第10讲 直线、平面垂直问题（解析版）

这是一份第10讲 直线、平面垂直问题（解析版），共20页。试卷主要包含了下列说法错误的是，如图，在三棱柱中，已知，，，.，如图，是四棱柱，底面是菱形，等内容，欢迎下载使用。
  第10讲 直线、平面垂直问题A组一、   选择题本资料分享自千人教师QQ群323031380 期待你的加入与分享1、若 是两条不同的直线， 垂直于平面 ，则“ ”是“ 的 （      ） A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件  C．充分必要条件   D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，因为垂直于平面，则或；若，又垂直于平面，则，所以“ ”是“ 的必要不充分条件，故选B．2、下列说法错误的是（    ）A．若直线平面，直线平面，则直线不一定平行于直线B．若平面不垂直于平面，则内一定不存在直线垂直于平面C．若平面平面，则内一定不存在直线平行于平面D．若平面平面，平面平面，，则一定垂直于平面【答案】C3、已知互不重合的直线,互不重合的平面,给出下列四个命题,错误的命题是（    ）（A）若,,,则   (B)若,,,则(C)若,,,则       (D)若,,则//【答案】D【解析】A中,过直线作平面分别与交于,则由线面平行的性质知,所以,又由线面平行的性质知,所以,正确；B中,由,,知垂直于两个平面的交线,则所成的角等于二面角的大小,即为,所以,正确；C中,在内取一点,过分别作直线垂直于的交线,直线垂直于的交线,则由线面垂直的性质知,,则,,由线面垂直的判定定理知,正确；D 中,满足条件的也可能在内,故D错,故选D．4、已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m，n满足 则（   ）A．m∥l                 B．m∥n                  C．n⊥l                      D．m⊥n【答案】C【解析】由题意知，．故选C．二、填空题5、【2016高考新课标2理数】是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：（1）如果，那么.（2）如果，那么.（3）如果，那么.（4）如果，那么与所成的角和与所成的角相等.其中正确的命题有        ． (填写所有正确命题的编号）【答案】②③④【解析】对于①，，则的位置关系无法确定，故错误；对于②,因为，所以过直线作平面与平面相交于直线，则，因为，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有②③④.6、三棱锥中, , △是斜边的等腰直角三角形, 则以下结论中: ① 异面直线与 所成的角为; ② 直线平面; ③ 面面 ; ④ 点到平面的距离是. 其中正确结论的序号是_______________ .【答案】①．②．③．④三、解答题7、如图，在三棱柱中，已知，，，.（1）证明：；（2）若，求三棱锥的体积.[来源:学科网]【解析】（1）在中，∵∴.又，∴由勾股定理的逆定理，得为直角三角形.∴.又，,∴平面.∵平面∴（2）易知.在中，∵,则由勾股定理的逆定理，得为直角三角形，∴.又,∴平面.∴为三棱锥的高.∴8、如图，是四棱柱，底面是菱形， 底面，，，是的中点．⑴求证：平面平面；⑵若四面体的体积，求棱柱的高．【解析】设平面，连接，则与的对应边互相平行，且，所以……2分，是的中点……3分，连接、，因为底面，所以，，是菱形，，且，所以面，因为、分别是、 的中点，所以是矩形，，所以平面平面（即平面），所以，面面．⑵因为底面，所以是棱柱的高，平面，平面底面，在底面上作，垂足为，面面，所以面，所以，其中，，[来源:Z.xx.k.Com]所以，解得，即棱柱的高为9、如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱底面，且侧棱的长是，点分别是的中点.（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）证明:平面；（Ⅲ）求三棱锥的体积. 【解析】(Ⅰ）证明：作的中点,连接, 分别是的中点        又在正方形中，是的中点,[来源:Zxxk.Com]  四边形是平行四边形,又平面，平面平面          （Ⅱ）证明:四边形是边长为的正方形，是的中点,又侧棱底面,面；又；；是等腰三角形， 是的中点,[来源:学.科.网Z.X.X.K]；同理是等腰三角形， 是的中点,      [来源:学.科.网]面平面       （Ⅲ）解:侧棱底面,面；由（Ⅱ）知：平面；是三棱锥到平面的距离分别是的中点；；,[来源:Z,xx,k.Com]；四边形是边长为的正方形，是的中点三角形是等边三角形[来源:Zxxk.Com]；      10、如图，在四棱锥中，平面，四边形中，，且，点为中点．⑴求证：平面平面；⑵求点到平面的距离．【解析】⑴证明：取中点，连接．∵是中点，∴．又∵，∴，∴四边形为平行四边形．∵，∴平面．∴，∴．∵，∴，∴平面．∵平面，∴平面平面．⑵由⑴知，．∴平面，即点到平面的距离为．在中，由，得，∴．∴点到平面的距离为 B组一、选择题1、已知，，为三条不同直线，，，为三个不同平面，则下列判断正确的是（  ） A .若，，则                B.若，，，则 C.若，，，则      D.若，，，，则【答案】C.【解析】A：，可能的位置关系为平行，相交，异面，故A错误；B：根据面面垂直与线面平行的性质可知B错误；C：根据线面平行的性质可知C正确；D：若，根据线面垂直的判定可知D错误，故选C．2、设是空间三条直线，是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不正确的是(     )  A. 当时，若，则    B. 当且是在内的射影时，若，则  C. 当时，若，则   D.当且时，若，则 【答案】C【解析】A 选项的逆命题为“当时，若，则”，正确；B. 选项的逆命题为“当且是在内的射影时，若，则”,正确；C. 选项的逆命题为“当时，若，则”，错误：D. 选项的逆命题为“当且时，若，则 ”正确 3、如图，在正方体中，点为线段的中点．设点在线段上，直线与平面所成角为，则的取值范围是(   )[来源:学科网ZXXK]图A．         B．          C．         D．【解析】易于证明平面平面，所以直线在平面上的射影为线段所在直线，于是即直线与平面所成角(或补角).利用极端情况，本题只要计算，，利用余弦定理知，，于是.故选.4、已知正的顶点在平面上，顶点在平面的同一侧，为的中点，若在平面上的射影是以为直角顶点的三角形，则直线与平面所成角的正弦值的范围是（  ）A.          B.       C.          D. 【答案】B.【解析】如图所示，设B到平面，C到平面的射影，D到平面的射影分别为E，F，P，设，，则，由题意可知，，，∴，由，∴，由函数在上单调递减，上单调递增，∴可知，故选B． 二、填空题5、三棱柱的底面是边长为的正三角形，侧棱与底边所成的角均为.若顶点在下底面的投影恰在底边上，则该三棱柱的体积为           .【答案】【解析】如图所示，过点作直线交于点，则为中点.过点作交于点，连接.因为，所以，，所以.因为，且，所以，所以.所以.6、一个直径的半圆，过作这个圆所在平面的垂线，在垂线上取一点，使，为半圆上一个动点，分别为在上的射影.当三棱锥的体积最大时，的余弦值为____.【答案】【解析】如下图所示，平面，平面，∴，又由，，平面，∴平面，又由平面，∴，又由，，平面，∴平面，又由平面，∴，又由平面，∴平面，即为三棱锥中平面上的高，∵，∴，而，故是斜边为的直角三角形，故当时，的面积取得最大值，此时利用三角形的有关知识以及相应的边长，可以求得，∴. 三、解答题7、如图，长方体中，，，点是棱上的一点，．（1）当时，求证：平面；（2）当直线与平面所成角的正切值为时，求的值．【解析】（1）连接,易得平面，所以，①    当时，，，所以，因此：，而平面，故所以平面，所以，，②      由①②可得：平面．（2）连接，，设，连接PM，由于平面，所以平面平面，所以在平面内的射影为，故直线与平面所成角即与所成的角，记为，在平面中，令，则，再令，，则由题意得：，，，而，解得：． 8、如图1，在直角梯形中，，是的中点，是与的交点，将沿折起到图2中的位置，得到四棱锥.(I)证明：平面；(II)当平面平面时，四棱锥的体积为，求的值.【解析】 (I) 在图1中，因为，是的中点，，所以四边形 是正方形，故，又在图2中，，从而平面，又且，所以，即可证得平面；(II)由已知，平面平面，且平面平面 ，又由(I)知，，所以平面，即是四棱锥的高，易求得平行四边形面积，从而四棱锥的为，由，得. 9、如图，在四棱锥中, 为上一点，平面.，，，，为上一点，且．（Ⅰ）求证:；（Ⅱ）求三棱锥与三棱锥的体积之比． 【解析】（Ⅰ）证明：连接AC交BE于点M，连接．由．．  ，．         （Ⅱ）  10、如图，已知四棱锥中，平面，底面是正方形，为上的动点，为棱的中点．（1）求证：平面；（2）试确定点的位置，使得平面平面，并说明理由．【解析】（1）因为,点是的中点，所以．①因为平面，所以．因为四边形是正方形，所以．又,所以，所以．②由①②及，得平面． （2）当点为的中点时，平面平面． 证明：取线段的中点，连接．则,且，因为是的中点，四边形为正方形,所以,且．所以，且．所以四边形是平行四边形,所以．由（1）知平面，所以平面,因为平面．所以平面平面． 考点：1．线面垂直的判定与性质；2．面面垂直的判定与性质． C组一、选择题1、如图，正方形中，，分别为，的中点，把，，折起成一个四面体，使，，三点重合，记为，则直线与平面所成角的正弦值是（     ）.A.            B.          C.           D.     【答案】A. 【解析】不妨设正方形的边长为，根据折叠过程，可知，，又∵，∴平面，∴，，设点P 到平面的距离为，则，∴直线与平面所成角的正弦值是，故选A. 2、如图，在正方体中，给出以下结论：① 平面；② 直线与平面的交点为△的外心；③ 若点在所在平面上运动，则三棱锥的体积为定值．其中，正确结论的个数是(A) 0个         (B) 1个(C) 2个         (D) 3个答案：D3、棱长为2的正方体中，为棱的中点，点分别为面和线段上的动点，则周长的最小值为（   ）A．    B．     C．     D．答案：B4、.在中，已知是斜边上任意一点（如图①），沿直线将折成直二面角（如图②）。若折叠后两点间的距离为，则下列说法正确的是（   ）A．当为的中线时，取得最小值B．当为的角平分线线时，取得最小值C．当为的高线时，取得最小值D．当在的斜边上移动时，为定值【答案】B【解析】设，，，则()，过作的垂线，过作的延长线的垂线，，，则，当，即当为的角平分线时，取得最小值.由余弦定理得：,故选B.二、填空题5、已知三棱锥，若，，两两垂直，且，，则三棱锥的内切球半径为             .【答案】【解析】由题意，设三棱锥的内切球的半径为，球心为，则由等体积 可得，∴．6、已知矩形的边，若沿对角线折叠，使得平面平面,则三棱锥的体积为       ．【答案】【解析】因为平面平面,所以D到直线BC距离为三棱柱的高， 三、解答题7、如图，四棱锥中，底面是矩形，底面，，点是的中点，点在边上移动．　（1）当点为的中点时，试判断与平面的位置关系，并说明理由；（2）证明：无论点在边的何处，都有；（3）求三棱锥体积的最大值．【解析】（1）解：当点为的中点时，与平面平行，在中，∵分别为的中点，∴．又平面，而平面，∴平面 （2）证明：∵平面平面，∴，又平面，∴平面．又平面，∴．又，点是的中点，∴ 又∵平面，∴平面 ∵平面，∴ （3）解：∵，而底面面积为定值∴要使三棱锥体积最大，只需点到底面的距离最大即点与点重合时，∴当点位于点时，三棱锥体积取得最大值为 8、如图，在几何图形中，，，四边形为矩形，平面平面.（1）求证：平面平面；（2）在上确定一点，使得平面平面；（3）求三棱锥的体积.【解析】（1）由题知四边形为等腰梯形，，故,又平面平面，所以平面，且平面,故平面平面.（2）因为，要使平面平面，只要让.在等腰梯形中，当为的中点时，有.所以当为的中点时，平面平面.（3）因为，其中到到平面的距离.由题知平面平面，所以到平面的距离即为到的距离.在等腰三角形中，易知到的距离为，所以. 9、如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形.（Ⅰ）求二面角的大小；（Ⅱ）在线段上是否存在一点，使平面平面？若存在，请指出点的位置并证明，若不存在请说明理由.【解析】（Ⅰ）如图，设分别是和的中点，连接，， ∵，是的中点∴又在正方形中有∴为二面角的平面角∵，，是的中点∴同理可得，又∴是等边三角形，故∴二面角为 （Ⅱ）存在点，使平面平面，此时为线段的中点.理由如下 如图，设,,分别为,和的中点，连接,,, 由（Ⅰ）知是等边三角形，故∵，，∴平面，故又∴平面 ∵，分别为和的中点∴又为线段的中点∴，故四边形为平行四边形；∴∴平面又平面；∴平面平面   10、如图，已知平面四边形中，为的中点，，，且．将此平面四边形沿折成直二面角，连接，设中点为．（I）证明：平面平面；（II）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．（III）求直线与平面所成角的正弦值．     【解析】（I）直二面角的平面角为，又，则平面，所以．又在平面四边形中，由已知数据易得，而，故平面，因为平面，所以平面平面（II）解法一：由（I）的分析易知，，则以为原点建立空间直角坐标系如图所示．结合已知数据可得，，，，则中点，平面，故可设，则平面，又，由此解得，即易知这样的点存在，且为线段上靠近点的一个四等分点解法二：（略解）如右图所示，在中作，交于，因为平面平面，则有平面．在中，结合已知数据，利用三角形相似等知识可以求得，故知所求点存在，且为线段上靠近点的一个四等分点．……..（8分）（III）解法一：由（II）是平面的一个法向量，又，则得，记直线与平面所成角为，则知，故所求角的正弦值为  解法二：（略解）如上图中，因为，所以直线与平面所成角等于直线与平面所成角，由此，在中作于，易证平面，连接，则为直线与平面所成角，结合题目数据可求得，故所求角的正弦值为