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    新教材人教B版步步高学习笔记【同步学案】第六章 6.1.1 向量的概念
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    高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.1.1 向量的概念导学案

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    这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.1.1 向量的概念导学案,共15页。学案主要包含了位移与向量,向量的应用,向量的相等与平行等内容,欢迎下载使用。

    学习目标 1.理解向量、零向量、单位向量、向量模的意义.2.掌握向量的几何表示,会用字母表示向量,用向量表示点的位置.3.了解平行向量和相等的向量的意义,并会判断向量间共线(平行)、相等的关系.
    导语
    向量,最初被应用于物理学.很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量.大约公元前350年前,古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量,两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到.“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿.在本章我们将探究如何用数学符号确切地描述向量,进一步探究向量的运算与应用.
    一、位移与向量
    问题1 如图,在图中分别用向量表示A地至B,C两地的位移.
    提示 A地至B,C两地的位移可以用有向线段eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(AC,\s\up6(→))表示.
    知识梳理
    1.定义
    既有大小又有方向的量称为向量.
    2.向量的表示法
    (1)向量可以用有向线段来表示,其中有向线段的长度表示向量的大小,有向线段箭头所指的方向表示向量的方向.
    (2)除了用始点和终点的两个大写字母来表示向量外,还可用一个小写字母来表示向量:在印刷时,通常用加粗的斜体小写字母如a,b,c等来表示向量;在书写时,用带箭头的小写字母如eq \(a,\s\up6(→)),eq \(b,\s\up6(→)),eq \(c,\s\up6(→))等来表示向量.
    3.向量的长度
    向量的大小也称为向量的模(或长度).
    4.向量的有关概念
    注意点:
    (1)书写向量时带箭头.
    (2)向量强调长度和方向两个元素.
    (3)有向线段与向量不是同一概念,有向线段有起点、长度、方向三个要素.
    (4)解决向量问题特别注意零向量和向量的方向问题.
    例1 下列物理量:①质量;②速度;③位移;④力;⑤加速度;⑥路程;⑦密度;⑧功.其中不是向量的有( )
    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
    答案 D
    解析 一个量是不是向量,就是看它是否同时具备向量的两个要素:大小和方向.由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的,所以是向量;而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向,所以不是向量.
    反思感悟 解决向量概念问题一定要紧扣定义,对单位向量与零向量要特别注意方向问题.
    跟踪训练1 下列结论中正确的是( )
    A.对任一向量a,|-a|>0总是成立的
    B.模为0的向量的方向是不确定的
    C.向量就是有向线段
    D.任意两个单位向量的方向相同
    答案 B
    解析 若向量a为零向量,则|-0|=0,故A错误;模为0的向量为零向量,零向量的方向是不确定的,B正确;有向线段是向量的几何表示,是个图形,而向量是带方向的量,不是有向线段,C错误;任意两个单位向量的长度相等,但方向不一定相同,D错误.
    二、向量的应用
    例2 在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1),用直尺和圆规画出下列向量:
    (1)eq \(OA,\s\up6(→)),使|eq \(OA,\s\up6(→))|=4eq \r(2),点A在点O北偏东45°;
    (2)eq \(AB,\s\up6(→)),使|eq \(AB,\s\up6(→))|=4,点B在点A正东方向;
    (3)eq \(BC,\s\up6(→)),使|eq \(BC,\s\up6(→))|=6,点C在点B北偏东30°.
    解 (1)由于点A在点O北偏东45°处,所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等.又|eq \(OA,\s\up6(→))|=4eq \r(2),小方格边长为1,所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4,于是点A位置可以确定,画出向量eq \(OA,\s\up6(→))如图所示.
    (2)由于点B在点A正东方向,且|eq \(AB,\s\up6(→))|=4,所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4,纵向小方格数为0,于是点B位置可以确定,画出向量eq \(AB,\s\up6(→))如图所示.
    (3)由于点C在点B北偏东30°处,且|eq \(BC,\s\up6(→))|=6,依据勾股定理可得在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3,纵向小方格数为3eq \r(3)≈5.2,于是点C位置可以确定,画出向量eq \(BC,\s\up6(→))如图所示.
    反思感悟 准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,然后根据向量的大小确定向量的终点.
    跟踪训练2 某人从A点出发向东走了5米到达B点,然后改变方向按东北方向走了10eq \r(2)米到达C点,到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点.
    (1)作出向量eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(BC,\s\up6(→)),eq \(CD,\s\up6(→));
    (2)求eq \(AD,\s\up6(→))的模.
    解 (1)作出向量eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(BC,\s\up6(→)),eq \(CD,\s\up6(→)),如图所示.
    (2)由题意得,△BCD是直角三角形,其中∠BDC=90°,BC=10eq \r(2)米,CD=10米,所以BD=10米.△ABD是直角三角形,其中∠ABD=90°,AB=5米,BD=10米,所以AD=eq \r(52+102)=5eq \r(5)(米),所以|eq \(AD,\s\up6(→))|=5eq \r(5)米.
    三、向量的相等与平行
    知识梳理
    注意点:
    向量平行与直线平行的区别.
    例3 (1)(多选)下列命题为真命题的是( )
    A.两个向量,当且仅当它们的起点相同,终点相同时才相等
    B.若平面上所有单位向量的起点移到同一个点,则其终点在同一个圆上
    C.在菱形ABCD中,一定有eq \(AB,\s\up6(→))=eq \(DC,\s\up6(→))
    D.a=b,b=c,则a=c
    答案 BCD
    解析 两个向量相等只要模相等且方向相同即可,而与起点和终点的位置无关,故A不正确;单位向量的长度为1,当所有单位向量的起点在同一点O时,终点都在以O为圆心,1为半径的圆上,故B正确;C,D显然正确.
    (2)如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心,且eq \(OA,\s\up6(→))=a,eq \(OB,\s\up6(→))=b,eq \(OC,\s\up6(→))=c.
    ①与a的长度相等、方向相反的向量有哪些?
    ②与a共线的向量有哪些?
    ③请一一列出与a,b,c相等的向量.
    解 ①与a的长度相等、方向相反的向量有eq \(OD,\s\up6(→)),eq \(BC,\s\up6(→)),eq \(AO,\s\up6(→)),eq \(FE,\s\up6(→)).
    ②与a共线的向量有eq \(EF,\s\up6(→)),eq \(BC,\s\up6(→)),eq \(OD,\s\up6(→)),eq \(FE,\s\up6(→)),eq \(CB,\s\up6(→)),eq \(DO,\s\up6(→)),eq \(AO,\s\up6(→)),eq \(DA,\s\up6(→)),eq \(AD,\s\up6(→)).
    ③与a相等的向量有eq \(EF,\s\up6(→)),eq \(DO,\s\up6(→)),eq \(CB,\s\up6(→));与b相等的向量有eq \(DC,\s\up6(→)),eq \(EO,\s\up6(→)),eq \(FA,\s\up6(→));与c相等的向量有eq \(FO,\s\up6(→)),eq \(ED,\s\up6(→)),eq \(AB,\s\up6(→)).
    反思感悟 寻找共线向量或相等的向量的方法
    (1)寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向与反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量.
    (2)寻找相等的向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向共线.
    跟踪训练3 (1)给出下列命题:
    ①若|a|=|b|,则a=b或a=-b;
    ②向量的模一定是正数;
    ③起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等的向量;
    ④向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))是共线向量,则A,B,C,D四点必在同一直线上.
    其中正确命题的序号是________.
    答案 ③
    解析 ①错误,由|a|=|b|仅说明a与b模相等,但不能说明它们方向的关系;
    ②错误,如|0|=0;③正确,对于一个向量只要不改变其大小和方向,是可以任意移动的;
    ④错误,共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求两个向量eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(CD,\s\up6(→))必须在同一直线上.
    (2)如图所示,四边形ABCD与ABDE是平行四边形.
    ①找出与向量eq \(AB,\s\up6(→))共线的向量;
    ②找出与向量eq \(AB,\s\up6(→))相等的向量.
    解 ①依据图形可知eq \(DC,\s\up6(→)),eq \(ED,\s\up6(→)),eq \(EC,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))方向相同,eq \(BA,\s\up6(→)),eq \(CD,\s\up6(→)),eq \(DE,\s\up6(→)),eq \(CE,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))方向相反,所以与向量eq \(AB,\s\up6(→))共线的向量为eq \(BA,\s\up6(→)),eq \(CD,\s\up6(→)),eq \(DC,\s\up6(→)),eq \(ED,\s\up6(→)),eq \(DE,\s\up6(→)),eq \(EC,\s\up6(→)),eq \(CE,\s\up6(→)).
    ②由四边形ABCD与ABDE是平行四边形,知eq \(DC,\s\up6(→)),eq \(ED,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))长度相等且方向相同,所以与向量eq \(AB,\s\up6(→))相等的向量为eq \(DC,\s\up6(→))和eq \(ED,\s\up6(→)).
    1.知识清单:
    (1)向量的概念的辨析.
    (2)向量的表示方法.
    (3)向量的相等与平行.
    2.方法归纳:定义法、数形结合法.
    3.常见误区:0的特殊性.共线向量不一定在一条直线上.

    1.下列结论正确的个数是( )
    ①温度含零上和零下温度,所以温度是向量;
    ②向量a与b不共线,则a与b都是非零向量;
    ③若|a|<|b|,则aA.0 B.1 C.2 D.3
    答案 B
    解析 ①温度没有方向,所以不是向量,故①错;③向量不可以比较大小,故③错;②若a,b中有一个为零向量,则a与b必共线,故a与b不共线,则应均为非零向量,故②对.
    2.如图所示,梯形ABCD为等腰梯形,则两腰上的向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(DC,\s\up6(→))的关系是( )
    A.eq \(AB,\s\up6(→))=eq \(DC,\s\up6(→)) B.|eq \(AB,\s\up6(→))|=|eq \(DC,\s\up6(→))|
    C.eq \(AB,\s\up6(→))>eq \(DC,\s\up6(→)) D.eq \(AB,\s\up6(→))答案 B
    解析 |eq \(AB,\s\up6(→))|与|eq \(DC,\s\up6(→))|表示等腰梯形两腰的长度,故相等.
    3.如图,在四边形ABCD中,eq \(AB,\s\up6(→))=eq \(DC,\s\up6(→)),则相等的向量是( )
    A.eq \(AD,\s\up6(→))与eq \(CB,\s\up6(→)) B.eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OC,\s\up6(→))
    C.eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(DB,\s\up6(→)) D.eq \(DO,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))
    答案 D
    解析 由eq \(AB,\s\up6(→))=eq \(DC,\s\up6(→))知四边形ABCD是平行四边形.由平行四边形的性质知,|eq \(DO,\s\up6(→))|=|eq \(OB,\s\up6(→))|,且方向相同,所以eq \(DO,\s\up6(→))=eq \(OB,\s\up6(→)).
    4.若向量a与任意向量b都平行,则a=________;若|a|=1,则向量a是________.
    答案 0 单位向量
    解析 由于只有零向量与任意向量平行,故a=0;由于|a|=1,即向量a的长度为1,所以向量a是单位向量.
    5.如图,△ABC和△A′B′C′是在各边的eq \f(1,3)处相交的两个全等的等边三角形,设△ABC的边长为a,图中列出了长度均为eq \f(a,3)的若干个向量,则:
    (1)与向量eq \(GH,\s\up6(→))相等的向量有________________________________________________;
    (2)与向量eq \(GH,\s\up6(→))共线,且模相等的向量有_______________________________________;
    (3)与向量eq \(EA,\s\up6(→))共线,且模相等的向量有________________________________________.
    答案 (1)eq \(LB′,\s\up6(—→)),eq \(HC,\s\up6(→))
    (2)eq \(EC′,\s\up6(—→)),eq \(LE,\s\up6(→)),eq \(LB′,\s\up6(—→)),eq \(GB,\s\up6(→)),eq \(HC,\s\up6(→))
    (3)eq \(EF,\s\up6(→)),eq \(FB,\s\up6(→)),eq \(HA′,\s\up6(—→)),eq \(HK,\s\up6(→)),eq \(KB′,\s\up6(—→))
    解析 向量相等⇔向量方向相同且模相等.向量共线⇔表示有向线段所在的直线平行或重合.
    1.(多选)给出下列命题,其中正确的命题为( )
    A.若a=b,则|a|=|b|
    B.若eq \(AB,\s\up6(→))=eq \(DC,\s\up6(→)),则A,B,C,D是一个平行四边形的四个顶点
    C.一个向量方向不确定当且仅当模为0
    D.若0∥a,0∥b,则a∥b
    答案 AC
    解析 对于A,a=b说明两向量大小相等,方向相同,故此命题正确;对于B,由eq \(AB,\s\up6(→))=eq \(DC,\s\up6(→)),可得|eq \(AB,\s\up6(→))|=|eq \(DC,\s\up6(→))|且eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(DC,\s\up6(→)),由于eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(DC,\s\up6(→)),A,B,C,D可能在同一条直线上,故此命题不正确;C正确;对于D,0与任意向量平行,故此命题不正确.
    2.如图,在圆O中,向量eq \(OB,\s\up6(→)),eq \(OC,\s\up6(→)),eq \(AO,\s\up6(→))是( )
    A.有相同起点的向量
    B.单位向量
    C.模相等的向量
    D.相等的向量
    答案 C
    解析 由题图可知三向量方向不同,但长度相等.
    3.如图所示,D为平行四边形ABPC两条对角线的交点,则eq \f(|\(PD,\s\up6(→))|,|\(AD,\s\up6(→))|)的值为( )
    A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.1 D.2
    答案 C
    解析 因为四边形ABPC是平行四边形,D为对角线BC与AP的交点,所以D为PA的中点,所以eq \f(|\(PD,\s\up6(→))|,|\(AD,\s\up6(→))|)的值为1.
    4.如图所示,在正三角形ABC中,P,Q,R分别是AB,BC,AC的中点,则与向量eq \(PQ,\s\up6(→))相等的向量是( )
    A.eq \(PR,\s\up6(→))与eq \(QR,\s\up6(→))
    B.eq \(AR,\s\up6(→))与eq \(RC,\s\up6(→))
    C.eq \(RA,\s\up6(→))与eq \(CR,\s\up6(→))
    D.eq \(PA,\s\up6(→))与eq \(QR,\s\up6(→))
    答案 B
    解析 向量相等要求模相等,方向相同,因此eq \(AR,\s\up6(→))与eq \(RC,\s\up6(→))都是和eq \(PQ,\s\up6(→))相等的向量.
    5.若|eq \(AB,\s\up6(→))|=|eq \(AD,\s\up6(→))|且eq \(BA,\s\up6(→))=eq \(CD,\s\up6(→)),则四边形ABCD的形状为( )
    A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形
    答案 C
    解析 由eq \(BA,\s\up6(→))=eq \(CD,\s\up6(→)),知AB=CD且AB∥CD,即四边形ABCD为平行四边形.又因为|eq \(AB,\s\up6(→))|=|eq \(AD,\s\up6(→))|,所以四边形ABCD为菱形.
    6.把同一平面内所有模不小于1,不大于2的向量的始点移到同一点O,则这些向量的终点构成的图形的面积等于________.
    答案 3π
    解析 这些向量的终点构成的图形是一个圆环,其面积为π·22-π·12=3π.
    7.设O为正六边形ABCDEF的中心,在如图所示标出的向量中,与eq \(FE,\s\up6(→))共线的向量有________.
    答案 eq \(OA,\s\up6(→)),eq \(BC,\s\up6(→))
    解析 根据正六边形的性质,FE∥AO∥BC且共线向量可以同向也可以异向,故图中与eq \(FE,\s\up6(→))共线的向量为eq \(OA,\s\up6(→)),eq \(BC,\s\up6(→)).
    8.已知在边长为2的菱形ABCD中,∠ABC=60°,则|eq \(BD,\s\up6(→))|=________.
    答案 2eq \r(3)
    解析 由题意知AC⊥BD,且∠ABD=30°,
    设AC与BD的交点为O,
    ∴在Rt△ABO中,|eq \(BO,\s\up6(→))|=|eq \(AB,\s\up6(→))|·cs 30°=2×eq \f(\r(3),2)=eq \r(3),
    ∴|eq \(BD,\s\up6(→))|=2|eq \(BO,\s\up6(→))|=2eq \r(3).
    9.一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点,然后又改变方向,向北偏西40°的方向走了200 km到达C点,最后又改变方向,向东行驶了100 km到达D点.
    (1)作出向量eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(BC,\s\up6(→)),eq \(CD,\s\up6(→));
    (2)求|eq \(AD,\s\up6(→))|.
    解 (1)向量eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(BC,\s\up6(→)),eq \(CD,\s\up6(→))如图所示.
    (2)由题意,可知eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))方向相反,
    故eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))共线,
    ∵|eq \(AB,\s\up6(→))|=|eq \(CD,\s\up6(→))|,
    ∴在四边形ABCD中,AB∥CD且AB=CD,
    ∴四边形ABCD为平行四边形,
    ∴eq \(AD,\s\up6(→))=eq \(BC,\s\up6(→)),∴|eq \(AD,\s\up6(→))|=|eq \(BC,\s\up6(→))|=200(km).
    10.如图所示,已知在四边形ABCD中,M,N分别是BC,AD的中点,又eq \(AB,\s\up6(→))=eq \(DC,\s\up6(→))且eq \(CN,\s\up6(→))=eq \(MA,\s\up6(→)),求证:eq \(DN,\s\up6(→))=eq \(MB,\s\up6(→)).
    证明 因为eq \(AB,\s\up6(→))=eq \(DC,\s\up6(→)),
    所以|eq \(AB,\s\up6(→))|=|eq \(DC,\s\up6(→))|且AB∥DC,
    所以四边形ABCD是平行四边形,
    所以|eq \(DA,\s\up6(→))|=|eq \(CB,\s\up6(→))|且DA∥CB.
    又因为eq \(DA,\s\up6(→))与eq \(CB,\s\up6(→))的方向相同,所以eq \(CB,\s\up6(→))=eq \(DA,\s\up6(→)).
    同理可证,四边形CNAM是平行四边形,
    所以eq \(CM,\s\up6(→))=eq \(NA,\s\up6(→)).
    因为|eq \(CB,\s\up6(→))|=|eq \(DA,\s\up6(→))|,|eq \(CM,\s\up6(→))|=|eq \(NA,\s\up6(→))|,
    所以|eq \(MB,\s\up6(→))|=|eq \(DN,\s\up6(→))|.
    又eq \(DN,\s\up6(→))与eq \(MB,\s\up6(→))的方向相同,所以eq \(DN,\s\up6(→))=eq \(MB,\s\up6(→)).
    11.下列结论中,正确的是( )
    A.2 022 cm长的线段不可能表示单位向量
    B.若O是直线l上的一点,单位长度选定,则l上有且只有两点A,B,使得eq \(OA,\s\up6(→)),eq \(OB,\s\up6(→))是单位向量
    C.方向为北偏西50°的向量与东偏南40°的向量不可能是平行向量
    D.一个人从点A向东走500米到达点B,则向量eq \(AB,\s\up6(→))不可能表示这个人从点A到点B的位移
    答案 B
    解析 一个单位长度取2 022 cm时,2 022 cm长的有向线段刚好表示单位向量,故A错误;方向为北偏西50°的向量与东偏南40°的向量是平行向量,故C错误;位移既有大小又有方向,可以用向量表示,故D错误.
    12.(多选)如图,在菱形ABCD中,∠DAB=120°,则以下说法正确的是( )
    A.与eq \(AB,\s\up6(→))相等的向量只有一个(不含eq \(AB,\s\up6(→)))
    B.与eq \(AB,\s\up6(→))模相等的向量有9个(不含eq \(AB,\s\up6(→)))
    C.eq \(BD,\s\up6(→))的模恰好为eq \(DA,\s\up6(→))的模的eq \r(3)倍
    D.eq \(CB,\s\up6(→))与eq \(DA,\s\up6(→))不共线
    答案 ABC
    解析 与eq \(AB,\s\up6(→))相等的向量只有eq \(DC,\s\up6(→)),故A说法正确;在菱形ABCD中,AC=AB=BC=CD=DA,每一条线段可得方向相反的两个向量,它们的模都相等,故有5×2-1=9(个),故B说法正确;计算得DO=eq \f(\r(3),2)DA,所以BD=eq \r(3)DA,即|eq \(BD,\s\up6(→))|=eq \r(3)|eq \(DA,\s\up6(→))|,故C说法正确;由AD∥BC知eq \(CB,\s\up6(→))与eq \(DA,\s\up6(→))共线,故D说法错误.
    13.(多选)给出下列四个条件,其中能使a∥b成立的条件是( )
    A.a=b B.|a|=|b|
    C.a与b方向相反 D.|a|=0或|b|=0
    答案 ACD
    解析 A中若a=b,则a与b大小相等且方向相同,所以a∥b;B中若|a|=|b|,则a与b的大小相等,而方向不确定,因此不一定有a∥b;C中方向相同或相反的向量都是平行向量,因此若a与b方向相反,则有a∥b;D中零向量与任意向量平行,所以若|a|=0或|b|=0,则a∥b.
    14.如图,O是正三角形ABC的中心,四边形AOCD和AOBE均为平行四边形,则与向量eq \(AD,\s\up6(→))相等的向量为________;与向量eq \(OA,\s\up6(→))共线的向量为________;与向量eq \(OA,\s\up6(→))的模相等的向量为________.(填图中所画出的向量)
    答案 eq \(OC,\s\up6(→)) eq \(DC,\s\up6(→)),eq \(EB,\s\up6(→)) eq \(OB,\s\up6(→)),eq \(OC,\s\up6(→)),eq \(DC,\s\up6(→)),eq \(EB,\s\up6(→)),eq \(AD,\s\up6(→))
    解析 ∵O是正三角形ABC的中心,∴OA=OB=OC,易知四边形AOCD和四边形AOBE均为菱形,∴与eq \(AD,\s\up6(→))相等的向量为eq \(OC,\s\up6(→));与eq \(OA,\s\up6(→))共线的向量为eq \(DC,\s\up6(→)),eq \(EB,\s\up6(→));与eq \(OA,\s\up6(→))的模相等的向量为eq \(OB,\s\up6(→)),eq \(OC,\s\up6(→)),eq \(DC,\s\up6(→)),eq \(EB,\s\up6(→)),eq \(AD,\s\up6(→)).
    15.如图,在矩形ABCD中,点E为BC边的中点,∠AEC的角平分线交AD边于点F,若向量|eq \(AB,\s\up6(→))|=3,|eq \(AD,\s\up6(→))|=8,则|eq \(FD,\s\up6(→))|=________.
    答案 3
    解析 在矩形ABCD中,AD∥BC,AD=BC=8,
    因为E为BC的中点,所以BE=eq \f(1,2)BC=eq \f(1,2)×8=4,
    在Rt△ABE中,AE=eq \r(AB2+BE2)=eq \r(32+42)=5,
    因为EF是∠AEC的角平分线,
    所以∠AEF=∠CEF,
    因为AD∥BC,所以∠AFE=∠CEF,
    所以∠AEF=∠AFE,
    所以AE=AF,
    所以|eq \(FD,\s\up6(→))|=|eq \(AD,\s\up6(→))|-|eq \(AF,\s\up6(→))|=8-5=3.
    16.如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成,方格纸中有两个定点A,B,点C为小正方形的顶点,且 |eq \(AC,\s\up6(→))|=eq \r(5).
    (1)画出所有的向量eq \(AC,\s\up6(→));
    (2)求|eq \(BC,\s\up6(→))|的最大值与最小值.
    解 (1)画出所有的向量eq \(AC,\s\up6(→)),如图所示.
    (2)由(1)所画的图知,
    ①当点C位于点C1或C2时,
    |eq \(BC,\s\up6(→))|取得最小值eq \r(12+22)=eq \r(5);
    ②当点C位于点C5或C6时,
    |eq \(BC,\s\up6(→))|取得最大值eq \r(42+52)=eq \r(41).
    所以|eq \(BC,\s\up6(→))|的最大值为eq \r(41),最小值为eq \r(5).名称
    定义
    表示方法
    零向量
    始点和终点相同的向量
    0
    单位向量
    模等于1的向量
    平行向量(共线向量)
    如果两个非零向量的方向相同或者相反,则称这两个向量平行;两个向量a和b平行,记作a∥b,规定:零向量与任意向量平行
    相等的向量
    一般地,把大小相等、方向相同的向量称为相等的向量;向量a和b相等,记作a=b
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