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（新高考）2021届高三培优专练6 导数中的构造函数问题解析版
展开培优6 导数中的构造函数问题一、直接构造例1：设函数，在上均可导，且，则当时，有（ ）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为，即，所以函数在上单调递减，所以，所以．二、根据题意或选项的提示构造函数1．当题意中出现时，“”对应的原函数是，“”对应的原函数是．例2：已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则，，的大小关系正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，，因为当时，，所以函数在上单调递减，因为是上的奇函数，所以，，，，因为，所以，即．2．当题意中出现时，“”需要构造函数，“”需要构造函数．例3：已知函数的导函数为，若，，则不等式的解集为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以构造函数，，所以在上单调递增，．因为，所以，即，所以．3．复杂构造，是对题意条件所给函数关系进行深入分析，研究其结构特征关系，构造出新函数，从而达到解决问题的目的．例4：设函数满足，，则当时，（ ）A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值【答案】D【解析】因为，所以，所以，则，．令，则，当，则；当，则，所以在上单调递减，在上单调递增，因为，所以，所以在上恒成立，即在上无极大值也无极小值． 增分训练一、选择题1．定义在上的函数的导函数满足，则下列判断正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，得．设，则，故在上单调递减，则，即，即．2．已知定义在上的函数的导函数为，且，若对任意，恒成立，则不等式的解集为（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题可知：，，所以，即，令，则，又对任意，恒成立，所以，可知函数在单调递增，又，所以，所以，即的解集为，即不等式的解集为．3．已知函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】构造函数，则函数的定义域为，对任意，，则，所以，函数为上的增函数，∵，∴，由，可得，解得，因此，不等式的解集为．4．已知定义域为的偶函数，其导函数为，对任意，均满足：．若，则不等式的解集是（ ）A． B．C． D．【答案】C【解析】时，，而也为偶函数，所以．5．设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式的解集为（ ）A． B．C． D．【答案】B【解析】设，则，，∴，∴，∴在定义域上单调递增，∵，∴，∵，∴，∴，∴（其中为自然对数的底数）的解集为．6．（多选题）已知定义在上的函数，是的导函数，且恒有成立，则（ ）A． B．C． D．【答案】CD【解析】根据题意，令，，则其导数，又由，且恒有，则有，即函数为减函数，又由，则有，即，分析可得；又由，则有，即，分析可得．7．（多选题）定义在上的函数的导函数为，且对恒成立，则下列选项不正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】构造函数，因为，故函数在上单调递减函数，因为，所以，即，故A正确，B错误；因为，即，所以，故C错误；因为，即，所以，故D错误． 二、填空题8．已知定义在上的函数的导函数为，若对任意的实数，恒成立，且，则不等式的解集为 ．【答案】【解析】令，则，∴在上单调递增，又，∴等价于，则，解得．9．若对于任意的，都有，则的最大值为 ．【答案】【解析】由题意可得，，∴，∴，∴，据此可得函数在定义域上单调递增，其导函数：在上恒成立，据此可得：，即实数的最大值为．10．设函数是偶函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是__________．【答案】【解析】设函数，是偶函数，，所以函数是奇函数，且，，当时，，即当时，单调递减，．所以当时，，；当时，，，是偶函数，所以当时，；当时，，所以使得成立的的取值范围是． 三、解答题11．已知函数，．（1）若的图像在处的切线经过点，求的值；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题知的定义域为，又，则，又因为，所以切点为，所以，解得．（2）当时，，当时，不等式恒成立，即不等式，恒成立，设，，则．因为，所以，所以在上单调递减，从而，要使原不等式恒成立，即恒成立，故，即的取值范围为．12．已知函数，曲线在点处的切线方程为．（1）求、的值；（2）求证：当，时，不等式恒成立．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）∵，∴，∴，，将点代入切线方程得，可得，∴，解得．（2）证明：由（1）得，当，时，要证不等式，即证，当时，先证，构造函数，，则，构造函数，，则，当时，，∴函数在上单调递增，∴当时，，则，∴，∴函数在上单调递增，∴，即当时，，则当，时，，∴当，时，不等式恒成立．13．已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程．（2）若正实数，满足，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1），切点为，，，切线为，即．（2），，，令，，，，，，为减函数；，，为增函数，，所以，即，得，得到，即．
