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    2020年人教版数学七年级上册精品学案3.4 实际问题与一元一次方程(含答案)
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    初中数学人教版七年级上册3.4 实际问题与一元一次方程导学案

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    这是一份初中数学人教版七年级上册3.4 实际问题与一元一次方程导学案,共7页。

    3.4 实际问题与一元一次方程


    第1课时 产品配套问题和工程问题


    学习目标:


    1.理解配套问题、工程问题的背景.


    2.分清有关数量关系,能正确找出作为列方程依据的主要等量关系.(重点)


    3.掌握用一元一次方程解决实际问题的基本过程.(重点)


    学习重点:


    1.配套问题:


    某车间工人生产螺钉和螺母,一个螺钉要配两个螺母,要使生产的产品刚好配套,则应生产的螺母数量恰好是螺钉数量的2倍


    2.工程问题:


    (1)工作时间、工作效率、工作量之间的关系:


    ①工作量=工作时间×工作效率.


    ②工作时间=工作量÷工作效率.


    ③工作效率=工作量÷工作时间.


    (2)通常设完成全部工作的总工作量为1,如果一项工作分几个阶段完成,那么各阶段工作量的和=总工作量,这是工程问题列方程的依据..


    (3)一项工作,甲用a小时完成,若总工作量可看成1,则甲的工作效率是1/a .若这项工作乙用b小时完成,则乙的工作效率是1/b .


    (4)人均工作效率:人均工作效率表示平均每人单位时间完成的工作量.例如,一项工作由m个人用n小时完成,那么人均工作效率为1/mn ,a个人b小时完成的工作量=人均工作效率×a×b.


    自主学习


    判断 (打“√”或“×”)


    (1)用纸板折无盖的纸盒,则一个盒身与两个盒底配套.( )


    (2)一件工作,某人5小时单独完成,其工作效率为 ( )


    (3)一项工程,甲单独做4小时能完成,乙单独做3小时能完成,则两人合作1小时完成全部工作的 ( )


    合作探究


    知识点 1 用一元一次方程解决配套问题


    【例1】用白铁皮做罐头盒,每张铁皮可制盒身25个或制盒底40个,1个盒身与2个盒底配成1个罐头盒.现有36张白铁皮,用多少张制盒身,多少张制盒底可以使盒身与盒底正好配套?


    【解题探究】1.设x张铁皮制盒身,则36-x张铁皮制盒底.


    2.用x怎样表示所制盒身、盒底的个数?


    提示:由题意可知制盒身25x个,盒底40(36-x)个.


    3.制成的盒身与盒底有什么数量关系?


    提示:盒身个数的2倍=盒底的个数.


    4.所以可列方程:2×25x=40(36-x)


    5.解方程,得:x=16


    6.用16张制盒身,20张制盒底.


    配套问题的两个未知量及两个等量关系


    1.两个未知量:


    这类问题有两个未知数,设其中哪个为x都可以,另一个用含x的代数式表示,两种设法所列方程没有繁简或难易的区别.


    2.两个等量关系:


    例如本题,一个是“制盒身的铁皮张数+制盒底的铁皮张数=36”,此关系用来设未知数.另一个是制成的盒身数与盒底数的倍数关系,这是用来列方程的等量关系.


    知识点 2 用一元一次方程解决工程问题


    【例2】一本稿件,甲打字员单独打20天可以完成,甲、乙两打字员合打,12天可以完成,现由两人合打7天后,余下部分由乙打,还需多少天完成?


    【思路点拨】先求出甲一天的工作效率,甲、乙合作一天的工作效率及甲乙合打7天的工作量,再求出乙一天的工作效率,设乙还需x天完成,用含x的代数式表示乙x天的工作量,根据“两人合打7天的工作量+乙x天的工作量=1”,列出方程,求解并作答.


    【自主解答】设乙还需x天完成,根据题意,得





    解这个方程,得x=12.5.


    答:乙还需12.5天完成.


    【总结提升】解决工程问题的思路


    1.三个基本量:


    工程问题中的三个基本量:工作量、工作效率、工作时间,它们之间的关系是:工作量=工作效率×工作时间.若把工作量看作1,则工作效率=


    2.相等关系:


    (1)按工作时间,各时间段的工作量之和=完成的工作量.


    (2)按工作者,若一项工作有甲、乙两人参与,则甲的工作量+乙的工作量=完成的工作量.


    第2课时 销售中的盈亏





    学习目的:1. 会分析亏盈问题中的数量关系,并能正确列出方程;


    2.体念数学与生活的密切关系,提高学数学的意识和数学建模能力。


    学习重点:如何找相等关系,并列出方程解应用题,如亏盈、增长率等问题。


    学习难点:设未知数找量等关系.


    学习要求:1. 阅读课本;


    2.完成书上的填空;


    3.限时25分钟完成本导学案(独立或合作);


    4.课前在组内交流展示。


    一、自主学习:


    1.商品经济中的盈利与亏损.


    (1) 利润=________ - _________;


    (2) 当_______>________时,盈利,当________<________时,亏本;


    (3) 商品利润率=__________/__________×100%;


    2.一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价,又以8折(即按标价的80%)优惠卖出,结果每件仍获利15元,这种服装每件的成本是多少元?


    提示:每件商品的利润是商品售价与商品成本价的差,如果设每件商品的成本价为x元,那么每件服装的标价是_________元,每件服装的实际售价为_________元,每件服装的利润可表示为______________________ ,则列方程:_____________________________ .


    解这个方程, 得 x=_____ . 因此,这种服装每件的成本价是______元。


    3.牛刀小试:


    (1)一件羊毛衫的进价为150元,销售价为180元,则该商品的销售利润为________元,利润率是_______。


    (2)某人以八折的优惠价买一套服装省了25元,则这套服装实际用了( )元。


    (A) 31.25 (B) 60 (C) 125 (D) 100


    二、合作探究:


    1.阅读P104的探究1,并完成下面的填空:


    设盈利的那件衣服的进价为x元,则它的利润是________元,根据售价、进价、利润三者的关系,列方程为:___________________________ ,解之得: x=_____ .


    类似地,可设另一件衣服的进价为y元,则它的商品利润是___________元,列出方程是:_____________________________ ,解得:y=_______ .


    两件衣服的进价是x+y=_______ 元,而两件衣服的总售价是________ 元,于是,进价______售价(填<、>、=),由此可知,卖出这两件衣服总的盈亏情况是__________ .


    注意:解这类问题也可用下面的关系式:


    (1)进价×(1+盈利率)=售价 ;


    (2)进价×(1-亏损率)=售价.


    (3) 进价×(1+利润率)=标价× . (其中n为打折数)


    第3课时 球赛积分表问题


    学习目标:1. 结合球赛积分表,掌握从图表中获取信息的方法,培养观察与推理能力;


    2.增强运用数学知识解决实际问题的意识,激发学生学习数学的热情;


    3.认识到由实际问题得到的方程的解要符合实际意义。


    学习重点:从表格中获取有关数据信息,利用方程进行计算、推理、判断。


    学习难点:从图表中获取有关信息,寻找数量之间的隐蔽关系,正确建立方程。


    学习要求:1. 阅读教材探究;


    2.限时25分钟完成本导学案;(独立或合作)


    3.课前在组内交流展示。


    4.组长根据组员完成情况进行等级评价。


    一、自主学习:


    1.篮球比赛积分中,胜一场积几分?负一场积几分?这与足球比赛的积分制是否相同?





    2.足球赛规定:胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分。“猛虎”队赛了9场,共得17分,已知这个队只输2场,问这个队胜几场?又平几场?





    二、合作探究:


    1.认真阅读探究.


    (1)要解决探究中的问题,必须先求出胜一场积几分,负一场积几分。你能从积分表中选出其中哪一行最能说明负一场积几分吗?能否求出胜一场得几分?又如何检验结论的正确性呢?


    ①观察积分榜,从________行的数据可以发现负一场积______ 分;


    = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②设胜一场积x分,则从表中任何一行都可以列出方程,求出x的值。若选第三行数据,则列方程为:_________________________ ,


    由此得 x=________ ,


    若选第5行呢?再试一试,又会怎样?


    ③ 用表中其他行可以验证,得出此次比赛的积分规则:负一场积____分,胜一场积____分。


    (2)如何计算积分?你能否列一个式子来表示积分与胜负场数之间的关系?


    ①要弄清两个关系:★ 总积分=_______积分+_______积分;


    ★ 总场数=__________ +___________。


    ②如果设一个队胜a场,则负______场,胜场积分为__________,负场积分为_______ ,


    总积分为:_____________________ 。


    (3)某队的胜场总积分能等于它的负场积分吗?


    提示:要解决这类问题,通常先假设某队的胜场积分等于它的负场总积分,列出方程进行计算,再根据结果做出判断。


    ①设一个队胜了x场,则负了______场,如果这个队的胜场积分等于它的负场总积分,则得方程为:______________________ ,解得 x=______ .


    = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②想一想:x表示什么量?它可以是分数吗?由此你能得出什么结论?


    = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③由此可以看出:


    ★ 利用方程不仅能计算未知数的值,而且还可以进一步推理 ;


    ★ 解决实际问题时,不仅要注意解方程的过程是否正确,还要检验方程的解是否符合问题的实际意义。


    第4课时 电话计费问题


    教学目标


    用一元一次方程解决实际问题;


    知道用一元一次方程解决实际问题的基本过程;


    通过学习,更加关注生活,增强用数学的意识,从而激发学习数学的热情.


    重点:会用一元一次方程解决实际问题.


    难点:将实际问题转化为数学问题,通过列方程解决问题.


    使用说明:独立完成学案,然后小组交流.


    导学


    问题:


    小平的爸爸新买了一部手机,他从电信公司了解到现在有两种移动电话计费方式:


    他正在为选哪种方式犹豫呢?你能帮助他作个选择吗?


    (1)一个月内通话200分和300分钟,按两种计费方式各需缴费多少元?


    (2)对于某个通话时间,两种计费方式的收费会一样吗?(列式计算)





    由此可知,如果一个月内通话_____分钟,那么两种计费方式的收费相同.


    (3)怎样选择计费方式更省钱呢?


    如果一个月内累计通话时间不足_____分,那么选择“方式二”收费少;如果一个月内累计通话时间超过_____分,那么选择________收费少.


    (4)根据以上解题过程,你能为小平的爸爸作选择了吗?





    二、合作探究


    1、某牛奶加工厂现有鲜奶9吨,若在市场上直接销售,每吨可获利500元;制成酸奶销售,每吨可获利1200元;制成奶片销售,每吨可获利2000元。该工厂的生产力量有限,如果制成酸奶,每天可加工3吨;制成奶片,每天可加工1吨,受人员的限制,两种加工方式不可同时进行,受气温限制,这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕.为此,该厂设计了两种可行方案.


    方案一:尽可能制成奶片,其余直接销售鲜奶;


    方案二:将一部分制成奶片,其余制成酸奶销售.


    无论采取哪一种方案,都必须保证4天完成,请问选哪一种方案比较好?为什么?


    【分析】选哪种方案比较好,就是看哪个方案获利多。方案一可通过算式直接写出获利的多少;方案二先把4天的时间进行分配,根据时间求出加工的奶片吨数和酸奶吨数,再求出所获利润多少,比较方案一与方案二,即可得出结论.





    一、选择题


    LISTNUM OutlineDefault \l 3 某车间有26名工人,每人每天可以生产800个螺栓或1 000个螺母,1个螺栓需要配2个螺母,为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套,设安排x名工人生产螺栓,则下面所列方程正确的是( )


    A.2×1 000(26-x)=800x B.1 000(13-x)=800x


    C.1 000(26-x)=2×800x D.1 000(26-x)=800x


    QUOTE


    LISTNUM OutlineDefault \l 3 “五一”节期间,某电器按成本价提高30%后标价,再打8折(标价的80%)销售,售价为2080元,设该电器的成本价为x元,根据题意,下面所列方程正确的是 ( )


    A.x(1+30%)×80%=2080 B.x·30%·80%=2080


    C.2080×30%×80%=x D.x·30%=80%×2080


    LISTNUM OutlineDefault \l 3 某工程甲单独完成要45天,乙单独完成要30天,若乙先单独干22天,剩下的由甲单独完成.问甲、乙一共用几天可以完成全部工作,若设甲、乙共用x天完成,则符合题意的方程是( )








    LISTNUM OutlineDefault \l 3 某服装店同时以300元的价钱出售两件不同进价的衣服,其中一件赚了20%,而另一件亏损了20%.则这单买卖是( )


    A.不赚不亏 B.亏了 C.赚了 D.无法确定





    二、填空题


    LISTNUM OutlineDefault \l 3 一个长方形周长是42 cm,宽比长少3 cm,如果设长为xcm,那么根据题意可列方程为_______.


    LISTNUM OutlineDefault \l 3 若一件衣服按原价的8折出售时,售价是40 元,则原价为___________元.


    LISTNUM OutlineDefault \l 3 轮船沿江从A港顺流行驶到B港,比从B港返回A港少用3小时,若船速为26千米/小时,水速为2千米/时,则A港和B港相距 千米.





    LISTNUM OutlineDefault \l 3 服装店销售某款服装,一件服装的标价为300元,若按标价的八折销售,仍可获利60元,则这款服装每件的标价比进价多 元.








    三、解答题


    LISTNUM OutlineDefault \l 3 在红城中学举行的“我爱祖国”征文活动中,七年级和八年级共收到征文118篇,且七年级收到的征文篇数是八年级收到的征文篇数的一半还少2篇,求七年级收到的征文有多少篇?





























    LISTNUM OutlineDefault \l 3 文具店的某种毛笔每支售价25元,书法练习本每本售价5元.该店为了促销该种毛笔和书法练习本,制定了两种优惠方案.


    方案一:买一支毛笔赠送一本书法练习本;


    方案二:按购买金额的九折付款.


    某校欲为校书法兴趣小组购买这种毛笔10支,书法练习本x(x>10)本.


    (1)请你用含x的式子表示每种优惠方案的付款金额;


    (2)购买多少本书法练习本时,两种优惠方案的实际付款数一样多?









































    参考答案


    LISTNUM OutlineDefault \l 3 \s 1 答案为:C.


    LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为:A;


    LISTNUM OutlineDefault \l 3 A


    LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为:B


    LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为:2[x+ (x-3)]=42;


    LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为:50


    LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为:504.


    LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为:120.


    LISTNUM OutlineDefault \l 3 解:





    LISTNUM OutlineDefault \l 3 解:(1)方案一:25×10+5(x-10)=5x+200(x>10);


    方案二:(25×10+5x)×0.9=4.5x+225(x>10).


    (2)由题意,得5x+200=4.5x+225,解得x=50.


    故购买50本书法练习本时,两种优惠方案的实际付款数一样多.






























































    方式一
    方式二
    月租费
    30元/月
    0
    本地通话费
    0.30元/分
    0.40元/分
    方式一
    方式二
    200分
    300分
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