初中数学人教版七年级上册3.4 实际问题与一元一次方程导学案

这是一份初中数学人教版七年级上册3.4 实际问题与一元一次方程导学案，共7页。

3.4 实际问题与一元一次方程


第1课时 产品配套问题和工程问题


学习目标：


1.理解配套问题、工程问题的背景.


2.分清有关数量关系，能正确找出作为列方程依据的主要等量关系.(重点)


3.掌握用一元一次方程解决实际问题的基本过程.(重点)


学习重点：


1.配套问题：


某车间工人生产螺钉和螺母，一个螺钉要配两个螺母，要使生产的产品刚好配套，则应生产的螺母数量恰好是螺钉数量的2倍


2.工程问题：


(1)工作时间、工作效率、工作量之间的关系:


①工作量=工作时间×工作效率.


②工作时间=工作量÷工作效率.


③工作效率=工作量÷工作时间.


(2)通常设完成全部工作的总工作量为1,如果一项工作分几个阶段完成,那么各阶段工作量的和=总工作量，这是工程问题列方程的依据..


(3)一项工作，甲用a小时完成，若总工作量可看成1，则甲的工作效率是1/a .若这项工作乙用b小时完成，则乙的工作效率是1/b .


(4)人均工作效率:人均工作效率表示平均每人单位时间完成的工作量.例如，一项工作由m个人用n小时完成，那么人均工作效率为1/mn ，a个人b小时完成的工作量=人均工作效率×a×b.


自主学习


判断 (打“√”或“×”)


(1)用纸板折无盖的纸盒，则一个盒身与两个盒底配套.( )


(2)一件工作，某人5小时单独完成，其工作效率为 ( )


(3)一项工程，甲单独做4小时能完成，乙单独做3小时能完成，则两人合作1小时完成全部工作的 ( )


合作探究


知识点 1 用一元一次方程解决配套问题


【例1】用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个或制盒底40个，1个盒身与2个盒底配成1个罐头盒.现有36张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底可以使盒身与盒底正好配套?


【解题探究】1.设x张铁皮制盒身，则36-x张铁皮制盒底.


2.用x怎样表示所制盒身、盒底的个数？


提示：由题意可知制盒身25x个，盒底40(36-x)个.


3.制成的盒身与盒底有什么数量关系？


提示：盒身个数的2倍=盒底的个数.


4.所以可列方程：2×25x=40(36-x)


5.解方程，得：x=16


6.用16张制盒身，20张制盒底.


配套问题的两个未知量及两个等量关系


1.两个未知量：


这类问题有两个未知数，设其中哪个为x都可以，另一个用含x的代数式表示，两种设法所列方程没有繁简或难易的区别.


2.两个等量关系：


例如本题,一个是“制盒身的铁皮张数+制盒底的铁皮张数=36”，此关系用来设未知数.另一个是制成的盒身数与盒底数的倍数关系，这是用来列方程的等量关系.


知识点 2 用一元一次方程解决工程问题


【例2】一本稿件，甲打字员单独打20天可以完成，甲、乙两打字员合打，12天可以完成，现由两人合打7天后，余下部分由乙打，还需多少天完成？


【思路点拨】先求出甲一天的工作效率，甲、乙合作一天的工作效率及甲乙合打7天的工作量，再求出乙一天的工作效率，设乙还需x天完成，用含x的代数式表示乙x天的工作量，根据“两人合打7天的工作量+乙x天的工作量=1”，列出方程，求解并作答.


【自主解答】设乙还需x天完成，根据题意，得





解这个方程,得x=12.5.


答：乙还需12.5天完成.


【总结提升】解决工程问题的思路


1.三个基本量：


工程问题中的三个基本量：工作量、工作效率、工作时间，它们之间的关系是：工作量=工作效率×工作时间.若把工作量看作1，则工作效率=


2.相等关系：


(1)按工作时间，各时间段的工作量之和=完成的工作量.


(2)按工作者，若一项工作有甲、乙两人参与，则甲的工作量+乙的工作量=完成的工作量.


第2课时 销售中的盈亏





学习目的：1. 会分析亏盈问题中的数量关系，并能正确列出方程；


2．体念数学与生活的密切关系，提高学数学的意识和数学建模能力。


学习重点：如何找相等关系，并列出方程解应用题，如亏盈、增长率等问题。


学习难点：设未知数找量等关系.


学习要求：1. 阅读课本；


2．完成书上的填空；


3．限时25分钟完成本导学案（独立或合作）；


4．课前在组内交流展示。


一、自主学习：


1．商品经济中的盈利与亏损.


（1） 利润=________ － _________；


（2） 当_______＞________时，盈利，当________＜________时，亏本；


（3） 商品利润率=__________／__________×100％；


2．一家商店将某种服装按成本价提高40％后标价，又以8折（即按标价的80％）优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本是多少元？


提示：每件商品的利润是商品售价与商品成本价的差，如果设每件商品的成本价为x元，那么每件服装的标价是_________元，每件服装的实际售价为_________元，每件服装的利润可表示为______________________ ，则列方程：_____________________________ .


解这个方程， 得 x=_____ . 因此，这种服装每件的成本价是______元。


3．牛刀小试：


（1）一件羊毛衫的进价为150元，销售价为180元，则该商品的销售利润为________元，利润率是_______。


（2）某人以八折的优惠价买一套服装省了25元，则这套服装实际用了（ ）元。


（A） 31.25 (B) 60 (C) 125 (D) 100


二、合作探究：


1．阅读P104的探究1，并完成下面的填空：


设盈利的那件衣服的进价为x元，则它的利润是________元，根据售价、进价、利润三者的关系，列方程为：___________________________ ，解之得： x=_____ .


类似地，可设另一件衣服的进价为y元，则它的商品利润是___________元，列出方程是：_____________________________ ，解得：y=_______ .


两件衣服的进价是x＋y=_______ 元，而两件衣服的总售价是________ 元，于是，进价______售价（填＜、＞、=），由此可知，卖出这两件衣服总的盈亏情况是__________ .


注意：解这类问题也可用下面的关系式：


（1）进价×（1＋盈利率）=售价 ；


（2）进价×（1－亏损率）=售价.


（3） 进价×（1＋利润率）=标价× . （其中n为打折数）


第3课时 球赛积分表问题


学习目标：1. 结合球赛积分表，掌握从图表中获取信息的方法，培养观察与推理能力；


2．增强运用数学知识解决实际问题的意识，激发学生学习数学的热情；


3．认识到由实际问题得到的方程的解要符合实际意义。


学习重点：从表格中获取有关数据信息，利用方程进行计算、推理、判断。


学习难点：从图表中获取有关信息，寻找数量之间的隐蔽关系，正确建立方程。


学习要求：1. 阅读教材探究；


2．限时25分钟完成本导学案；（独立或合作）


3．课前在组内交流展示。


4．组长根据组员完成情况进行等级评价。


一、自主学习：


1．篮球比赛积分中，胜一场积几分？负一场积几分？这与足球比赛的积分制是否相同？





2．足球赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。“猛虎”队赛了9场，共得17分，已知这个队只输2场，问这个队胜几场？又平几场？





二、合作探究：


1．认真阅读探究.


（1）要解决探究中的问题，必须先求出胜一场积几分，负一场积几分。你能从积分表中选出其中哪一行最能说明负一场积几分吗？能否求出胜一场得几分？又如何检验结论的正确性呢？


①观察积分榜，从________行的数据可以发现负一场积______ 分；


= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②设胜一场积x分，则从表中任何一行都可以列出方程，求出x的值。若选第三行数据，则列方程为：_________________________ ，


由此得 x＝________ ，


若选第5行呢？再试一试，又会怎样？


③ 用表中其他行可以验证，得出此次比赛的积分规则：负一场积____分，胜一场积____分。


（2）如何计算积分？你能否列一个式子来表示积分与胜负场数之间的关系？


①要弄清两个关系：★ 总积分＝_______积分＋_______积分；


★ 总场数＝__________ ＋___________。


②如果设一个队胜a场，则负______场，胜场积分为__________，负场积分为_______ ，


总积分为：_____________________ 。


（3）某队的胜场总积分能等于它的负场积分吗？


提示：要解决这类问题，通常先假设某队的胜场积分等于它的负场总积分，列出方程进行计算，再根据结果做出判断。


①设一个队胜了x场，则负了______场，如果这个队的胜场积分等于它的负场总积分，则得方程为：______________________ ，解得 x＝______ .


= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②想一想：x表示什么量？它可以是分数吗？由此你能得出什么结论？


= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③由此可以看出：


★ 利用方程不仅能计算未知数的值，而且还可以进一步推理 ；


★ 解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义。


第4课时 电话计费问题


教学目标


用一元一次方程解决实际问题；


知道用一元一次方程解决实际问题的基本过程；


通过学习，更加关注生活，增强用数学的意识，从而激发学习数学的热情.


重点：会用一元一次方程解决实际问题.


难点：将实际问题转化为数学问题，通过列方程解决问题.


使用说明：独立完成学案，然后小组交流.


导学


问题：


小平的爸爸新买了一部手机，他从电信公司了解到现在有两种移动电话计费方式：


他正在为选哪种方式犹豫呢?你能帮助他作个选择吗？


（1）一个月内通话200分和300分钟，按两种计费方式各需缴费多少元？


（2）对于某个通话时间，两种计费方式的收费会一样吗？（列式计算）





由此可知，如果一个月内通话_____分钟，那么两种计费方式的收费相同.


（3）怎样选择计费方式更省钱呢？


如果一个月内累计通话时间不足_____分，那么选择“方式二”收费少；如果一个月内累计通话时间超过_____分，那么选择________收费少.


（4）根据以上解题过程，你能为小平的爸爸作选择了吗？





二、合作探究


1、某牛奶加工厂现有鲜奶9吨，若在市场上直接销售，每吨可获利500元;制成酸奶销售，每吨可获利1200元；制成奶片销售，每吨可获利2000元。该工厂的生产力量有限，如果制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片，每天可加工1吨，受人员的限制，两种加工方式不可同时进行，受气温限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕.为此，该厂设计了两种可行方案.


方案一：尽可能制成奶片，其余直接销售鲜奶；


方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售.


无论采取哪一种方案，都必须保证4天完成，请问选哪一种方案比较好？为什么？


【分析】选哪种方案比较好，就是看哪个方案获利多。方案一可通过算式直接写出获利的多少；方案二先把4天的时间进行分配，根据时间求出加工的奶片吨数和酸奶吨数，再求出所获利润多少，比较方案一与方案二，即可得出结论.





一、选择题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺栓或1 000个螺母，1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，设安排x名工人生产螺栓，则下面所列方程正确的是( )


A.2×1 000(26-x)=800x B.1 000(13-x)=800x


C.1 000(26-x)=2×800x D.1 000(26-x)=800x


QUOTE


LISTNUM OutlineDefault \l 3 “五一”节期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元，设该电器的成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是 ( )


A.x(1＋30%)×80%=2080 B.x·30%·80%=2080


C.2080×30%×80%=x D.x·30%=80%×2080


LISTNUM OutlineDefault \l 3 某工程甲单独完成要45天，乙单独完成要30天，若乙先单独干22天，剩下的由甲单独完成.问甲、乙一共用几天可以完成全部工作，若设甲、乙共用x天完成，则符合题意的方程是（ ）








LISTNUM OutlineDefault \l 3 某服装店同时以300元的价钱出售两件不同进价的衣服，其中一件赚了20%，而另一件亏损了20%.则这单买卖是（ ）


A.不赚不亏 B.亏了 C.赚了 D.无法确定





二、填空题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 一个长方形周长是42 cm，宽比长少3 cm，如果设长为xcm，那么根据题意可列方程为_______.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 若一件衣服按原价的8折出售时，售价是40 元，则原价为___________元.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时，若船速为26千米/小时，水速为2千米/时，则A港和B港相距 千米．





LISTNUM OutlineDefault \l 3 服装店销售某款服装,一件服装的标价为300元,若按标价的八折销售,仍可获利60元,则这款服装每件的标价比进价多 元．








三、解答题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 在红城中学举行的“我爱祖国”征文活动中,七年级和八年级共收到征文118篇,且七年级收到的征文篇数是八年级收到的征文篇数的一半还少2篇,求七年级收到的征文有多少篇?





























LISTNUM OutlineDefault \l 3 文具店的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元.该店为了促销该种毛笔和书法练习本，制定了两种优惠方案.


方案一：买一支毛笔赠送一本书法练习本；


方案二：按购买金额的九折付款.


某校欲为校书法兴趣小组购买这种毛笔10支，书法练习本x(x＞10)本.


(1)请你用含x的式子表示每种优惠方案的付款金额；


(2)购买多少本书法练习本时，两种优惠方案的实际付款数一样多？









































参考答案


LISTNUM OutlineDefault \l 3 \s 1 答案为：C.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：A；


LISTNUM OutlineDefault \l 3 A


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：B


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：2[x＋ (x-3)]=42；


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：50


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：504．


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：120．


LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)方案一：25×10＋5(x－10)=5x＋200(x＞10)；


方案二：(25×10＋5x)×0.9=4.5x＋225(x＞10).


(2)由题意，得5x＋200=4.5x＋225，解得x=50.


故购买50本书法练习本时，两种优惠方案的实际付款数一样多.






























































方式一
方式二
月租费
30元/月
0
本地通话费
0.30元/分
0.40元/分
方式一
方式二
200分
300分