初三数学教师版. 三轮复习 第3讲 应用题专练

这是一份初三数学教师版. 三轮复习 第3讲 应用题专练，共20页。

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应用题专练
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一、常见应用题类型按照考频从高到低可以分为：
1．经济利润类问题；
2．方案选择类问题；
3．行程问题；
4．数学建模类问题；
5．工程问题。
二、解应用题的关键在于审题，理解题意，尤其是一些条件范围的限制。然后再列出相应的方程、不等式、一次函数、二次函数关系式求解。其中二次函数求最值是最常见的考点，在求最值的过程中一定要注意自变量的取值范围。
模块一 经济利润类
例
1
（1）某超市销售某种玩具，进货价为20元．根据市场调查：在一段时间内，销售单价是30元时，销售量是400件，而销售单价每上涨1元，就会少售出10件玩具，超市要完成不少于300件的销售任务，又要获得最大利润，则销售单价应定为_______元，最大利润为______元．
（2）根据统计经验，若某工厂以x千克/小时的效率生产某种产品（由于生产条件限制，），则每小时可获得的利润是元．如果接到一笔900千克的订单，要使得此笔订单获得的利润最大，则应该以______________千克/小时的效率生产．
（3）某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元（）．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，a的取值范围应为______________．
答案
（1）40，6000；（2）6；（3）．
【教师备课提示】应用题中的计算对于学生来说是一个难点，这道例题主要通过填空题锻炼孩子们的计算能力．
例
2
为推进节能减排，发展低碳经济，深化“宜居成都”的建设，我市某“用电大户”用480万元购得“变频调速技术”后，进一步投入资金1520万元购买配套设备，以提高用电效率达到节约用电的目的．已知该“用电大户”生产的产品“草甘磷”每件成本费为40元．经过市场调研发现：该产品的销售单价，需定在100元到300元之间较为合理．当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；当销售单价超过100元，但不超过200元时，每件新产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少0.8万件；当销售单价超过200元，但不超过300元时，每件产品的销售价格在200元的基础上每增加10元，年销售量将减少1万件．设销售单价为x元，年销售量为y万件，年获利为w万元．（年获利年销售额生产成本节电投资）
（1）直接写出y与x间的函数关系式；
（2）求第一年的年获利w与x函数关系式，并说明投资的第一年，该“用电大户”是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？
（3）若该“用电大户”把“草甘磷”的销售单价定在超过100元，但不超过200元的范围内，并希望到第二年底，除去第一年的最大盈利（或最小亏损）后，两年的总盈利为1842万元，请你确定此时销售单价．在此情况下，要使产品销售量最大，销售单价应定为多少元？
答案
（1）当，，∴，
当，把代入，得：，
∴，；
（2）当时，

当，
当时，
，
∵，∴当在时，y随x的增大而减小，∴，
∴是亏损的，最少亏损为78万元．
（3）依题意可知，
当时，第二年w与x关系为
当总利润刚好为1842万元时，依题意可得
整理，得，解得，，
∴要使两年的总盈利为1842万元，销售单价可定为190元或200元．
∵对，y随x增大而减小
∴使销售量最大的销售单价应定为190元．
【教师备课提示】应用题中的信息提取是学生的另一个难点，例2—例5主要锻炼孩子们对于信息提取的能力，这道题主要考查锻炼对文字的信息获取．
例
3
九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（）天的售价与销量的相关信息如下表：
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．
答案
（1）当时，，
当时，，
综上所述：；
（2）当时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为，
当时，，
当时，y随x的增大而减小，
当时，，
综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；
（3）当时，，解得，
因此利润不低于4800元的天数是，共30天；
当时，，解得，
因此利润不低于4800元的天数是，共11天，
所以该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元．
【教师备课提示】这道题主要锻炼孩子们对表格信息的获取．
例
4
某店因为经营不善欠下38400元的无息贷款的债务，想转行经营服装专卖店又缺少资金．“中国梦想秀”栏目组决定借给该店30000元资金，并约定利用经营的利润偿还债务（所有债务均不计利息）．已知该店代理的品牌服装的进价为每件40元，该品牌服装日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的关系可用图中的一条折线（实线）来表示．该店应支付员工的工资为每人每天82元，每天还应支付其它费用为106元（不包含债务）．
（1）求日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；
（2）若该店暂不考虑偿还债务，当某天的销售价为48元/件时，当天正好收支平衡（收人=支出），求该店员工的人数；
（3）若该店只有2名员工，则该店最早需要多少天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为多少元？
答案
（1）当时，设y与x的函数解析式为，由图象可得
，
解得．
∴．
当时，设y与x的函数解析式为，由图象得
，
解得，
∴，
综上所述：；
（2）设人数为a，当时，，
∴，解得；
（3）设需要b天，该店还清所有债务，
则：，
∴，
当时，
∴，
时，的最大值为180，
∴，即；
当时，
，
当时，的最大值为171，
∴，即．
综合两种情形得，即该店最早需要380天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为55元．
【教师备课提示】这道题主要锻炼孩子们对图象信息的获取．
模块二 方案类
例
5
某服装经销商甲库存有进价每套400元的A品牌服装1200套，正常销售时每套600元，每月可卖出100套，一年刚好卖完，现市场上流行B品牌服装，此品牌服装进价每套200元，售出每套500元，每月可卖出120套（两种服装的市场行情相互不受影响），目前有一可进B品牌服装的机会，若这一机会错过，估计一年内进不到这种服装，可是经销商手头无流动资金可用，只有折价转让A品牌服装，经与销售商乙协商，达成协议，转让价格（元/套）与转让数量（套）有如下关系：
现在经锁商面临三种选择：
方案一：不转让A品牌服装，也不经销B品牌服装；
方案二：全部转让A品牌服装，用转让得来的资金一次性购入B品牌服装，经销B品牌服装；
方案三：为谋求更高利润，部分转让A品牌服装，用转让来的资金一次性购入B品牌服装后，经销B品牌服装，同时也经销A品牌服装．
（1）如经锁商甲选择方案一，则他在一年内能获得多少利润？
（2）如经销商甲选择方案二，则他在一年内能获得多少利润？
（3）经锁商甲选择哪种方案可以使自己在一年内获得最大利润？并求出此时他转让经销商乙的A品牌服装的数量是多少？此时他在这一年内共得利润多少元？
答案
（1）方案一得（元）；
（2）方案二得（元）；
（3）设转让数量为x件，转让价格为y，有表格关系得：，
则总利润
则转让600件时，利润最大为330000元.
例
6
某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后直接销售；B类杨梅深加工后再销售．A类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量之间的函数关系如图；B类杨梅深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是，平均销售价格为9万元/吨．
（1）直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式；
（2）第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元（毛利润=销售总收入经营总成本）．
①求w关于x的函数关系式；
②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？
（3）第二次，该公司准备投入132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．
答案
（1）①当时，如图，
设直线AB解析式为：，
将、代入得：，解得，
∴；
②当时，．所以A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式为：
；
（2）设销售A类杨梅x吨，则销售B类杨梅吨．
①当时，；

∴；
当时，；
∴．
∴w关于x的函数关系式为：．
②当时，，解得，，均不合题意；
当时，，解得x=18．
∴当毛利润达到30万元时，直接销售的A类杨梅有18吨．
（3）设该公司用132万元共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为吨，则购买费用为3m万元，A类杨梅加工成本为x万元，B类杨梅加工成本为万元，
∴，化简得：．
= 1 \* GB3 ①当时，；
∴．
将代入得：
∴当时，有最大毛利润64万元，此时，；
= 2 \* GB3 ②当时，；
∴．
将代入得：，∴当时，有最大毛利润48万元．
综上所述，购买杨梅共吨，其中A类杨梅4吨，B类吨，公司能够获得最大毛利润，最大毛利润为64万元．
【教师备课提示】例5-例6主要在于审题，主要是练习下方案类．
模块三 其他类
例
7
（1）如图7-1，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为_______米．
（2）如图7-2，一个横断面为抛物线形的拱桥，当水面宽4m时，拱顶离水面2m．当水面下降1m时，此时水面的宽度增加了______________（结果保留根号）．
（3）如图7-3，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B，有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放若干个无盖的圆柱形桶．试图让网球落入桶内，已知米，米，网球飞行最大高度米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．当竖直摆放圆柱形桶至少______________个时，网球可以落入桶内．

图7-1 图7-2 图7-3
答案
（1）0.5；（2）m；（3）8．
【教师备课提示】这道题主要练习下建模类应用题．
例
8
（13成都）某物体从P点运动到Q点所用时间为7秒，其运动速度v（米每秒）关于时间t（秒）的函数关系如图所示. 某学习小组经过探究发现：该物体前进3秒运动的路程在数值上等于矩形AODB的面积.由物理学知识还可知：该物体前秒运动的路程在数值上等于矩形AODB的面积与梯形BDNM的面积之和. 根据以上信息，完成下列问题：
（1）当时，用含t的式子表示v；
（2）分别求该物体在和时，运动的路程S(米)关于时间t(秒)的函数关系式；并求该物体从P点运动到Q总路程的时所用的时间．
答案
（1）由题意得，当时，v，t为一次函数设为；
代入点 得到，
（2）当时，，
当时，，即，
总路程为总面积为米，米米，令，得，
解得，或舍，故从P点运动到Q总路程的时所用的时间为6秒．
【教师备课提示】这道题主要练习下行程类应用题．
复
习
巩
固
模块一 经济利润类
演练1
某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数，且时，；时，．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．
答案
（1）根据题意得解得，．
所求一次函数的表达式为．
（2），
抛物线的开口向下，
∴当时，W随x的增大而增大，而，
∴当时，．
∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．
（3）由，得，
整理得，，解得，，．
由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，而，所以，销售单价x的范围是．
演练2
某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x天销售的相关信息如下表所示．
（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？
（2）求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式．
（3）这40天中该网店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？
答案
（1）当时，令，得．
当时，令，得．
即第10天或者第35天该商品的销售单价为35元/件．
（2）当时，，
当时，．
∴
（3）当时，
∵，∴当时，y有最大值，且．
当时，
∵，∴随着x的增大而减小，∴时，最大．
于是，时，有最大值，且．
∵．∴这40天中第21天时该网店获得利润最大，最大利润为725元．
演练3
某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品．已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120万元．在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间存在着如图所示的一次函数关系．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）试写出该公司销售该种产品的年获利z（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式（年获利=年销售额年销售产品总进价年总开支）．当销售单价x为何值时，年获利最大？并求这个最大值；
（3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助（2）中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？
答案
（1）如图可知两点坐标为(60, 5)，(80, 4)
代入得
（2）由题意可得

整理得，故当销售单价时，最大利润为60万元
（3）由题意
要求y尽可能大，所以x尽可能小，
故当，保证销售最大又达到指标.
模块二 其他类
演练4
如图所示，公园要建造圆形的喷水池，水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，，由柱子顶端A处喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m．
（1）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不能落到池外？
（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3.5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？
答案
（1）以O为原点，顶点为(1, 2.25)，
设解析式为过点(0, 1.25)，
解得，所以解析式为：，
令，则，
解得或（舍去），
所以花坛半径至少为2.5m．
（2）根据题意得出：
设，把点(0, 1.25) (3.5, 0)
∴，解得：，
∴，
∴水池的半径为3.5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达米．
演练5
“城市发展交通先行”，上海市今年在中心城区启动了缓堵保畅的二环路高架桥快速通道建设工程，建成后将大大提升二环路的通行能力．研究表明，某种情况下，高架桥上的车流速度V（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，且当时，；当时，V是x的一次函数. 函数关系如图所示.
（1）求当时，V关于x的函数表达式；
（2）若车流速度V不低于50千米/时，求当车流密度x为多少时，车流量P（单位：辆/时）达到最大，并求出这一最大值．
（注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量=车流速度×车流密度）
答案
（1）设函数解析式为，
则，解得：，
故V关于x的函数表达式为：；
（2）由题意得，，
解得：，又，当时，函数为增函数，即当时，P取得最大，故．
即当车流密度达到88辆/千米时，车流量P达到最大，最大值为4400辆/时．
时间x（天）
售价（元/件）
90
每天销量（件）
转让数量（套）
1200
1100
1000
900
800
700
价格（元/套）
240
250
260
270
280
290
转让数量（套）
600
500
400
300
200
100
价格（元/套）
300
310
320
330
340
350
销售量p（件）
销售单价q（元/件）
当时，；
当时，