，共20页。

中考数学
三轮复习系列丛书
第五讲
直线型几何中的计算与证明
成都中考三轮复习系列丛书
知识导航
直线型几何综合是成都中考和直升考试中的几何重难点题型，难度很大，在解题时需要具备以下技能：
1．画图，根据题目描述画出相对应的图，尤其是需要分类讨论的题目；
2．分类讨论，根据题目的描述准确找到所有满足条件的情况；
3．几何计算能力，包括解三角形，寻找全等和相似，构造全等和相似，计算含参线段比例关系等．
例
1
已知：在中，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，，点M在线段DF上，．
（1）如图1-1，当时，求证：；
（2）如图1-2，当时，则线段AE、MD之间的数量关系为____________；
（3）在（2）的条件下延长BM到P，使，连接CP，若，，求和的值．

图1-1 图1-2
答案
（1）证明：如图1，连接AD．
∵，，∴．
又∵，∴，即．
∵，，∴．
∴，∴．
（2）∵，∴，
∴．
（3）如图2，连接AD，EP．
∵，，
∴是等边三角形．
又∵D为BC的中点，
∴，，．
∵，，
∴．
∴，．
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴．
∴．
∵D为BC中点，M为BP中点，
∴DM//PC．∴，∴．
∴．
在中，，
在中，，
∴．
过N作，垂足为H．
在中，，，
∴，∴．
例
2
如图，在中，，，，点D是边CA延长线的一点，，垂足为点E，AE的延长线交CA的平行线BF于点F，连结CE交AB于点G．
（1）当点E是BD的中点时，求的值；
（2）的值是否随线段AD长度的改变而变化？如果不变，求出的值；如果变化，请说明理由；
（3）当和相似时，求线段AF的长．
答案
（1）过点E作于H，如图1，
则有．
∵，，
∴．
∴，
∴．
设，则．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得（舍负），
∴．
∵BF//CD，
∴，
∴；
（2）的值不变．
取AB的中点O，连接OC、OE，如图2，
∵，
∴，
∴点A、C、B、E共圆，
∴，．
∵BF//CD，∴，
∴，∴，
∴，∴．
∵，，，
∴，∴；
（3）过点E作于H，作于M，如图3，
∴，
∴四边形EMCH是矩形．
∵，与相似，
∴与相似，
∴．
∵点A、C、B、E共圆，
∴，
∴，∴，
∴矩形EMCH是正方形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
设，则，，，
∴，∴，∴．
在中，，
∴．
由（2）可得，∴．
例
3
已知：与为两个有公共顶点C的等腰直角三角形，且，，．把绕点C旋转，在整个旋转过程中，设BD的中点为N，连接CN．
（1）如图3-1，当点D在BA的延长线上时，连接AE，求证：；
（2）如图3-2，当DE经过点A时，过点C作，垂足为H，设AC、BD相交于F，若，，求CF的长．
答案
（1）证明：延长CN至点K，使，连接DK，
∵，，
∴，
∴，∴DK//BC，
∵，，，
∴，∴，
∴，∵，
又∵，，∵，
∴，∴；
（2）延长CN交DE于点P，延长CH交DE于点M，
由（1）问可知，
∴，∴，
∵，，
又∵，∴，
∴，∴，
∵，∴，
设CH为x，HM为，∴，
解得：，，∴或，
∵，
= 1 \* GB3 ①当时，；
②当时，可求，，
∴或15.
例
4
已知：在中，，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，于点N，于点Q，．
（1）如图4-1，求证：；
（2）如图4-2，点E是MN上一点，连接EP并延长交BC于点K，点D是AB上一点，连接DK，，于点H，交BC延长线于点F，若，，，求DQ的长．
答案
（1）证明：如图①，∵，，
∴，∴，
∴，∵，，∴，
∴，∴，∵，，∴，
∵，，，
∴，∵，，∴（角平分线的性质），∴；
（2）解：如图②，∵，，
∴由（1）知，∴，，∴，
∴，
∵，∴，
∴，∵，∴，
∵NE//KC，∴，
又∵，∴，∴，
∵，设，则，∴，
过N作NT//EF交CF于T，则四边形NTFE是平行四边形
∴，∴，
∵，∴，
∴，∵EF//NT，
∴，，
∴ ∴，
∴，∴，，
∵，，
∴，，∴．
过K作于G，∵，，
∴设，则，，∴，∴，
∴，∵，，
∴，∴．
例
5
在中，．经过点B的直线l（l不与直线AB重合）与直线BC的夹角等于，分别过点C、点A作直线l的垂线，垂足分别为点D、点E．
（1）若，（如图），则AE的长为_______；
（2）写出线段AE、CD之间的数量关系，并加以证明；
（3）若直线CE、AB交于点F，，，求BD的长．
答案
（1）.
（2）线段AE、CD之间的数量关系为.
证明：如图1，延长AC与直线l交于点G．
依题意，可得．
∵，∴.
∴，∴．
∵，，∴CD//AE．
∵C为AG的中点，∴．
（3）解：当点F在线段AB上时，如图2，
过点C作CG//l交AB于点H，交AE于点G．
∴．∵，∴．
∴．
∵，∴．
∴．∴．
∵CG//l，∴∽．
∴．
设，，则．
∴在中，，．
由（2）得，．
∵，∴．∴．
∴，，．
∵CG//l，∴．
∴．∴．
∴．
∵CG//l，CD//AE，
∴四边形CDEG为平行四边形.
∴.
∴．
当点F在线段BA的延长线上时，如图3，
同理可得，，.
∴．
∴．
∴或8．
例
6
如图，在平面直角坐标系中，直线l平行x轴，交y轴于点A，第一象限内的点B在l上，连结OB，动点P满足，PQ交x轴于点C．
（1）当动点P与点B重合时，若点B的坐标是，求PA的长．
（2）当动点P在线段OB的延长线上时，若点A的纵坐标与点B的横坐标相等，求的值．
（3）当动点P在直线OB上时，点D是直线OB与直线CA的交点，点E是直线CP与y轴的交点，若，，求的值．
答案
（1）∵点P与点B重合，点B的坐标是，
∴点P的坐标是．
∴PA的长为2．
（2）过点P作轴，垂足为M，过点P作轴，垂足为N，如图1所示．
∵点A的纵坐标与点B的横坐标相等，
∴．
∵，∴．
∵，∴．
∵轴，轴，
∴，．
∴．∵．
∵，，，
∴．∴．
∴的值为．
（3）①若点P在线段OB的延长线上，
过点P作轴，垂足为M，过点P作轴，垂足为N，
PM与直线AC的交点为F，如图2所示．
∵，，
∴．∴．
∵，∴．
∵，∴．
∵PM//y轴，∴，．
∴．设，∵PF//OA，
∴．∴
∵，∴，．
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴四边形PMON是矩形．
∴．
∴．
= 2 \* GB3 ②点P在BO延长线上时，
同理可得：，，．
∴．
∴．
综上所述：的值为或．
复
习
巩
固
演练1
正方形ABCD和等腰直角有公共点D，点E在AD边上，点F在CD的延长线上，连接CE，AF．
（1）试判断线段CE和AF的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
（2）将绕点D按顺时针方向旋转，当点E落在AC上时，设EF与AD交于点M．
= 1 \* GB3 ①求证：；
= 2 \* GB3 ②当时，求的值．
答案
（1），．证明略
（2） = 1 \* GB3 ①∵AC为正方形ABCD的对角线
∴，
∵，，，
∴，∴，
= 2 \* GB3 ②∵，∴，
∴设，，则，
∴，∴，∴，
∴．
演练2
已知：在菱形ABCD中，O是对角线BD上的一动点．
（1）如图2-1，P为线段BC上一点，连接PO并延长交AD于点Q，当O是BD的中点时，求证：；
（2）如图2-2，连接AO并延长，与DC交于点R，与BC的延长线交于点S．若，，，求AS和OR的长．
图2-1 图2-2
答案
（1）证明：∵ABCD为菱形，∴AD//BC，∴，∵O是是BD的中点，∴，在和中，
∵，，，∴，∴.
（2）解：如图，过A作，与CB的延长线交于T.
∵ABCD是菱形，，∴，，
∴，，
∵，∴，
∴.
∵AD//BS，∴.
∴，
则，∴，
∵，∴. 同理可得，∴,
则，∴，∴.
∴.
演练3
在矩形ABCD中，点P在AD上，，．将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB，BC于点E，F，连接EF（如图3-1）.
（1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图3-2），求PC的长；
（2）探究：将直尺从图3-2中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止．在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：
①tan∠PEF的值是否发生变化？请说明理由；
= 2 \* GB3 ②直接写出从开始到停止，线段EF的中点经过的路线长．
图3-1 图3-2
答案
（1）在矩形ABCD中，，，，则，
∴，又∵，∴，
∴，∴，∴，
即，∴；
故答案为：．
（2） = 1 \* GB3 ①的值不变，理由为：
证明：过F作，垂足为G，
则四边形ABFG是矩形，∴，，
∴，又∵，
∴，∴，
∴，∴，
∴中，，
∴的值不变．
= 2 \* GB3 ②线段EF的中点经过的路线长为.
演练4
已知：中，，AD为的平分线，E为线段AC上一点，过E作AD的垂线交直线AB于F．
（1）当E点与C点重合时（如图4-1），求证：；
（2）连接BE交AD于点N，M是BF的中点，连接DM（如图4-2），若，，，求DN的长．
图4-1 图4-2
答案
（1）连接DF，设AD与EF交于点K，
∵AD是的平分线，∴，
∵，∴，
∴，∴，∴，
∴，，
又∵，∴，∴，∴；
（2）过A作AP⊥BC于点P，过D作DQ⊥AC于点Q．连接DF，
∵，即，
∴，∵，∴，
∵AD是的平分线，，，
∴，∴，∴
由（1）可得：，，∴，
∴，∴，，
设，则，又勾股定理得：，
即，解得：，∴，
又，
∴，，∵，
∴．
∵DA平分，
∴，
∴，∴，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴.