高考数学一轮复习第五章数列5.1数列的概念与简单表示法学案

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第一节　数列的概念与简单表示法

授课提示：对应学生用书第88页
[基础梳理]
1．数列的有关概念
概念
含义
数列
按照一定顺序排列的一列数
数列的项
数列中的每一个数
数列的通项
数列{an}的第n项an
通项公式
数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式an＝f(n)表示，这个公式叫作数列的通项公式
前n项和
数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫作数列的前n项和
2.数列的表示方法
列表法
列表格表示n与an的对应关系
图像法
把点(n，an)画在平面直角坐标系中
公式法
通项公式
把数列的通项使用公式表示的方法
递推公式
使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法
3.an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，
则an＝
4．数列的分类


1．与函数的关系：
数列是一种特殊的函数，定义域为N＋或其有限子集数列的图像是一群孤立的点．
2．周期性：若an＋k＝an(n∈N＋，k为非零正整数)，则{an}为周期数列，k为{an}的一个周期．
[四基自测]
1．(基础点：数列的项)已知数列{an}的通项公式为an＝9＋12n，则在下列各数中，不是{an}的项的是(　　)
A．21　　　　　　　　　 B．33
C．152 D．153
答案：C
2．(基础点：数列递推关系)在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a4＝(　　)
A.　　　 B．　　　　
C.　　　 D．
答案：B
3．(基础点：数列的前n项和)设Sn为数列{an}的前n项和，已知S4＝0，a5＝5，则S5为________．
答案：5
4．(易错点：数列的通项公式)数列1，，，，，…的一个通项公式an＝________．
答案：

授课提示：对应学生用书第89页
考点一　数列的项与通项公式
挖掘1　判断通项公式/ 自主练透
[例1]　(1)下列公式可作为数列{an}：1，2，1，2，1，2，…，的通项公式的是(　　)
A．an＝1　　　　　　　 B．an＝
C．an＝2－ D．an＝
[解析]　由an＝2－可得a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝2，….故选C.
[答案]　C
(2)根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：
①－1，7，－13，19，…；
②0.8，0.88，0.888，…；
③，，－，，－，，…；
④，1，，，…；
⑤0，1，0，1，….
[解析]　①符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．
②将数列变形为×(1－0.1)，×(1－0.01)，×(1－0.001)，…，
∴an＝.
③各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出第2，3，4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－，原数列可化为－，，－，，…，
∴an＝(－1)n·.
④将数列统一为，，，，…，对于分子3，5，7，9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2，5，10，17，…，联想到数列1，4，9，16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，因此可得它的一个通项公式为an＝.
⑤an＝
[破题技法]　1.已知数列的前n项写出一个通项公式，主要考查的是逻辑推理与归纳．
常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．
由于只给出了部分规律，符合这几个特殊项的通项公式并不唯一．
2．具体策略：
(1)分式中分子、分母的特征；
(2)相邻项的变化特征；
(3)各项的符号特征和绝对值特征；
(4)对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；
(5)对于正负号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N＋处理．
挖掘2　判断数列的项/ 自主练透
[例2]　(1)已知数列，，2，，…，则2是这个数列的(　　)
A．第6项 B．第7项
C．第19项 D．第11项
[解析]　数列即：，，，，…，据此可得数列的通项公式为：an＝，由＝2，解得：n＝7，即2是这个数列的第7项．
[答案]　B
(2)如果一个数列{an}的通项公式an＝n2＋2n＋3.
①求a10；
②83是否为该数列的项，如果是，是数列的第几项．
[解析]　①当n＝10，a10＝100＋2×10＋3＝123.
②如果n2＋2n＋3＝83，即n2＋2n－80＝0.
∴(n＋10)(n－8)＝0，∴n＝8(n＝－10舍)，
故83是这个数列的第8项．
考点二　已知递推关系求通项公式
挖掘　求通项公式/ 互动探究
[例]　根据下列已知条件，求数列{an}的通项公式：
累加法：(1)a1＝2，an＋1＝an＋ln；
累乘法：(2)a1＝，an＝an－1(n≥2)；
构造法：(3)a1＝1，an＋1＝2an＋3；
辅助数列法：(4)a1＝，an＋1＝an＋；
取倒数：(5)a1＝1，an＝；
取对数：(6)a1＝3，an＋1＝a.
[解析]　(1)因为an＋1＝an＋ln，
所以an＋1－an＝ln(n≥1)，
所以an－an－1＝ln(n≥2)，
所以an－1－an－2＝ln，…，a2－a1＝ln(n≥2)，
所以an－a1＝ln＋ln＋…＋ln＝ln n(n≥2)，
所以an＝ln n＋a1(n≥2)，又a1＝2，所以an＝ln n＋2.
(2)因为an＝an－1(n≥2)，
所以当n≥2时，＝，
所以＝，…，＝，＝，
以上n－1个式子相乘得··…··＝··…··，
即＝·×2×1，所以an＝.当n＝1时，a1＝＝，也与已知a1＝相符，
所以数列{an}的通项公式为an＝.
(3)设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t，解得t＝－3，故递推公式为an＋1＋3＝2(an＋3)．
令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，且＝＝2.
所以{bn}是以b1＝4为首项，2为公比的等比数列．
所以bn＝4×2n－1＝2n＋1，即an＝2n＋1－3.
(4)在an＋1＝an＋两边分别乘以2n＋1，得2n＋1·an＋1＝(2n·an)＋1.
令bn＝2n·an，则bn＋1＝bn＋1，
根据待定系数法，得bn＋1－3＝(bn－3)．
所以数列{bn－3}是首项为b1－3＝2×－3＝－，公比为的等比数列．
所以bn－3＝－·，即bn＝3－2.
于是，an＝＝3－2.
(5)取倒数，得＝＝3＋.∴是等差数列，＝＋3(n－1)＝1＋
3(n－1)⇒an＝.
(6)由题意知an>0，将an＋1＝a两边取常用对数得到lg an＋1＝2lg an，即＝2，所以数列{lg an}是以lg a1＝lg 3为首项，2为公比的等比数列．所以lg an＝(lg 3)·
2n－1，所以an＝32n－1.
[破题技法]　常见求通项公式的方法
方法
转化过程
适合题型
累加法
(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an－a1
an＋1－an＝f(n)(f(n)可求和)
累乘法
××…××＝
＝f(n)，f(n)可求积
构造法
由an＋1＝pan＋q化为an＋1＋m＝p(an＋m)，构造{an＋m}为等比数列
an＋1＝pan＋q
辅助数列法
由an＋1＝pan＋qn化为＝＋，放入辅助数列{bn}，bn＋1＝bn＋，再构造数列
an＋1＝pan＋rqn
取倒数法
an＝取倒数得＝·＋，令bn＝
an＝
取对数
对an＝pa化为lg an＝rlg an－1＋lg p
令bn＝lg an
an＝pa(n≥2，p>0)
考点三　Sn与an的关系的应用
挖掘1　已知Sn求an/自主练透
[例1]　(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a2·a6＝(　　)
A.　　　　　　　 B．
C．16 D．64
[解析]　a2＝S2－S1＝(22－1)－(21－1)＝2，a6＝S6－S5＝(26－1)－(25－1)＝25＝32，∴a2·a6＝64.
[答案]　D
(2)(2020·广东化州第二次模拟)已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为________．
[解析]　由log2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1，
当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，
所以数列{an}的通项公式为an＝
[答案]　an＝
挖掘2　已知Sn与an的关系/互动探究
[例2]　(1)(2018·高考全国卷Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________．
[解析]　∵Sn＝2an＋1，当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋1，
∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，
即an＝2an－1，当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，得a1＝－1.
∴数列{an}是首项a1为－1，公比q为2的等比数列，
∴Sn＝＝＝1－2n，
∴S6＝1－26＝－63.
[答案]　－63
(2)(2020·广东江门模拟)记数列{an}的前n项和为Sn，若任意n∈N＋，2Sn＝an＋1，则a2 020＝________．
[解析]　∵2Sn＝an＋1，
∴2Sn－1＝an－1＋1(n≥2)，
∴2Sn－2Sn－1＝2an＝an－an－1(n≥2)，
即an＝－an－1(n≥2)，又2S1＝2a1＝a1＋1，
∴a1＝1，∴a2 020＝a2＝－a1＝－1.
[答案]　－1
[破题技法]　Sn与an关系问题的求解思路
根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．
(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．
(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．

1．在例2(2)中，{an}的通项公式an＝________．
答案：(－1)n＋1
2．在例1(1)中，可否求通项公式an?
解析：当n＝1时，a1＝S1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1，
a1＝1适合an＝2n－1，
故an＝2n－1.
考点四　数列的性质
[例]　已知数列{an}满足＝2，a1＝20，则的最小值为(　　)
A．4　　　　　　 B．4－1
C．8 D．9
[解析]　由an＋1－an＝2n知：a2－a1＝2×1，a3－a2＝2×2，…，an－an－1＝2
(n－1)，n≥2，
以上各式相加得an－a1＝n2－n，n≥2，所以an＝n2－n＋20，n≥2，当n＝1时，a1＝20符合上式，所以an＝n2－n＋20，n∈N＋，所以＝n＋－1，n∈N＋，
所以n≤4时单调递减，n≥5时单调递增，因为＝，所以的最小值为＝＝8，故选C.
[答案]　C
[破题技法]　1.类比周期函数的概念，我们可以定义：对于数列{an}，如果存在一个常数T(T∈N＋)，使得对于任意的正整数n＞n0，恒有an＋T＝an成立，那么称数列{an}是从第n0项起的周期为T的周期数列．若n0＝1，则称数列{an}为纯周期数列；若n0≥2，则称数列{an}为混周期数列．T的最小值称为最小正周期，简称周期．
2．解决数列周期性问题时，可先根据已知条件求出数列的前几项，当出现各项重复性地出现后，便可由此确定该数列的最小正周期T，再根据公式an＋T＝an将所求项转化为较小的项，从而求得该项的值．
3．求数列的最大项、最小项的常见方法
(1)利用“两边夹”思想
设an为数列{an}中的最大项，则有(n≥2)．
解出适合上述不等式组的n值，从而确定数列的最大项．
类似地，设an为数列{an}中的最小项，则有(n≥2)．
解出适合上述不等式组的n值，便能确定数列的最小项．
(2)利用函数思想
①数列是特殊函数，具有函数的一些特性，求数列项的最值完全可以依据研究函数最值的方法解决，但特别要注意数列的项数n只能是正整数．
②根据条件构造相应的函数，通过配方、作差、作商等方法来确定函数的单调性，进而确定数列的单调性，再求出数列的最大项或最小项．
③给出一个数列{an}，若能够判断数列{an}为递增数列，则该数列具有以下性质：
a1＜a2＜…＜an＜…，故(an)min＝a1.
反之，若该数列为递减数列，则有a1＞a2＞…＞an＞…，故(an)max＝a1.

1．在数列{an}中，a1＝－，an＝1－(n≥2，n∈N＋)，则a2 020的值为(　　)
A．－　　　　　　　 B．5
C. D.
解析：在数列{an}中，a1＝－，an＝1－(n≥2，n∈N＋)，所以a2＝1－＝5，a3＝1－＝，a4＝1－＝－，
所以{an}是以3为周期的周期数列，所以a2 020＝a673×3＋1＝a1＝－.
答案：A
2．(2020·江西宜春期末测试)已知函数f(x)＝若数列{an}满足a1＝，an＋1＝f(an)(n∈N＋)，则a2 019＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：由题意，知a2＝f()＝，a3＝f()＝，a4＝f()＝，a5＝f()＝，a6＝f()＝，a7＝f()＝，…，故数列{an}从第三项起构成周期数列，且周期为3，故a2 019＝a3＝.故选D.
答案：D