人教B版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量初步6.1 平面向量及其线性运算6.1.1 向量的概念一课一练

这是一份人教B版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量初步6.1 平面向量及其线性运算6.1.1 向量的概念一课一练，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．(多选题)下列说法错误的是( )
A．向量eq \(AB,\s\up7(→))∥eq \(CD,\s\up7(→))就是eq \(AB,\s\up7(→))所在的直线平行于eq \(CD,\s\up7(→))所在的直线
B．长度相等的向量叫相等向量
C．零向量长度等于0
D．共线向量是在一条直线上的向量
ABD [向量eq \(AB,\s\up7(→))∥eq \(CD,\s\up7(→))包含eq \(AB,\s\up7(→))所在的直线与eq \(CD,\s\up7(→))所在的直线平行或重合两种情况，故A错误；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B错误；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错误．]
2．下列结论正确的是( )
A．向量必须用有向线段来表示
B．表示一个向量的有向线段是唯一的
C．有向线段eq \(AB,\s\up7(→))和eq \(BA,\s\up7(→))是同一向量
D．有向线段eq \(AB,\s\up7(→))和eq \(BA,\s\up7(→))的大小相等
D [向量除了可以用有向线段表示以外，还可用坐标或字母表示，所以选项A错误；向量为自由向量，只要大小相等，方向相同就为同一个向量，而与它的具体位置无关，所以表示一个向量的有向线段不是唯一的，选项B错误；有向线段eq \(AB,\s\up7(→))和eq \(BA,\s\up7(→))的方向相反，大小相等，不为同一向量，所以选项C错误，D项正确．]
3．如图，设O是正方形ABCD的中心，则：①eq \(AO,\s\up7(→))＝eq \(OC,\s\up7(→))；②eq \(AO,\s\up7(→))∥eq \(AC,\s\up7(→))；③eq \(AB,\s\up7(→))与eq \(CD,\s\up7(→))共线；④eq \(AO,\s\up7(→))＝eq \(BO,\s\up7(→)).下列选项正确的是( )
A．①②④ B．①③④
C．①②③D．②③④
C [eq \(AO,\s\up7(→))与eq \(OC,\s\up7(→))方向相同，大小相等，所以①正确；eq \(AO,\s\up7(→))与eq \(AC,\s\up7(→))方向相同，所以eq \(AO,\s\up7(→))∥eq \(AC,\s\up7(→))，所以②正确；因为AB∥CD，所以eq \(AB,\s\up7(→))与eq \(CD,\s\up7(→))共线，③正确；因为eq \(AO,\s\up7(→))与eq \(BO,\s\up7(→))方向不同，所以eq \(AO,\s\up7(→))＝eq \(BO,\s\up7(→))错误．故选C．]
4．如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，图中与eq \(CA,\s\up7(→))共线的向量有( )
A．1个B．2个
C．3个D．4个
C [与eq \(CA,\s\up7(→))共线的有eq \(AC,\s\up7(→))，eq \(DF,\s\up7(→))，eq \(FD,\s\up7(→)).]
5．若|eq \(AB,\s\up7(→))|＝|eq \(AD,\s\up7(→))|且eq \(BA,\s\up7(→))＝eq \(CD,\s\up7(→))，则四边形ABCD的形状为( )
A．平行四边形B．矩形
C．菱形D．等腰梯形
C [由eq \(BA,\s\up7(→))＝eq \(CD,\s\up7(→))，可知四边形ABCD为平行四边形，又因为|eq \(AB,\s\up7(→))|＝|eq \(AD,\s\up7(→))|，所以四边形ABCD为菱形．]
二、填空题
6．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量eq \(AB,\s\up7(→))是平行向量，与eq \(BC,\s\up7(→))是共线向量，则m＝________.
0 [因为A，B，C三点不共线，所以eq \(AB,\s\up7(→))与eq \(BC,\s\up7(→))不共线，又因为m∥eq \(AB,\s\up7(→))且m∥eq \(BC,\s\up7(→))，所以m＝0.]
7．给出以下四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的是________．(填序号)
①③④ [共线向量指的是方向相同或相反的向量，它只涉及方向，不涉及大小．很明显符合要求的只有①③④.]
8．如图所示，已知AD＝3，B，C是线段AD的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点，模长度大于1的向量有________．
eq \(AC,\s\up7(→))，eq \(CA,\s\up7(→))，eq \(BD,\s\up7(→))，eq \(DB,\s\up7(→))，eq \(AD,\s\up7(→))，eq \(DA,\s\up7(→)) [满足条件的向量有以下几类：
模长为2的向量有：eq \(AC,\s\up7(→))，eq \(CA,\s\up7(→))，eq \(BD,\s\up7(→))，eq \(DB,\s\up7(→))；
模长为3的向量有：eq \(AD,\s\up7(→))，eq \(DA,\s\up7(→)).]
三、解答题
9．在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
(1)eq \(OA,\s\up7(→))，使|eq \(OA,\s\up7(→))|＝4eq \r(2)，点A在点O北偏东45°；
(2)eq \(AB,\s\up7(→))，使|eq \(AB,\s\up7(→))|＝4，点B在点A正东；
(3)eq \(BC,\s\up7(→))，使|eq \(BC,\s\up7(→))|＝6，点C在点B北偏东30°.
[解] (1)由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|eq \(OA,\s\up7(→))|＝4eq \r(2)，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量eq \(OA,\s\up7(→))如图所示．
(2)由于点B在点A正东方向处，且|eq \(AB,\s\up7(→))|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量eq \(AB,\s\up7(→))如图所示．
(3)由于点C在点B北偏东30°处，且|eq \(BC,\s\up7(→))|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3eq \r(3)≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量eq \(BC,\s\up7(→))如图所示．
10．如图所示，已知四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，又eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \(DC,\s\up7(→))且eq \(CN,\s\up7(→))＝eq \(MA,\s\up7(→))，求证：eq \(DN,\s\up7(→))＝eq \(MB,\s\up7(→)).
[证明] 因为eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \(DC,\s\up7(→))，
所以|eq \(AB,\s\up7(→))|＝|eq \(DC,\s\up7(→))|且AB∥DC，
所以四边形ABCD是平行四边形，
所以|eq \(DA,\s\up7(→))|＝|eq \(CB,\s\up7(→))|且DA∥CB．
又因为eq \(DA,\s\up7(→))与eq \(CB,\s\up7(→))的方向相同，所以eq \(CB,\s\up7(→))＝eq \(DA,\s\up7(→)).
同理可证，四边形CNAM是平行四边形，所以eq \(CM,\s\up7(→))＝eq \(NA,\s\up7(→)).
因为|eq \(CB,\s\up7(→))|＝|eq \(DA,\s\up7(→))|，|eq \(CM,\s\up7(→))|＝|eq \(NA,\s\up7(→))|，所以|eq \(MB,\s\up7(→))|＝|eq \(DN,\s\up7(→))|.
又eq \(DN,\s\up7(→))与eq \(MB,\s\up7(→))的方向相同，所以eq \(DN,\s\up7(→))＝eq \(MB,\s\up7(→)).
11．在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，关于四边及对角线所在的向量，以下说法错误的是( )
A．与eq \(AB,\s\up7(→))相等的向量只有一个(不含eq \(AB,\s\up7(→)))
B．与eq \(AB,\s\up7(→))的模相等的向量有9个(不含eq \(AB,\s\up7(→)))
C．eq \(BD,\s\up7(→))的模恰为eq \(DA,\s\up7(→))模的eq \r(3)倍
D．eq \(CB,\s\up7(→))与eq \(DA,\s\up7(→))不共线
D [两向量相等要求长度(模)相等，方向相同．两向量共线只要求方向相同或相反．D中eq \(CB,\s\up7(→))，eq \(DA,\s\up7(→))所在直线平行，向量方向相同，故共线．]
12．下列结论中，正确的是( )
A．2 020 cm长的线段不可能表示单位向量
B．若O是直线l上的一点，单位长度选定，则l上有且只有两点A，B，使得eq \(OA,\s\up7(→))，eq \(OB,\s\up7(→))是单位向量
C．方向为北偏西50°的向量与东偏南40°的向量不可能是平行向量
D．一个人从点A向东走500米到达B点，则向量eq \(AB,\s\up7(→))不可能表示这个人从点A到点B的位移
B [一个单位长度取2 020 cm时，2 020 cm长的有向线段刚好表示单位向量，故A错误；方向为北偏西50°的向量与东偏南40°的向量是平行的，故C错误；位移既有大小又有方向，可以用向量表示，故D错误．]
13．下列说法错误的有________．(填上你认为所有符合的序号)
(1)两个单位向量不可能平行；
(2)两个非零向量平行，则它们所在直线平行；
(3)当两个向量a，b共线且方向相同时，若|a|＞|b|，则a＞b.
(1)(2)(3) [(1)错误，单位向量也可以平行；
(2)错误，两个非零向量平行，则它们所在直线还可能重合；
(3)错误，两个向量是不能比较大小的，只有模可以比较大小．]
14.如图所示，E1，E2，F1，F2，G1，G2，H1，H2分别是矩形ABCD所在边上的三等分点，若|eq \(AB,\s\up7(→))|＝6，|eq \(AD,\s\up7(→))|＝3，则以图中16个点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，模等于2且与eq \(AB,\s\up7(→))平行的向量有________个，模等于1的向量有________个，模等于eq \r(5)的向量有________个．
24 24 36 [与eq \(AB,\s\up7(→))平行包括与eq \(AB,\s\up7(→))同向和反向，因而模等于2且与eq \(AB,\s\up7(→))平行的向量个数为12×2＝24，模等于1的向量有12×2＝24个，模等于eq \r(5)的向量有9×4＝36个．]
15．如图所示，已知eq \(AA′,\s\up7(→))＝eq \(BB′,\s\up7(→))＝eq \(CC′,\s\up7(→)).求证：

(1)△ABC≌△A′B′C；
(2)eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \(A′B′,\s\up7(→))，eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \(A′C′,\s\up7(→)).
[证明] (1)∵eq \(AA′,\s\up7(→))＝eq \(BB′,\s\up7(→))，
∴|eq \(AA′,\s\up7(→))|＝|eq \(BB′,\s\up7(→))|，且eq \(AA′,\s\up7(→))∥eq \(BB′,\s\up7(→)).
又∵A不在eq \(BB′,\s\up7(→))上，∴AA′∥BB′.
∴四边形AA′B′B是平行四边形．
∴|eq \(AB,\s\up7(→))|＝|eq \(A′B′,\s\up7(→))|.
同理|eq \(AC,\s\up7(→))|＝|eq \(A′C′,\s\up7(→))|，|eq \(BC,\s\up7(→))|＝|eq \(B′C′,\s\up7(→))|.
∴△ABC≌△A′B′C′.
(2)由(1)知四边形AA′B′B是平行四边形，
∴eq \(AB,\s\up7(→))∥eq \(A′B′,\s\up7(→))，且|eq \(AB,\s\up7(→))|＝|eq \(A′B′,\s\up7(→))|.
∴eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \(A′B′,\s\up7(→)).同理可证eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \(A′C′,\s\up7(→)).