高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.1.1 向量的概念导学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.1.1 向量的概念导学案，共12页。学案主要包含了向量的有关概念，向量的表示及其应用，相等向量与共线向量等内容，欢迎下载使用。

6.1.1 向量的概念
学习目标 1.理解向量、零向量、向量模的意义.2.掌握向量的几何表示，会用字母表示向量，用向量表示点的位置.3.了解平行向量、共线向量和相等向量的意义，并会判断向量间共线(平行)、相等的关系．
知识点一 向量及其表示
1．定义
既有大小又有方向的量叫做向量．
2．有向线段
具有方向和长度的线段叫做有向线段．其方向是由起点指向终点，以A为起点、B为终点的有向线段记作eq \(AB,\s\up6(→))，线段AB的长度也叫做有向线段eq \(AB,\s\up6(→))的长度，记作|eq \(AB,\s\up6(→))|.
3．向量的长度
|eq \(AB,\s\up6(→))|(或|a|)表示向量eq \(AB,\s\up6(→))(或a)的大小，即长度(也称模)．
4．向量的表示法
(1)向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．
(2)向量也可以用加粗的斜体小写字母如a，b，c，…来表示．
知识点二 向量的有关概念
1．零向量没有方向．( × )
2．向量eq \(AB,\s\up6(→))的长度和向量eq \(BA,\s\up6(→))的模相等．( √ )
3．单位向量都平行．( × )
4．零向量与任意向量都平行．( √ )
一、向量的有关概念
例1 (多选)下列命题为真命题的是( )
A．两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相等
B．若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上
C．在菱形ABCD中，一定有eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))
D．a＝b，b＝c，则a＝c
答案 BCD
解析 两个向量相等只要模相等且方向相同即可，而与起点和终点的位置无关，故A不正确；单位向量的长度为1，当所有单位向量的起点在同一点O时，终点都在以O为圆心，1为半径的圆上，故B正确；C，D显然正确．
反思感悟 解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题．
跟踪训练1 给出下列命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
②向量的模一定是正数；
③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
④向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上．
其中正确命题的序号是________．
答案 ③
解析 ①错误，由|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系；
②错误，如|0|＝0；③正确，对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的；
④错误，共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))必须在同一直线上．
二、向量的表示及其应用
例2 在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
(1)eq \(OA,\s\up6(→))，使|eq \(OA,\s\up6(→))|＝4eq \r(2)，点A在点O北偏东45°；
(2)eq \(AB,\s\up6(→))，使|eq \(AB,\s\up6(→))|＝4，点B在点A正东；
(3)eq \(BC,\s\up6(→))，使|eq \(BC,\s\up6(→))|＝6，点C在点B北偏东30°.
解 (1)由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|eq \(OA,\s\up6(→))|＝4eq \r(2)，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量eq \(OA,\s\up6(→))如图所示．
(2)由于点B在点A正东方向处，且|eq \(AB,\s\up6(→))|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量eq \(AB,\s\up6(→))如图所示．
(3)由于点C在点B北偏东30°处，且|eq \(BC,\s\up6(→))|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3eq \r(3)≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量eq \(BC,\s\up6(→))如图所示．
反思感悟 准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．
跟踪训练2 某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了10eq \r(2)米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．
(1)作出向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))；
(2)求eq \(AD,\s\up6(→))的模．
解 (1)作出向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))，如图所示．
(2)由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10eq \r(2)米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝eq \r(52＋102)＝5eq \r(5)(米)，所以|eq \(AD,\s\up6(→))|＝5eq \r(5)米．
三、相等向量与共线向量
例3 如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c.
(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？
(2)与a共线的向量有哪些？
(3)请一一列出与a，b，c相等的向量．
解 (1)与a的长度相等、方向相反的向量有eq \(OD,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(AO,\s\up6(→))，eq \(FE,\s\up6(→)).
(2)与a共线的向量有eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(OD,\s\up6(→))，eq \(FE,\s\up6(→))，eq \(CB,\s\up6(→))，eq \(DO,\s\up6(→))，eq \(AO,\s\up6(→))，eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→)).
(3)与a相等的向量有eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(DO,\s\up6(→))，eq \(CB,\s\up6(→))；与b相等的向量有eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(EO,\s\up6(→))，eq \(FA,\s\up6(→))；与c相等的向量有eq \(FO,\s\up6(→))，eq \(ED,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→)).
反思感悟 寻找共线向量或相等向量的方法
(1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．
(2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．
跟踪训练3 如图所示，四边形ABCD与ABDE是平行四边形．
(1)找出与向量eq \(AB,\s\up6(→))共线的向量；
(2)找出与向量eq \(AB,\s\up6(→))相等的向量．
解 (1)依据图形可知eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(ED,\s\up6(→))，eq \(EC,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))方向相同，eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))，eq \(DE,\s\up6(→))，eq \(CE,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))方向相反，所以与向量eq \(AB,\s\up6(→))共线的向量为eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(ED,\s\up6(→))，eq \(DE,\s\up6(→))，eq \(EC,\s\up6(→))，eq \(CE,\s\up6(→)).
(2)由四边形ABCD与ABDE是平行四边形，知eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(ED,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))长度相等且方向相同，所以与向量eq \(AB,\s\up6(→))相等的向量为eq \(DC,\s\up6(→))和eq \(ED,\s\up6(→)).
1．下列结论正确的个数是( )
①温度含零上和零下温度，所以温度是向量；
②向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；
③若|a|<|b|，则aA．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 ①温度没有方向，所以不是向量，故①错；③向量不可以比较大小，故③错；②若a，b中有一个为零向量，则a与b必共线，故a与b不共线，则应均为非零向量，故②对．
2．如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(DC,\s\up6(→))的关系是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→)) B．|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(DC,\s\up6(→))|
C.eq \(AB,\s\up6(→))>eq \(DC,\s\up6(→)) D.eq \(AB,\s\up6(→))答案 B
解析 |eq \(AB,\s\up6(→))|与|eq \(DC,\s\up6(→))|表示等腰梯形两腰的长度，故相等．
3．如图，在四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，则相等的向量是( )
A.eq \(AD,\s\up6(→))与eq \(CB,\s\up6(→)) B.eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OC,\s\up6(→))
C.eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(DB,\s\up6(→)) D.eq \(DO,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))
答案 D
解析 由eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))知四边形ABCD是平行四边形．由平行四边形的性质知，|eq \(DO,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|，且方向相同，所以eq \(DO,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→)).
4．若向量a与任意向量b都平行，则a＝________；若|a|＝1，则向量a是________．
答案 0 单位向量
解析 由于只有零向量与任意向量平行，故a＝0；由于|a|＝1，即向量a的长度为1，所以向量a是单位向量．
5．如图，△ABC和△A′B′C′是在各边的eq \f(1,3)处相交的两个全等的等边三角形，设△ABC的边长为a，图中列出了长度均为eq \f(a,3)的若干个向量，则：
(1)与向量eq \(GH,\s\up6(→))相等的向量有____________________________________________________；
(2)与向量eq \(GH,\s\up6(→))共线，且模相等的向量有__________________________________________；
(3)与向量eq \(EA,\s\up6(→))共线，且模相等的向量有___________________________________________．
答案 (1)eq \(LB′,\s\up6(——→))，eq \(HC,\s\up6(→))
(2)eq \(EC′,\s\up6(——→))，eq \(LE,\s\up6(→))，eq \(LB′,\s\up6(——→))，eq \(GB,\s\up6(→))，eq \(HC,\s\up6(→))
(3)eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(FB,\s\up6(→))，eq \(HA′,\s\up6(——→))，eq \(HK,\s\up6(→))，eq \(KB′,\s\up6(——→))
解析 向量相等⇔向量方向相同且模相等．向量共线⇔表示有向线段所在的直线平行或重合．
1．知识清单：
(1)向量的概念的辨析．
(2)向量的相等与平行．
(3)向量的表示方法．
2．方法归纳：定义法、数形结合法．
3．常见误区：0的特殊性．共线向量不一定在一条直线上．
1．下列说法正确的是( )
A．向量eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(CD,\s\up6(→))就是eq \(AB,\s\up6(→))所在的直线平行于eq \(CD,\s\up6(→))所在的直线
B．长度相等的向量叫做相等向量
C．若a＝b，c＝b，则|a|＝|c|
D．共线向量是在一条直线上的向量
答案 C
解析 向量eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(CD,\s\up6(→))包含eq \(AB,\s\up6(→))所在的直线与eq \(CD,\s\up6(→))所在的直线平行和重合两种情况，故A错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B错；C显然正确；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错．
2.如图，在圆O中，向量eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))，eq \(AO,\s\up6(→))是( )
A．有相同起点的向量
B．单位向量
C．模相等的向量
D．相等向量
答案 C
解析 由题图可知三向量方向不同，但长度相等．
3.如图所示，D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则eq \f(|\(PD,\s\up6(→))|,|\(AD,\s\up6(→))|)的值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C．1 D．2
答案 C
解析 因为四边形ABPC是平行四边形，D为对角线BC与AP的交点，所以D为PA的中点，所以eq \f(|\(PD,\s\up6(→))|,|\(AD,\s\up6(→))|)的值为1.
4.如图所示，在正三角形ABC中，P，Q，R分别是AB，BC，AC的中点，则与向量eq \(PQ,\s\up6(→))相等的向量是( )
A.eq \(PR,\s\up6(→))与eq \(QR,\s\up6(→))B.eq \(AR,\s\up6(→))与eq \(RC,\s\up6(→))
C.eq \(RA,\s\up6(→))与eq \(CR,\s\up6(→))D.eq \(PA,\s\up6(→))与eq \(QR,\s\up6(→))
答案 B
解析 向量相等要求模相等，方向相同，因此eq \(AR,\s\up6(→))与eq \(RC,\s\up6(→))都是和eq \(PQ,\s\up6(→))相等的向量．
5．若|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AD,\s\up6(→))|且eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))，则四边形ABCD的形状为( )
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
答案 C
解析 由eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))，知AB＝CD且AB∥CD，即四边形ABCD为平行四边形．又因为|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AD,\s\up6(→))|，所以四边形ABCD为菱形．
6．把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的始点移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形的面积等于________．
答案 3π
解析 这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π·22－π·12＝3π.
7.设O为正六边形ABCDEF的中心，在如图所示标出的向量中，与eq \(FE,\s\up6(→))共线的向量有________．
答案 eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))
解析 根据正六边形的性质，FE∥AO∥BC且共线向量可以同向也可以异向，故图中与eq \(FE,\s\up6(→))共线的向量为eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→)).
8．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则|eq \(BD,\s\up6(→))|＝________.
答案 2eq \r(3)
解析 由题意知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，
设AC与BD的交点为O，
∴在Rt△ABO中，|eq \(BO,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))|·cs 30°＝2×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3)，
∴|eq \(BD,\s\up6(→))|＝2|eq \(BO,\s\up6(→))|＝2eq \r(3).
9．一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向北偏西40°的方向走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点．
(1)作出向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))；
(2)求|eq \(AD,\s\up6(→))|.
解 (1)向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))如图所示．
(2)由题意，可知eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))方向相反，故eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))共线，
∵|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(CD,\s\up6(→))|，∴在四边形ABCD中，AB∥CD且AB＝CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，∴|eq \(AD,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|＝200 km.
10.如图所示，已知四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，又eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))且eq \(CN,\s\up6(→))＝eq \(MA,\s\up6(→))，求证：eq \(DN,\s\up6(→))＝eq \(MB,\s\up6(→)).
证明 因为eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，所以|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(DC,\s\up6(→))|且AB∥DC，
所以四边形ABCD是平行四边形，
所以|eq \(DA,\s\up6(→))|＝|eq \(CB,\s\up6(→))|且DA∥CB.
又因为eq \(DA,\s\up6(→))与eq \(CB,\s\up6(→))的方向相同，所以eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(DA,\s\up6(→)).
同理可证，四边形CNAM是平行四边形，所以eq \(CM,\s\up6(→))＝eq \(NA,\s\up6(→)).
因为|eq \(CB,\s\up6(→))|＝|eq \(DA,\s\up6(→))|，|eq \(CM,\s\up6(→))|＝|eq \(NA,\s\up6(→))|，所以|eq \(MB,\s\up6(→))|＝|eq \(DN,\s\up6(→))|.
又eq \(DN,\s\up6(→))与eq \(MB,\s\up6(→))的方向相同，所以eq \(DN,\s\up6(→))＝eq \(MB,\s\up6(→)).
11．下列结论中，正确的是( )
A．2 020 cm长的线段不可能表示单位向量
B．若O是直线l上的一点，单位长度选定，则l上有且只有两点A，B，使得eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))是单位向量
C．方向为北偏西50°的向量与东偏南40°的向量不可能是平行向量
D．一个人从点A向东走500米到达B点，则向量eq \(AB,\s\up6(→))不可能表示这个人从点A到点B的位移
答案 B
解析 一个单位长度取2 020 cm时，2 020 cm长的有向线段刚好表示单位向量，故A错误；方向为北偏西50°的向量与东偏南40°的向量是平行向量，故C错误；位移既有大小又有方向，可以用向量表示，故D错误．
12.(多选)如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则以下说法正确的是( )
A．与eq \(AB,\s\up6(→))相等的向量只有一个(不含eq \(AB,\s\up6(→)))
B．与eq \(AB,\s\up6(→))的模相等的向量有9个(不含eq \(AB,\s\up6(→)))
C．eq \(BD,\s\up6(→))的模恰好为eq \(DA,\s\up6(→))的模的eq \r(3)倍
D．eq \(CB,\s\up6(→))与eq \(DA,\s\up6(→))不共线
答案 ABC
解析 与eq \(AB,\s\up6(→))相等的向量只有eq \(DC,\s\up6(→))，故A说法正确；在菱形ABCD中，AC＝AB＝BC＝CD＝DA，每一条线段可得方向相反的两个向量，它们的模都相等，故有5×2－1＝9(个)，故B说法正确；计算得DO＝eq \f(\r(3),2)DA，所以BD＝eq \r(3)DA，即|eq \(BD,\s\up6(→))|＝eq \r(3)|eq \(DA,\s\up6(→))|，故C说法正确；由AD∥BC知eq \(CB,\s\up6(→))与eq \(DA,\s\up6(→))共线，故D说法错误．
13．给出下列四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的条件是________．(填序号)
答案 ①③④
解析 若a＝b，则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b；若|a|＝|b|，则a与b的大小相等，而方向不确定，因此不一定有a∥b；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a与b方向相反，则有a∥b；零向量与任意向量平行，所以若|a|＝0或|b|＝0，则a∥b.
14.如图，O是正三角形ABC的中心，四边形AOCD和AOBE均为平行四边形，则与向量eq \(AD,\s\up6(→))相等的向量为________；与向量eq \(OA,\s\up6(→))共线的向量为________；与向量eq \(OA,\s\up6(→))的模相等的向量为________．(填图中所画出的向量)
答案 eq \(OC,\s\up6(→)) eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(EB,\s\up6(→)) eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(EB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))
解析 ∵O是正三角形ABC的中心，∴OA＝OB＝OC，易知四边形AOCD和四边形AOBE均为菱形，∴与eq \(AD,\s\up6(→))相等的向量为eq \(OC,\s\up6(→))；与eq \(OA,\s\up6(→))共线的向量为eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(EB,\s\up6(→))；与eq \(OA,\s\up6(→))的模相等的向量为eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(EB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→)).
15.如图，在矩形ABCD中，点E为BC边的中点，∠AEC的平分线交AD边于点F，若向量|eq \(AB,\s\up6(→))|＝3，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝8，则|eq \(FD,\s\up6(→))|＝________.
答案 3
解析 在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝8，
因为E为BC的中点，所以BE＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(1,2)×8＝4，
在Rt△ABE中，AE＝eq \r(AB2＋BE2)＝eq \r(32＋42)＝5，
因为EF是∠AEC的平分线，所以∠AEF＝∠CEF，
因为AD∥BC，所以∠AFE＝∠CEF，
所以∠AEF＝∠AFE，所以AE＝AF，
所以|eq \(FD,\s\up6(→))|＝|eq \(AD,\s\up6(→))|－|eq \(AF,\s\up6(→))|＝8－5＝3.
16.如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(5).
(1)画出所有的向量eq \(AC,\s\up6(→))；
(2)求|eq \(BC,\s\up6(→))|的最大值与最小值．
解 (1)画出所有的向量eq \(AC,\s\up6(→))，如图所示．
(2)由(1)所画的图知，
①当点C位于点C1或C2时，
|eq \(BC,\s\up6(→))|取得最小值eq \r(12＋22)＝eq \r(5)；
②当点C位于点C5或C6时，
|eq \(BC,\s\up6(→))|取得最大值eq \r(42＋52)＝eq \r(41).
所以|eq \(BC,\s\up6(→))|的最大值为eq \r(41)，最小值为eq \r(5).名称
定义
表示方法
零向量
始点和终点相同的向量
0
单位向量
模等于1的向量
相等向量
大小相等且方向相同的向量
若a等于b，记作a＝b
向量平行或共线
两个非零向量的方向相同或相反，则称这两个向量平行，两个向量平行也称为两个向量共线
a与b平行或共线，记作a∥b