第41讲 直线与平面、平面与平面垂直-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第41讲：直线与平面、平面与平面垂直

一、课程标准

1、以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；  

2、能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.

二、基础知识回顾

知识梳理

1. 直线与平面垂直

(1)定义

如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．

(2)判定定理与性质定理

2. 直线和平面所成的角

(1)定义

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是_0°的角．

(2)范围：.

3. 平面与平面垂直

(1)二面角的有关概念

①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；

②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．

(2)平面和平面垂直的定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理

续表

三、自主热身、归纳总结

1、 已知直线a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系为(     )

A. b⊂α  B. b∥α

C. b⊂α或b∥α  D. b与α相交

2、设m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列命题为真命题的是(    )

A. 若m⊥α，α⊥β，则m∥β

B. 若m∥α，m⊥β，则α⊥β

C. 若m⊥n，m⊥α，则n∥α

D. 若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n

3、若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P⊄l，下列命题为假命题的是(     )

A. 过点P垂直于平面α的直线平行于平面β

B. 过点P垂直于直线l的直线在平面α内

C. 过点P垂直于平面β的直线在平面α内

D. 过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β

4、如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF将这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，则在这个空间图形中必有(　　)

A. AG⊥平面EFH　　   B. AH⊥平面EFH

C. HF⊥平面AEF　   D. HG⊥平面AEF

5、已知平面α⊥平面β，直线l⊥平面β，则直线l与平面α的位置关系为__________________．

6、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，则四面体PABC中直角三角形的个数为________．

7、 如图，在三棱锥PABC中，请找出一组能证明AP⊥BC的条件____________．

8、（2020•山东模拟）如图所示，在四个正方体中，是正方体的一条体对角线，点，，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形为　　

A． B． 

C． D．

四、例题选讲

考点一   线面垂直的判定与性质

例1、如图所示，在四棱锥PABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点，且DF＝AB，PH为△PAD中AD边上的高．求证：

(1) PH⊥平面ABCD；

(2) EF⊥平面PAB.

变式1、如图，S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．

(1)求证：SD⊥平面ABC；

(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.

变式1、如图所示，在四棱锥P­ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥DC，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF＝AB，PH为△PAD中AD边上的高．求证：

(1)PH⊥平面ABCD；

(2)EF⊥平面PAB.

变式3、如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E，连结DE.求证：

(1) DE∥平面AA1C1C；

(2) BC1⊥AB1.

方法总结；1.证明直线和平面垂直的常用方法有：

(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；(3)面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；(4)面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l⊂β⇒l⊥α).

2.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.

考点二   面面垂直的判定与性质

例1、（江苏省南通市西亭高级中学2019-2020学年高三下学期学情调研）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，AB＝，BC＝1，E，F分别是AB，PC的中点，DE⊥PA.

（1）求证：EF∥平面PAD；

（2）求证：平面PAC⊥平面PDE.

变式1、（天津实验中学2019届高三模拟）如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：

(1)PA⊥底面ABCD；

(2)BE∥平面PAD；

(3)平面BEF⊥平面PCD.

变式2、如图，在四棱锥PABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．求证：

(1) CE∥平面PAD；

(2) 平面EFG⊥平面EMN.

变式3、（2019·无锡期末）四棱锥P－ABCD中，锐角三角形PAD所在平面垂直于

平面PAB，AB⊥AD，AB⊥BC.

求证：(1)BC∥平面PAD；

(2)平面PAD⊥平面ABCD.

方法总结：(1)判定两个平面垂直的方法：①利用定义：证明二面角是直二面角；②利用判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.(2)面面垂直的证明，一般转化为证线面垂直，而线面垂直的证明，往往需多次利用线面垂直判定与性质定理，而线线垂直的证明有时需要利用平面解析几何条件．

考点三 平行与垂直的探索性问题

例3　如图所示，平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC＝CE，点F为CE的中点．

(1)证明：AE∥平面BDF；

(2)点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PM⊥BE？若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．

变式1、如图，在三棱台ABC­DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.

(1)设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；

(2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在，请确定G点的位置；若不存在，请说明理由．

变式2、如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F在BB1上．

(1)求证：C1D⊥平面AA1B1B；

(2)在下列给出三个条件中选取哪两个条件可使AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．

①F为BB1的中点；②AB1＝；③AA1＝.

方法总结：平行与垂直中探索性问题的主要途径：①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．(2)涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点．

五、优化提升与真题演练

1、（2019年高考北京卷理数）已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：

①l⊥m； ②m∥；  ③l⊥．

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．

2、如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O，则下列结论正确的是(    )

A. O是△AEF的垂心 

B. O是△AEF的内心

C. O是△AEF的外心 

D. O是△AEF的重心

3、（2020年江苏卷）.在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．

（1）求证：EF∥平面AB1C1；

（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1．

4、（2019年高考江苏卷）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．

求证：（1）A1B1∥平面DEC1；

（2）BE⊥C1E．

5、（2018年高考江苏卷）在平行六面体中，．

求证：（1）平面；

（2）平面平面．

6、(2018·全国Ⅱ卷)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点.

(1)证明：PO⊥平面ABC；

(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离.

7、(2018·浙江卷)如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2.

(1)证明：AB1⊥平面A1B1C1；

(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．