高中数学高考 2021届高三大题优练11 导数恒成立问题（理） 教师版(1)

例1．已知函数，．

（1）求函数的单调区间；

（2）若，对，都有成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】（1），所以，

当时，，在上单调递增；

当时，由，得；

由，得；由，得，

综上所述，当时，的单调递增区间为；

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．

（2）若，则．

对都有成立，等价于对都有，

由（1）知在上单调递增，在上单调递减，

所以的最大值为，

，，

函数在上是增函数，，

所以，解得，

又，所以，

所以实数的取值范围是．

例2．已知函数满足，且曲线在处的切线方程为．

（1）求，，的值；

（2）设函数，若在上恒成立，求的最大值．

【答案】（1），，；（2）3．

【解析】（1）由已知得，

且函数的图象过点，，

则，解得，，．

（2）由（1）得．

若在上恒成立，

则在上恒成立，

即在上恒成立，

因为，所以，从而可得在上恒成立．

令，则，

令，则恒成立，在上为增函数．

又，，

所以存在，使得，得，

且当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

则．

又，所以，代入上式，得．

又，所以．

因为，且，所以，故的最大值为3．

例3．已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，且，都有成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】（1）由题意，函数，可得，

①当时，在上单调递减；

②当时，，所以在上单调递减；

③当时，令，即，解得或；

令，即，解得，

所以在，单调递增，在单调递减．

（2）当时，函数，由（1）可知在单调递减，

不妨设，则，，

所以，即，

即对任意的成立，

所以在单调递减，

则，即对恒成立，

令，可得，

令，即，解得，

令，即，解得或，

所以在单调递增，在单调递减，

当时，函数取得最大值，最大值为，

所以，即实数的取值范围．

例4．已知实数，设函数．

（1）当时，求函数的极值；

（2）当时，若对任意的，均有，求a的取值范围．

【答案】（1）极小值，无极大值；（2）．

【解析】（1）当时，由，解得．

当时，，故在内单调递增；

当时，，故在内单调递减，

函数在取得极小值，无极大值．

（2）由，则有．

令，得，．

当时，不等式显然成立，

当时，两边取对数，即恒成立．

令函数，

即在内恒成立．

由，得．

故当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

因此．

令函数，其中，

则，得，

故当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

又，，

故当时，恒成立，因此恒成立，

即当时，对任意的，均有成立．

1．已知函数，且．

（1）求的解析式；

（2）设，若对任意，，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1），，

则，解得，

因此，．

（2）①当时，则成立，此时；

②当时，由题意得恒成立，

令，其中，得，以下只需求．

，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

所以，所以，

综上所述，实数的取值范围是．

2．已知函数，．

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若对任意的，，恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）当时，，

∴，，即，

∴曲线在点处的切线方程为，即．

（2）由，即对有．

若对任意，有恒成立，

则对任意都有，

∴，即．

下面证明当时，对任意有．

由题意，．

①当，即时，易知在上单调递增，

∴当时，，即在上单调递增，

∴当时，，满足条件；

②当，即时，设，

易知函数在上单调递增，

而，，

∴在上有唯一零点，且，

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴．

设，则，

故在上单调递减，

∴，所以，满足条件，

综上，实数的取值范围为．

3．已知三次函数．

（1）若函数过点且在点处的切线方程是，求函数的解析式；

（2）在（1）的条件下，若对于区间上任意两个自变量的值，，都有，

求出实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1），，

由题意知，解得，，，

．

（2）由（1）知，令，得，

所以在和上分别单调递增，在上单调递减，

而，，，，

在区间上，，

对于区间上任意两个自变量，，

都有，．

4．已知函数 ，．

（1）求函数在上的值域；

（2）若，，使得，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1），

因为，所以，即函数为减函数，

因为，，所以值域为．

（2）因为，，使得，

所以，

因为，所以，

所以，即．

5．已知且，．

（1）当时，求的单调区间；

（2）设，存在，使成立．求实数的取值范围．

【答案】（1）增区间为，减区间为；（2）．

【解析】（1）函数的定义域为，

由已知，

，，

由，得增区间；由，得减区间．

（2）由已知：，

设在上的最大值为，最小值为，

依题意：，

，，

，为增函数，

时，，递增；时，，递减，

故，，

设，，

，在上递增，

时，，此时；

时，，此时，

当时，，

设，，在上递增，

又，所以由，得；

当时，，，

由，得，

综上：的取值范围是．

6．已知函数．

（1）若函数在点处的切线方程为，求函数的极值；

（2）若，对于任意，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）极小值，极大值为；（2）．

【解析】（1）由题意知函数的定义域为，

因为，所以，

由函数在点处的切线方程为，

则，可解得，

则，

所以，

令，解得，，

所以当时，；当时，；当时，，

所以在，上单调递增，在上单调递减．

所以函数的极小值为，

函数极大值为．

（2）当时，，

不等式可化为，

即，

令，则，，

所以原不等式可化为，

因为对任意，当时，不等式恒成立，

则可知在上单调递减，

因为，

所以在上恒成立，则在上恒成立，

令，则，

所以在上单调递增，

所以，所以，

所以实数的取值范围为．